02第二章极限与连续

1 第二章第二章 极限与函数极限与函数 一 本章学习要求与内容提要一 本章学习要求与内容提要 一 学习要求 一 学习要求 1 了解极限的描述性定义 2 了解无穷小 无穷大的概念及其相互关系和性质 3 会用两个重要极限公式求极限 4 掌握极限的四则运算法则 5 理解函数在一点连续的概念 知道间断点的分类 6 了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质 最大 值和最小值定理 根的存在定理 介值定理 7 会用函数的连续性求极限 重点重点 极限的求法 两个重要极限 函数在一点连续的概念 难点难点 间断点的分类 分段函数在分段点的连续性 二 内容提要 二 内容提要 极限的定义 极限的定义 1 函数极限 数列极限的描述性定义 极限定义表极限定义表 类型描述性定义极限记号 极限 的 时函数 xf x 设函数在 为某个正 xfy bx b 实数 时有定义 如果当自变量 的绝对x 值无限增大时 相应的函数值无限接近 于某一个固定的常数 则称为AA 读作 趋于无穷 时函数 xx 的极限 xf 或Axf x lim xAxf 2 极限 的 时函数 xf x 设函数为某个实数 aaxfy 在 内有定义 如果当自变量 无限增大时 x 相应的函数值无限接近于某一个固 xf 定的常数 则称为 读作AA x 趋于正无穷 时函数的极限x xf 或Axf x lim xAxf 极限 的 时函数 xf x 设函数 为某个实数 axfy 在a 内有定义 如果当自变量无限增大且x 时 相应的函数值无限接近于0 x xf 某一个固定的常数 则称为AA 读作 趋于负无穷 时函数 xx 的极限 xf 或Axf x lim xAxf 极限 的 时函数 0 xf xx 设函数在点的去心邻域 xfy 0 x 内有定义 如果当自变量 在 0 xNx 内无限接近于时 相应的函数 0 xN 0 x 值无限接近于某一个固定的常数 xfA 则称为当 读作 趋近于 A 0 xx x 0 x 时函数的极限 xf 或Axf xx lim 0 0 xxAxf 极限 的 时函数 0 xf xx 设函数在点的左半邻域 xfy 0 x 内有定义 如果当自变量 在此 00 xx x 半邻域内从左侧无限接近于时 相应 0 x 0 x 的函数值无限接近于某个固定的常 xf 数 则称为当 趋近于时函数AAx 0 x 的左极限 xf 或Axf xx lim 0 Axf xxAxf 0 0 0 或 极限 的 时函数 0 xf xx 设函数的右半邻域 xfy 内有定义 如果当自变量 在此 0 0 xxx 半邻域内从右侧无限接近于时 相应 0 x 0 x 的函数值无限接近于某个固定的常 xf 数 则称为当 趋近于时函数AAx 0 x 的右极限 xf 或Axf xx lim 0 Axf xxAxf 0 0 0 或 对于数列 若当自然数 无限增 n un 大时 通项无限接近于某个确定的常 n u 数 则称为当 趋于无穷时数列的极An n u 限 或称数列收敛于 n uA 或Aun n lim nAun 数列 的 n u 极限 若数列的极限不存在 则称数列 n x 发散 n x 不存在 n n u lim 2 单侧极限与极限的关系定理 3 的充分必要条件是 Axf x lim limxf x Axf x lim 的充分必要条件是 Axf xx lim 0 lim 0 xf xx Axf xx lim 0 极限存在准则 单调有界数列极限的存在定理 单调有界数列必有极限 夹逼准则 若当时 有 且 0 xNx xhxfxg Axg xx lim 0 Axh xx lim 0 则 Axf xx lim 0 夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立 2 2 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 设及都存在 则 lim 0 xf xx lim 0 xg xx 1 lim lim lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 2 lim lim lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 为任意常数 lim lim 00 xfCxCf xxxx C 3 lim lim 00 xg xf xg xf xxxx 0 lim 0 xg xx 上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样 成立 3 3 两个重要极限两个重要极限 1 一般形式为 其中代表 的任 1 sin lim 0 x x x 1 sin lim 0 xu xu xu xux 意函数 2 1 1lime x x x 4 一般形式为 其中代表 的任意函数 e 1 1lim xu xu xu xux 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时 均以 的极限变化过程为例 其他极限变化过程 有完全类似的结论 0 xx 无穷小量 在自变量的某个变化过程中 以零为极限的变量称为该极限过程 中的无穷小量 简称无穷小 例如 如果 则称当0 lim 0 xf xx 时 是无穷小量 0 xx xf 注意注意 一般说来 无穷小表达的是变量的变化状态 而不是变量 的大小 一个变量无论多么小 都不能是无穷小量 数零是惟一可 作为无穷小的常数 无穷大量 在自变量的某个变化过程中 绝对值可以无限增大的变量称为这 个变化过程中的无穷大量 简称无穷大 应该注意的是 无穷大量是极限不存在的一种情形 我们借用极 限的记号 表示 当时 是无穷大量 lim 0 xf xx 0 xx xf 无穷小量与无穷大量的关系 在自变量的某个变化过程中 无穷大量的倒数是无穷小量 非零 无穷小量的倒数是无穷大量 无穷小量的运算 有限个无穷小量的代数和是无穷小量 有限个无穷小量的乘积是无穷小量 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量 常数与无穷小量的乘积是无穷小量 5 无穷小量的比较 下表给出了两个无穷小量之间的比较定义 无穷小量的比较表无穷小量的比较表 5 设在自变量的变化过程中 均是无穷小量 0 xx xx 与 无穷小的比较定 义记 号 高阶的无穷小是比 xx 0 lim 0 x x xx xx 0 xx 是同阶的无穷小与 xx lim 0 为不等于零的常数CC x x xx 是等阶无穷小与 xxa 1 lim 0 xa x xx xx 0 xx 极限与无穷小量的关系定理 的充分必要条件是 其中是当时Axf xx lim 0 xAxf xa 0 xx 的无穷小量 无穷小的替换定理 设当时 存在 则 0 xx 21 xx 21 xx lim 2 2 0 x x xx lim 2 2 1 1 0 x x x x xx 5 5 函数的连续性 函数的连续性 函数在一点连续的概念 函数在一点连续的两个等价的定义 定义 定义 设函数在点的某个邻域内有定义 若当自变量 xf0 x 的增量趋于零时 对应的函数增量也趋于零 即 0 xxx 0 limlim 00 00 xfxxfy xx 则称函数在点处连续 或称是的一个连续点 xf 0 x 0 x xf 定义 定义 若 则称函数在点处连续 lim 0 0 xfxf xx xf 0 x 左右连续的概念 若 则称函数在点处左 lim 0 0 xfxf xx xf 0 x 连续 若 则称函数在点处右连续 lim 0 0 xfxf xx xf 0 x 函数在一点连续的充分必要条件 函数在点处连续的充分必要条件是在点处既左连续 xf 0 x xf 0 x 6 又右连续 由此可知 函数在点处连续 必须同时满足以下三个条件 xf 0 x 函数在点的某邻域内有定义 xf 0 x 存在 lim 0 xf xx 这个极限等于函数值 0 xf 函数在区间上连续的概念 在区间上每一点都连续的函数 称为在该区间上的连续函数 或 者说函数在该区间上连 续 该区间也称为函数的连续区间 如果连续区间包括端点 那么 函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 间断点 若函数在点处不连续 则称点为函数的间断点 xf 0 x 0 x xf 间断点的分类 设为的一个间断点 如果当时 的左极限 右极 0 x xf 0 xx xf 限都存在 则称为的第一类间断点 否则 称为的第二 0 x xf 0 x xf 类间断点 对于第一类间断点有以下两种情形 当与都存在 但不相等时 称为的跳跃间 lim 0 xf xx lim 0 xf xx 0 x xf 断点 当存在 但极限不等于时 称为的可去间 lim 0 xf xx 0 xf 0 x xf 断点 初等函数的连续性定理 基本初等函数在其定义域内是连续的 一切初等函数在其定义区 间内都是连续的 闭区间上连续函数的性质 最大值和最小值存在定理最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大 值和最小值 根的存在定理根的存在定理 设为闭区间上的连续函数 且 xf ba 异号 则至少存在一点 使得 bfaf与 ba 0 f 介值定理介值定理 设是闭区间上连续函数 且 则 xf ba bfaf 7 对介于之间的任意一个数 则至少存在一点 使 bfaf与 ba 得 f 二 主要解题方法二 主要解题方法 1 1 求函数极限方法 求函数极限方法 1 利用极限存在的充分必要条件求极限 例例 1 1 求下列函数的极限 1 4 2 lim 2 2 x x x 2 当 为何值时 在的极 1 1 sin 2 x a x x xf 0 0 x x a xf0 x 限存在 解解 1 4 1 2 2 2 lim 4 2 lim 2 2 2 xx x x x xx 4 1 2 2 2 lim 4 2 lim 2 2 2 xx x x x xx 因为左极限不等于右极限 所以极限不存在 2 由于函数在分段点处 两边的表达式不同 因此一般0 x 要考虑在分段点处的左极限与右极限 于是 有0 x aa x xa x xxf xxxx 0000 lim 1 sin lim 1 sin lim lim 1 1 lim lim 2 00 xxf xx 为使存在 必须有 lim 0 xf x lim 0 xf x lim 0 xf x 因此 当 1 时 存在且 1 a lim 0 xf x lim 0 xf x 小结小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限 要 用左右极限来求 只有左右极限存在且相等时极限才存在 否则 极限不存在 8 3 利用极限运算法则求极限 例例 2 2 求下列函数的极限 1 2 3 1 32 lim 2 1 x x x3 lim x 65 9 2 2 xx x 2 1 21 lim 11 x xx 4 2 15 lim x x x 解解 1 1 32 lim 2 1 x x x 1 lim 32 lim 1 2 1 x x x x 2 1 2 当时 分子 分母极限均为零 呈现型 不能直接3 x 0 0 用商的极限法则 可先分解因式 约去使分子分母为零的公因子 再用商的运算法则 原式 6 2 3 lim 2 3 3 3 lim 65 9 lim 33 2 2 3 x x xx xx xx x xxx 3 当时 的极限均不存在 式呈现1 x 2 21 11xx 2 21 11xx 型 不能直接用 差的极限等于极限的差 的运算法则 可先 进行通分化简 再用商的运算法则 即 原式 22 11 212 1 lim lim 111 xx x xxx 11 1 11 limlim 1 1 12 xx x xxx 4 当时 分子分母均无极限 呈现形式 需分子分 x 母同时除以 将无x 穷大的约去 再用法则求x 9 原式 5 2 1 1 5 lim x x x 小结小结 应用极限运算法则求极限时 必须注意每项极限都存I 在 对于除法 分母极限不为零 才能适用 II 求函数极限时 经常出现 等情况 都不能直接 0 0 运用极限运算法则 必须对原式进行恒等变换 化简 然后再求极 限 常使用的有以下几种方法 对于型 往往需要先通分 化简 再求极限 i 对于无理分式 分子 分母有理化 消去公因式 再求极ii 限 对分子 分母进行因式分解 再求极限 iii 对于当时的型 可将分子分母同时除以分母的最iv x 高次幂 然后再求极限 3 利用无穷小的性质求极限 例例 3 3 求下列函数的极限 1 2 1 1 lim 2 1 x x x 3 sin lim 1 x xx x 解解 1 因为 而 求该式的极限需用无0 1 lim 1 x x 0 1 lim 2 1 x x 穷小与无穷大关系定理解决 因为 所以当时 0 1 1 lim 2 1 x x x 1 x 是无穷小量 因而它的倒数是无穷大量 即 1 1 2 x x 1 1 lim 2 1 x x x 2 不能直接运用极限运算法则 因为当时分子 极限x 10 不存在 但是有界函数 即而 sin xsin1x 因此当时 为无穷小量 0 1 1 1 lim 1 lim 3 3 x x x x xx x 3 1x x 根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理 即得 3 sin lim0 1 x xx x 小结小结 利用无穷小与无穷大的关系 可求一类函数的极限 分母 极限为零 而分子极限存在的函数极限 利用有界函数与无穷小的 乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限 有界量与无穷小之积的 函数极限 4 利用两个重要极限求函数的极限 例例 4 4 求下列函数的极限 1 2 2 0 3coscos lim x xx x x x x 1 1 lim 2 解解 1 分子先用和差化积公式变形 然后再用重要极限公式求 极限 原式 2 0 2sinsin2 lim x xx x 441 2 2sin 4 lim sin lim 0 x x x x xx 2 解一解一 原式 1 0 1 1 lim 1 1 lim 1 1 1 1 lim x x x x xx x xxxx 1ee 1 解二解二 原式 1 2 1 1 lim 2 x x x x 1e0 小结小结 利用求极限时 函数的特点是型 满足I1 sin lim 0 x x x 0 0 的形式 其中为同一变量 sin lim 0 xu xu xu xu 11 用求极限时 函数的特点型幂指函数 其形式II x x x 1 1 lim 1 为型 1 1xx 为无穷小量 而指数为无穷大 两者恰好互为倒数 x 用两个重要极限公式求极限时 往往用三角公式或代数公III 式进行恒等变形或作 变量代换 使之成为重要极限的标准形式 5 利用等价无穷小代换求极限 常用等价无穷小有 当 时 0 x 1ln arctan arcsin tan sin xxxxxx 1ex 2 2 1 cos1xx xxx2tan 2sin 2 例例 5 5 求下列函数的极限 1 2 2 0 3 cos1 lim x x x 3 0 tansin lim x xx x 解解 1 2 0 3 cos1 lim x x x 6 1 3 2 1 lim 2 2 0 x x x 2 2 1 cos1 0 xxx 2 x xx x 3 0 sin sintan lim xx xx x cos cos1 sin lim 3 0 2 0 sin 1cos 1 lim cos x xx xxx 2 2 0 2 sin2 lim x x x 2 1 2 2 2 2 sin 0 xx x 小结小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母 也可代换分子或 分母中的因式 但当分子或分母为多项式时 一般不能代换其中一 项 否则会出错 12 如上题 即得一错误结果 0lim sin sintan lim 3 0 3 0 x xx x xx xx 6 利用函数的连续性求极限 例例 6 6 求下列函数的极限 1 2 2 lim x2 2 1e sin x xx x arcsin lim 2 xxx x 解解 1 因为是初等函数 在处有定义 2 2 1e sin x xx x 2 x 所以 5e 2sin4 1e sin lim 2 22 2 2 x xx x 2 函数看成由 复合而成 arcsin 2 xxx xxxuu