2019-2020学年合肥市庐阳区合肥六中、合肥八中、阜阳一中、淮北一中四校高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省合肥市庐阳区合肥六中、合肥八中、阜阳一中、淮北一中四校高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1已知集合，则ABCD【答案】B【解析】先分别求出集合A，B，由此能求出【详解】解：集合，故选：B【点睛】本题主要考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题2抛物线的准线方程为Ax=2 Bx=2 C.y=2 Dy=2【答案】C【解析】本题考查抛物线的性质。点拨：准线方程为。解答：根据抛物线方程的特征，准线方程为，故选C。3下列结论中错误的是（ ）A命题“若，则且”的否命题是“若，则或”B命题，使得的否定为C命题“若，则方程有实根”的逆否命题是真命题D若，则使的解是或【答案】B【解析】利用四种命题的否命题判断A的正误；命题的否定判断B的正误；四种命题的逆否关系判断C正误，利用二次不等式解集判断D正误【详解】“若m2+n20，则m0且n0”的否命题是“若m2+n20，则m0或n0”，满足命题的否命题的形式，A正确；命题，使得的正确否定, B正确；命题“若m0，则方程x2+xm0,1+4m0，故原命题是真命题，则逆否命题是真命题，故C准确 利用二次不等式解法若，则使的解是或，D准确故选：B【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础4若直线与直线垂直，则实数的值是（ ）AB或CD或【答案】D【解析】利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出【详解】与直线垂直，解得=或故选：D【点睛】本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5已知是定义在上的奇函数，且当时，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由f（4）f（4），结合已知代入即可求解【详解】yf（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）2x+1，则f（4）f（4）17故选：C【点睛】本题主要考查了利用奇函数定义求解函数值，属于基础试题6的内角所对边分别为若，成等差数列，则（ ）ABC或D【答案】A【解析】B，A，C成等差数列，可得2AB+CA，解得A利用正弦定理可得sinB，即可得出【详解】B，A，C成等差数列，2AB+CA，解得A则sinB，又ab，B为锐角B故选：A【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7已知圆：与直线相交于两点.若为正三角形，则实数的值为（ ）.ABCD【答案】A【解析】根据题意，将圆C的方程变形为标准方程，分析其圆心与半径，求出圆心到直线的距离d，由直线与圆的位置关系分析可得圆心C到直线的距离dr，解可得m的值，即可得答案【详解】圆：化为标准方程是；则圆心，半径为（其中）；所以圆心到直线的距离为，在等边三角形中得，解得.故选：A【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及圆的弦长公式的应用，关键是掌握圆的标准方程的形式8使函数满足：对任意的，都有”的充分不必要条件为（ ）AB或CD或【答案】B【解析】分情况讨论在R上单调减及在单调增结合分段函数单调性求解充要条件再判断即可【详解】当时，在上递减，在递减，且在上递减，若在上递减，在上递增，任意，都有，当不合题意，故函数满足：对任意的，都有”的充分必要条件为或则或是充分不必要条件故选：B【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查分类讨论思想，准确判断每段函数的单调性是关键，是中档题9已知直线及两点，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）A或B或CD【答案】A【解析】确定直线系恒过的定点，画出图形，即可利用直线的斜率求出a的范围【详解】因为直线过定点,根据题意画出几何图形如下图所示:因为 则，若直线与线段相交，斜率为.故选：A【点睛】本题考查恒过定点的直线系方程的应用，直线与直线的位置关系，考查数形结合与计算能力10已知数列的前项和为，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得an2n求得m+n6，（m+n）（）（3），运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值【详解】Sn2an2，可得a1S12a12，即a12，n2时，Sn12an12，又Sn2an2，相减可得anSnSn12an2an1，即an2an1，an是首项为2，公比为2的等比数列所以an2naman64，即2m2n64，得m+n6，所以（m+n）（）（3）（3+2），当且仅当时取等号，即为m，n因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则（3+2），验证可得，当m2，n4，或m3，n3，取得最小值为故选：B【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，考查化简运算能力，属于中档题11在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,已知鳖臑的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )ABCD【答案】A【解析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面.则.扩展为长方体， 它的对角线的PB即为球的直径：该三棱锥的外接球的表面积为：41故选：A【点睛】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题12设分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于的一点，直线的斜率分别为，则当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意求得直线AP及PB斜率，可得mn，再根据基本不等式可得a23b23（c2a2），即可求出【详解】设，则 ，因此 当且仅当时，.故选：D【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，基本不等式，考查计算能力，属于中档题二、填空题13若，满足约束条件，则的最大值为_【答案】6【解析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.14已知数列中，则的值是_【答案】【解析】利用数列的递推关系式求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可【详解】数列，可得a23；a3；a4；所以数列的周期为3，a2020a6733+1a1故答案为：【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，求解数列的周期是解题的关键，是基本知识的考查15已知在上连续可导，为其导函数，且，则在处的切线方程为_【答案】【解析】求导得斜率，利用点斜式求解直线方程【详解】由题意， ，所以，因此，所以，易知切线为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程求法，是基础题16已知函数，若关于x的方程有3个不同的实数解，则的取值范围是_【答案】【解析】通过求导，画出函数的图象，由二次函数对称性得，求得即可求解【详解】当 ， 画出函数的图象如图，设，由二次函数对称性得，二次函数的最低点处，.故答案为：【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题三、解答题17已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】1）直接利用已知条件利用等差数列通项公式及求和公式，结合等比中项求出数列的通项公式（2）利用（1）的通项公式，裂项相消求出数列的和【详解】（1）根据为等差数列，.前项和为，且，即，成等比数列.可得：.由解得：，数列的通项公式为 （2）由，即=.那么：数列的前项和.【点睛】本题考查等差数列及等比数列的通项公式，考查裂项相消求和，是基础题18在中，内角，的对边分别为，.若.（1）求角的大小；（2）若，求当最小时，的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据余弦定理，结合角正切，进行化简即可求角B的大小；（2）利用余弦定理结合化简为，结合二次函数求最值【详解】（1）由得：，即：.，又，. （2）由，当时，得：，当时，有最小值为1，此时，周长为.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查二次函数求最值，考查转化能力，是基础题19已知四棱锥中，底面为等腰梯形，.（1）证明：平面；（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求此时三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）推导及，证明平面，结合即可证明（2）设，等体积转化求得，再利用求解【详解】（1）证明：在等腰梯形，易得： 在中，则有在中，同理，在中，又 即平面.（2）在梯形中，设， ，而即 故三棱锥的体积为【点睛】本题考查直线与平面垂直判定定理的应用，考查椎体体积，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题20已知圆，动圆在轴右侧，与圆相外切且与轴相切（1）求动圆的圆心轨迹的方程；（2）已知点，为圆上一点，为轨迹上一点，求的最小值.【答案】（1）；（2）2【解析】（1）设圆心根据动圆与圆（x1）2+y21外切，且与y轴相切建立关系可得轨迹C的方程（2）利用不等式，将转化为到准线的距离即可求解【详解】（1）设，由题可知，动圆在轴右侧，且与圆相外切，则有：，即解得 （2）设，由（1）可知，点在轨迹上，则可将转化为到准线的距离，所以，的最小值为2.【点睛】本题考查抛物线的定义求轨迹方程，考查抛物线求最值，熟练运用抛物线定义转化是关键，是中档题21如图所示，曲线由部分椭圆：和部分抛物线：连接而成，与的公共点为，其中所在椭圆的离心率为.（）求，的值；（）过点的直线与，分别交于点，（，中任意两点均不重合），若，求直线的方程.【答案】（）；（）.【解析】（）在抛物线方程中，令，求出，坐标，再由离心率的公式和之间的关系，求出；（）由（）可求出横轴上方的椭圆方程，由题意可知：过点的直线存在斜率且不能为零，故设直线方程为，代入椭圆、抛物线方程中，求出，两点坐标，由向量垂直条件，可得等式，求出的值，进而求出直线的方程.【详解】（）因为，所以，即，因此，代入椭圆方程中，得，由以及 ，可得，所以；（）由（）可求出横轴上方的椭圆方程为：，由题意可知：过点的直线存在斜率且不能为零，故设直线方程为，代入椭圆得：，故可得点的坐标为：，显然，同理将代入抛物线方程中，得，故可求得的坐标为：，解得，符合，故直线的方程为：.【点睛】本题考查了椭圆方程的性质，直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了数学运算能力.22已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当，函数，证明：存在唯一的极大值点，且.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）求导，讨论a0和a0 时f（x）的正负确定单调性（2）求导g（x）2x2lnx，构造新函数t（x）2x2lnx，求导利用零点存在定理得g（x）必存在唯一极大值点x0，且2x02lnx00，结合g（x0）x0x0lnx0整理为二次函数证明即可【详解】（1）解：因为f（x）axalnx（x0），求导：f（x）a.则当a0时f（x）0，即yf（x）在（0，+）上单调递减，当a0时，f（x）0 , 0x，f（x）0则 x所以，yf（x）在上单调递减，在上单调递增.综上，当a0时，yf（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，yf（x）在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：由（1）可知g（x）x2xxlnx，g（x）2x2lnx，令g（x）0，可得2x2lnx0，记t（x）2x2lnx，则t（x）2，令t（x）0，解得：x，所以t（x）在区间