比例线段知识点及练习题

第 18 章 相似形 比例线段及相似知识点讲解 知识点讲解知识点讲解 一 比例线段一 比例线段 1 线段的比线段的比 如果选用同一长度单位量得两条线段 a b 的长度分别是 m n 那么就说这两条线段的比是 a b m n 或写成 其中 a 叫做比的前项 b 叫做比的后项 n m b a 2 成比例线段成比例线段 在四条线段中 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比 那么这四条线段叫做成比例线段 简称比例线段 3 比例的项比例的项 已知四条线段 如果 那么 叫做组成比例的项 线段 d c b a d 叫做比例外项 线段 叫做比例内项 线段 还叫做 的第四比例项 4 比例中项 比例中项 如果作为比例线段的内项是两条相同的线段 即 a b b c 或 那么线段 叫做线段 和 的 c b b a 比例中项 2 比例的性质 比例的性质 1 比例的基本性质 bcad d c b a acb c b b a 2 2 反比性质 c d a b d c b a 3 更比性质 或 或 d b c a d c b a a c b d 4 合比性质 d dc b ba d c b a 5 等比性质 且 n m f e d c b a b a nfdb meca nfdb 0 比例线段练习比例线段练习 判断下列四条线段是否成比例 判断下列四条线段是否成比例 a 2 b c d 2 5153 a b 3 c 2 d 23 a 4 b 6 c 5 d 10 a 12 b 8 c 15 d 10 2 已知 ad bc 1 将其改写成比例式 2 写出所有以 a d 为内项的比例式 3 写出使 b 作为第四项比例项的比例式 4 若 写出以 c 作第四比例项的比例式 d b c a 3 计算 1 已知 x y 5 4 y z 3 7 求 x y z 2 已知 a b c 为三角形三边长 a c c b c b 2 7 1 周长为 24 求三边长 4 在相同时刻的物高与影长成比例 如果一古塔在地面上影长为 50m 同时 高为 1 5m 的测竿的影长为 2 5m 那么 古塔的高是多么米 5 AB 10cm AD 2cm BC 7 2cm E 为 BC 中点 求 EF BF 的长 EF BE CD AB 6 1 已知 x x 1 1 x 3 求 x 2 若 求 2 132 yx yx x y 3 若 求 4 若 x2 3xy 2y2 0 求 5 6 b ba b a b ba x y 7 将比例式中的移到第四比例项 使比例式仍成立 x 1 a b c 2 a b c 3 a b cxxx 8 若 求 5 2 f e d c b a fdab eca db ca 43 432 练习 已知 求的值 4 1 3 2 5 1 zyx zyx zyx 52 52 9 若 ABC 三边 a b c 6 4 3 三边上的高分别为 h1 h2 h3 求 h1 h2 h3的值 10 已知两地的实际距离是 250 米 画在地图上的距离 图距 是 5 厘米 在这样的地图上 图距 a 8 厘米的两地 A B 的实际距离是多少呢 比例尺是多少 12 操场上有一群学生在玩游戏 其中男生与女生的人数比例是 3 2 后来又有 6 名女同学参加进来 此时女生与女 生人数的比为 5 4 求原来各有多少男生和女生 比例线段拓展比例线段拓展 1 比例线段 比例线段 在四条线段中 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比 那么这四条线段叫做成比例线段 简称比例线段 设 a b c d 为线段 如果 a b c d b c 叫比例内项 a d 叫比例外项 d 叫做 a b c 的第四比例项 如果 a b b c 或 b2 ac 那么 b 叫 a c 的比例中项 2 黄金分割黄金分割 如图 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC AC BC 且使 AC 是 AB 和 BC 的比 例中项 叫做把线段 AB 黄金分割 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 叫作黄金分割数 简称黄金数 2 15 AB AC 或黄金比 注意 1 ABAC618 0 2 一条线段有两个黄金分割点 3 平行线分三角形两边成比例 平行线分三角形两边成比例 1 基本事实 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边 并且和其他两边 或两边的延长线 相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形 的三边对应成比例 如图 则有 BC DE AC AE AB AD AC EC AB DB EC AE DB AD 思考 画图说明平行于三角形一边的其他情况 2 三角形的重心 定义 三角形的重心是三角形三条中线的交点 与重心有关的比例线段 三角形的重心到一个顶点的距离 等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍 3 三角形一边平行线的判定定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 三角形一边平行线的判定定理 4 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截 截得的对应线段成比例 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 根据被截的两条直线的位置关系 可以分五种图形情况 如图 1 图 5 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰 在梯形 ACFD 中 AD CF AB BC 那么 DE EF 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 在 ACF 中 CFBE AB BC 那么 AE EF 5 三角形和梯形的中位线定理 三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半 如图 D E 分别为 AB AC 的中点 那么 BC DE DE BC 2 1 梯形的中位线 连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于底边 并且等于两底和的一半 梯形 ABCD 中 AD BC E F 分别是 AB CD 的中点 那么 EF AD BC EF AD BC 2 1 练习练习 1 如图 已知 ABC 中 DE BC 则下列等式中不成立的是 A AD AB AE AC B AD DB AE EC C AD DB DE BC D AD AB DE BC 2 如图 DF AC DE BC 下列各式中正确的是 A B C D CF BF BD AD BC CE DE AE CD BD CE AE BC AB DE AD 3 如图 已知 ABC 中 DE BC AD2 AB AF 求证 1 2 4 已知 ABC 中 AD 为 BAC 的外角 EAC 的平分线 D 为平分线与 BC 延长线交点 求证 DC BD AC AB 5 设点 F 在平行四边形 ABCD 的边 CB 的延长线上 DF 交 AB 于点 E 求证 AE AD AB CF 课后练习课后练习 1 已知 a b c 3 5 7 且 2a 3b c 28 求 3a 2b c 的值 2 若 求