第十八章函数及其图像知识点

1 函数及其图像函数及其图像 知识点知识点 一 函数的概念 变量 自变量 因变量 常量的概念 变量 在某一函数变化过程中 可以取不同数值的量 叫做变量 自变量 在某一函数变化过程中 主动变化的量的叫做自变量 因变量 在某一函数变化过程中 因为自变量的变化而被动变化的量叫 做因变量 此时 我们也称因变量是自变量的函数 常量 在某一函数变化中 始终保持不变的量 叫做常量 练习 在函数中 自变量是 因变量是 常量rc 2 是 叫做 的函数 二 函数的三种表示方法 解析法 就是用一个函数关系式来表示函数变化规律 例如 表示圆的 面积和半径的函数关系式是 2 rs 列表法 就是用一个数据表来表示函数变化规律 例如 小强每分钟走 100 米 下表是小强走的路程同时间关系的列表 t 分钟 123456 S 米 100200300400500600 图像法 就是用线性图像来表示函数变化规律 例如 三 函数的定义域和值域 三 函数的定义域和值域 函数的定义域是指自变量的取值范围 函数的值域是指因变量的取值 范围 函数自变量取值范围的确定如下表 函数解析式类型自变量取值满足 的条件 应用举例 整式全体实数 x 为任意实 54 xy 数 分式分母不为零 2 2 32 x x x y 二次 偶次 根式被开方数非负 263 xxy 练习 求下列函数中自变量 x 的取值范围 2 75 x y 2 2 xxy 84 3 x y 3 xy 四 平面直角坐标系 四 平面直角坐标系 在平面上画两条原点重合 互相垂直且具有相同单 位长度的数轴 这就建立了平面直角坐标系 水平的数轴叫做横轴 x 轴 取向右为正方向 铅直的数轴叫做纵轴 y 轴 取向上为正方向 两 条数轴的交点 O 叫做坐标原点 x 轴和 y 轴将坐标平面分成四个象限 如图 s 600 500 400 300 200 100 t654321 y x O 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一一 一 一 一 2 五 平面内点的坐标 五 平面内点的坐标 横坐标 纵坐标 如图 过点 P 作 x 轴的垂线段 垂足在 x 轴上表示的数是 2 因此点 P 的 横坐标为 2 过点 P 作 y 轴的垂线段 垂足在 y 轴上表示的数是 3 因此点 P 的 纵坐标为 3 所以点 P 的坐标为 2 3 练习 请你在图中写出点 B C D E F 的坐标 六 平面内特殊位置的点的坐标情况 六 平面内特殊位置的点的坐标情况 连线 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 0 a b 0 七 点的表示 横坐标 纵坐标 注意 不要丢了括号和中间的逗号 表示的意思 当时 如点 A 2 1 表示 当 x y 时 2x 1y 同时要注意轴上点的特征 即纵坐标等于 0 轴上点的x 0 y 特征 即 横坐标等于 0 0 概括 坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为 0 八 对称点的坐标关系 关于 x 轴对称的点 横坐标 纵坐标 关于 y 轴对称的点 横坐标 纵坐标 关于原点对称的点 横坐标 纵坐标 关于轴对称 关于轴对称 关于原点对 P a bxy 称 思考 如何解决点关于 y x y x 对称 以及点旋转 90 之后的坐标 九 数轴上的点和 是一一对应的 在平面直角坐标系中的 点和 也是一一对应的 一一对应的 十 点到轴的距离为 到轴的距离为 P a bxy 1 点 3 2 到 X 轴的距离是 到 Y 轴的距离是 2 点 P 在第 3 象限 P 到 X 轴的距离是 4 到 Y 轴的距离是 3 那么点 P 的坐标 是 3 点 P 3 5 到 y 轴的距离为 到 x 轴的距离为 O F E D C B P 2 3 3 十一 点的平移 向上平移 2 格 向下平移 3 格 向右平移 1 格 P a b 向右平移 5 格 概括 左右平移改变的是横坐标 上下 平移改变的是纵坐标 十二 两点之间的距离 在同一条水平上线上的时候 求 A B 两点之间的距离 概括 A B 两点之间的距离为 或 12 xx 12 yy 当两点不在同一水平上的时候 我们是通过构造直角三角形的方法来进 行求解的 这就需要用到勾股定理的相关知识 同时也要用到 中两点在 同一水平线上的时候 两点之间的距离求法 A B 两点之间的距离 22 1212 ABxxyy A B 两点的中点坐标为 1212 22 xxyy 1 点 A 0 2 与点 B 0 3 则 AB 2 点 A 2 0 与点 B 5 0 则 AB 3 点 A 2 3 与点 B 3 2 则 AB 十三 画函数图像通常用描点法描点法 步骤是 列表 描点 连线三步 十四 如何根据解析式作图 在作图的过程中 我们应该关注哪些方面 确定的取值范围 特别要小心有些情况下并不能取到所有的值 xx 图像也会受到一定的限制 初步判断函数图像的增 减性 来初步判断函数应该是上升的 还 是下降的 判断函数图像是直线 还是双曲线 可以通过的指数来判断 也x 可以通过变化速度是匀速的还是变速的来进行判断 最后从函数与轴 未必一定会有 轴的交点 以及极值点 未xy 必一定会有 对称性 如原点对称 分段性 从而画出比较准确的 草图 十五 点是否在函数图像上 其本质就是判断这个点所代表的的值 x y 是不是解析方程的解 如 判断点是否在函数图像上 即相当于 4 6 2 23yxx 是不是方程的解 或者说 当 4 6xy 2 23yxx 4x 是否会等于 6 22 2342 43yxx 1 点 3 2 在函数a1 a 的图像上 则1 kxy ak 2 直线 y 2 5x 3 过点 0 0 3 直线 y 3x 5 经过点 3 5 4 已知一次函数 y kx 5 的图象经过点 1 2 则 k 5 经过点 3 2 的一次函数是 A y 3x 5 B y 2x 1 C y x 1 D y x 1 十六 已知横坐标求纵坐标 或者已知纵坐标求横坐标 B 4 3 A 2 3 O B 2 2 A 2 3 O 4 如 的图像上 已知点 A 的横坐标为 2 点 B 的纵坐标为 4 22yx 求点 A B 的坐标 解析 A 点相当于问你 当 时 B 点相当于问你 2x y 时 4y x 十七 寻找与题意相符的函数图像 1 某人早上进行登山活动 从山脚到山顶休息一会儿又沿原路回 若横 轴表示时间 t 纵轴表示与山脚的距离 h 则下面四个图中反映全程 h 与 t 的关系图是 2 一支蜡烛长 20 厘米 点燃后每小时燃烧 5 厘米 燃烧时剩下的高度 n 厘 米 与燃烧时间 t 时 的函数关系的图象是 A B C D 3 在矩形中 动点从点出发 沿 方向运MNPQRNNPQM 动至点处停止 设点运动的路程为 的面积为 如果MRxMNR y 关于的函数图象如图 2 所示 则当时 点应运动到 yx9x R A 处 B 处 C 处 D 处NPQM 4 乌鸦口渴到处找水喝 它看到了一个装有水的瓶子 但水位较低 且瓶口又小 乌鸦喝不着水 沉思一会后 聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中 水位上升后 乌鸦喝到了水 在这则乌鸦喝水的故事中 从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时 间为x 瓶中水位的高度为y 下列图象中最符合故事情景的是 十八 看函数图像获取信息 下图描述了小明在散步过程中离家的距离 s 米 与散步所有时间 t 分 之间的函数关系 请你根据图像提供的信息完成下列填空 小明从家到公园阅报栏用了 分钟 这段路程的速度是 小明在阅报栏看了 分钟的报 小明散步走得最远时 离家 米 小明回家用了 分钟 回家时的速度是 ABCD t h 0 t h 0 t h 0 t h 0 20 4 h 厘米 t 小时 20 4 h 厘米 t 小时 20 4 h 厘米 20 4 h 厘米 t 小时 Q P R MN 图 1 图 2 49 y xO 5 十九 一次函数的定义 一次函数的定义 函数解析式是用自变量的一次整式表示的函数叫 做一次函数 形如 0 kbkbkxy是常数 特别的 当 b 0 时 一次函数也叫做正比例函正比例函 0 kkxy常数 数数 二十 一次函数的图像二十 一次函数的图像是一条 因此画一次函数的图像只需要 取 个点 二十一 函数图像上的点 函数图像上的点 注 点的横坐标就是 x 的值 点的纵坐标就 是 y 的值 已知点 A 2 a 在一次函数上 则 a 1 xy 直线过点 0 0 34 xy 请你写出直线上任意两个点的坐标 1 xy 二十二 一次函数一次函数的性质的性质 0 kbkbkxy是常数 由 k 值的正负来决定 K 的取值代数性质几何性质 k 0 y 随 x 的增大而增大函数的图像从左到右是上升的 Kx2 那么 y1 y2 已知点 x1 y1 和点 x2 y2 在函数 的图像上 且 y1 y2 那 x1 x2 1 xy 二十三 一次函数一次函数的图像特的图像特 0 kbkbkxy是常数 征 征 由 k b 的取值决定 k 的取 值 b 的取值经过象限图像 b 0 一 二 三 b 0 一 三 k 0 b0 一 二 四 b 0 二 四 k 0 b0 b 0 B k 0 b 0 C k0 D k 0 b0 时 y 随 x 的增大而 当 k0 时 反比例函数和一次函数 y kx k 的图象大致为 x k y 2 函数 y x 2 的图像大致是 O x A yy O x C y O x D y 3 函数 y1 kx 和 y2 的图象如图 自变量 x 的取值范围相同的是 4 函数 y x 2 的图像大致是 O x B yy O x C y O x D y 5 函数与在同一平面直角坐标系中的图像可 能是 三十四 直线之间的位置关系 已知直线 1111 2222 lyk xb lyk xb 平行的充要条件 且 12 l l 12 kk 12 bb 重合的充要条件 且 12 l l 12 kk 12 bb 垂直的充要条件 12 l l 12 1kk x y C O x y D O x y B O x y A O B 10 三十五 直线位置关系与方程组的解之间的关系 两直线相交说明方程组有唯一解 平行说明方程组无解 重合说 明方程组有无穷多个解 方程组的解为 而 25 1 yx yx 2 1 x y 交 点坐标为 2 1 方程组无解 如图所示 图 22 22 yx yx 像 没有交点 通过方程无解来说明直线平行的方法 方程组无解 则 1111 2222 lyk xb lyk xb 11221221 k xbk xbkkxbb 当且时方程无解 所以我们可以得到当 12 0kk 21 0bb 且时直线平行 12 kk 12 bb 三十六 解析式的求解 解析式的求解步骤 首先要先判断它是一次函数 直线或线段 还是 正比较函数 直线或给段 但经过原点 或者反比较函数 双曲线 也 可能只有其中一支 其次 设函数解析式 如下 一次函数 需要两个条件 或者两个点坐标 来列 ykxb 0 k 方程组 求的值 而正比例函数 反比例函数 k b 0 ykx k 都只需要一个条件 或者一个点坐标 去求解的值 k y x 0 k k 写出满足下列条件的一个函数关系式 1 图像过点 1 1 3 2 的一次函数 2 图像过点的正比例函数 2 3 3 图像过点的反比例函数 3 3 2 三十七 反比例有关的面积问题 图 7 三角形 AOB 的面积有多种方法 11 三十八 函数与方程 不等式之间的关系 指示 解决此类题目的关键在于 找到图像的交点 并且理解交点的意思 之后再过交点作 x 轴的垂线 并且左右平移垂线 进行观察 例 1 画出函数的图像 根据图像 指出 3 3 2 yx 1 取什么值时 函数值等于 0 xy 2 取什么值时 函数值大于 0 xy 例 2 如图 14 已知 是一次函数的图象 4 An 24 B ykxb 和反比例函数的图象的两个交点 m y x 1 求反比例函数和一次函数的解析式 2 求直线与轴的交点的坐标及 ABxC 的面积 AOB 3 求方程的解 请直接写出答案 0 x m bkx 4 求不等式的解集 请直接写出答案 0 x m bkx 例 3 如图 直线与反比例函数 x 0 的图像交6yx k y x 点 A 点 B 与 x 轴相交于点 C 其中点 A 的坐标为