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文档简介
高中数学 2.3 双曲线第1课时同步精练 北师大版选修1-11已知M(2,0),N(2,0),|PM|PN|4,则动点P的轨迹是()A双曲线B双曲线的左支C一条射线 D双曲线的右支2在双曲线中,且双曲线与椭圆4x29y236有公共焦点,则双曲线的方程是()A.x21 B.y21Cx21 Dy213已知F1,F2为双曲线C:x2y21的左、右焦点,点P在C上,F1PF260,则|PF1|PF2|等于()A2 B4C 6 D84已知圆C:x2y26x4y80,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.15已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.16若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()A32,) B32,)C. D.7给出问题:F1,F2是双曲线1的焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离某学生的解答如下:由|PF1|PF2|2a8,即|9|PF2|8,得|PF2|1或|PF2|17.该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确答案填在下面横线上_8已知F是双曲线1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|PA|的最小值为_9双曲线1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1PF2,则点P到x轴的距离为_10求与双曲线1共焦点,且过点(3,2)的双曲线方程11.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图所示),|PA|=100 m,|PB|=150 m,APB=60,试说明怎样运土才能最省工12设有双曲线1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上(1)若F1MF290,求F1MF2的面积;(2)若F1MF2120,F1MF2的面积是多少?若F1MF260,F1MF2的面积又是多少?(3)观察以上计算结果,你能看出随F1MF2的变化,F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论参考答案1. 解析:本题容易犯片面性错误,从而根据双曲线的定义得出错误结果由于|PM|PN|4恰好等于这两个定点间的距离,故其轨迹是一条射线答案:C2. 解析:椭圆的标准方程为1,故焦点坐标为(,0),c.由,得a2,又双曲线中c2a2b2,则b21.答案:B3. 解析:在PF1F2中,|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|,即()222|PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|4.答案:B4. 解析:由题意,知圆C仅与x轴有交点,由得x26x80.x2或x4,即c4,a2.双曲线方程为1.答案:A5. 解析:kAB1,直线AB的方程为yx3.由于双曲线的焦点为F(3,0),c3,c29.设双曲线的标准方程为1(a0,b0),则1.整理,得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x22(12),5a24b2.又a2b29,a24,b25.双曲线E的方程为1.答案:B6. 解析:如图所示,由c2得a214,a23,双曲线方程为y21.设P点坐标为(x,y)(x),则(x,y)(x2,y)x22xy2x22x1x22x1(x)令g(x)x22x1(x),则g(x)在,)上是增加的,g(x)ming()32,的取值范围为32,)答案:B7. 解析:在双曲线的定义中,|PF1|PF2|2a,即|PF1|PF2|2a,正负号的取舍取决于P点的位置是在左支上还是在右支上因右顶点到左焦点的距离为109,所以点P只能在双曲线的左支上,|PF2|17.答案:|PF2|178. 解析:设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,知|PF|2a|PF1|4|PF1|,故|PF|PA|4|PF1|PA|,当|PF1|PA|最小时,|PF|PA|最小当点A,P,F1共线时,|PF1|PA|最小,最小值为|AF1|5,故所求最小值为9.答案:99. 解析:设|PF1|m,|PF2|n.当mn时,由1,知a3,b4,c5.由双曲线的定义,知mn2a6.PF1PF2,PF1F2为直角三角形,即m2n2(2c)2100.由mn6,得m2n22mn36,2mnm2n23664.mn32.设点P到x轴的距离为d,则SPF1F2d|F1F2|PF1|PF2|,即d2cmn.d,即点P到x轴的距离为.当mn时,同理可得点P到x轴的距离为.答案:10. 解:由于所求的双曲线与已知的双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为1.由于点(,2)在所求的双曲线上,从而有1.整理,得k210k560,k4或k14.又16k0,4k0,4k16.从而得k4.故所求双曲线的方程为1.11. 解:如图,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系设M是分界线上的点,则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界线是以A,B为焦点的双曲线的右支在APB中,由余弦定理,得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|PB|cos 60=17 500.从而a=25,c2=4 375,所以b2=c2-a2=3 750.所以所求分界线的方程为=1(x25)于是运土时,将此双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工12. 解:设|MF1|r1,|MF2|r2(不妨设r1r2),F1MF2,SF1MF2r1r2sin ,只要求r1r2即可,因此考虑到双曲线定义及余弦定理可求出r1r2.(1)由双曲线方程知a2,b3,c,由双曲线定义,有r1r22a4,两边平方得rr2r1r216,即|F1F2|24SF1MF216,也即52164SF1MF2,求得SF1MF29.(2)若F1MF2120,在MF1F2中,由余弦定理得,|F1F2|2rr2r1r2cos 120(r1r2)23r1r252,r1r212,求得SF1MF2r1r2sin 1203.同理可求得若
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