数学人教版九年级上册弦切角.doc

科目 数学年级 初三章节 7.11关键词 弦切角/圆标题 弦切角内容 弦切角 教学目标 1.使学生理解弦切角的概念； 2.使学生掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题； 3.使学生进一步理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法. 教学重点和难点 弦切角定理及其应用是重点； 弦切角定理的证明是难点. 教学过程设计 一、创设情境，以旧探新 1.提问：什么样的角是圆周角? 2.电脑显示：圆周角CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得BAE.(图7-132) 提问：这时BAE还是圆周角吗?为什么? 引导学生共同分析BAE的特点，并仿照圆心角、圆周角，给这个特殊角命名.学生很可能猜出这样的角叫弦切角，引出课题. 3.启发学生进行观察，并归纳总结出弦切角的特点： (1)顶点在圆周上； (2)一边与圆相交； (3)一边与圆相切. 进一步引导学生用数学语言给弦切角下定义： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 4.用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性：判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：(投影打出，让学生讨论，在学生讨论的基础上，教师加以总结)(图7-133)以下各图中的角都不是弦切角. 图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件； 图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件； 图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件； 图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件. 通过以上分析，使全体学生明确：弦切角定义中的三个条件缺一不可. 教师引导学生继续观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个.如图7-134. 由此发现，弦切角可分为三类： (1)圆心在角的外部； (2)圆心在角的一边上； (3)圆心在角的内部. 二、观察联想、发现规律1. 教师演示电脑，当弦切角一边通过圆心时，(如图7-135) (1)弦切角CAB是多少度?为什么? (2)CAB所夹弧所对的圆周角D是多少度?为什么? (3)此时，弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系?学生观察图形，不难发现，此时弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角. 2.教师继续演示电脑或投影.以A为端点.旋转AC边，使弦切角增大或减小，观察它与所夹弧所对圆周角之间的关系，引导学生得出猜想：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角. 三、类比联想，尝试论证 1.首先让学生回忆联想： (1)圆周角定理的证明采用了什么方法? (2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢? 2.已经证明了特殊情况，下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况.(电脑或投影演示两种图形，如图7-136) 组织学生讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况.在此基础上，教师小结分析.如图7-136(1)，圆心O在CAB外，作O的直径AQ，连结PQ，则BACBAQ-1APQ-2APC. 如图7-136(2)，圆心O在CAB内，作O的直径AQ，连结PQ，则BACQAB+1QPA+2APC. (分析完毕，师生共同写出完整的证明过程) 回顾证明方法：将情形图7-136都化归至情形图7-135，利用角的合成、对三种情况进行完全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得： 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.(板书) 3.学生看书并考虑：课本上关于定理的证明与我们现在的证明方法有何异同? 由此得出：推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等. 四、巩固练习、初步应用 例1 如图7-139，已知AB是O的直径，AC是弦，直线CE和O切于点C，ADCE，垂足为D. 求证：AC平分BAD.思路一：要证BACCAD，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC，得RtACB，只需证ACDB.(图7-139) 证明：(学生口述，教师板书) 组织学生积极思考，可否用前边学过的知识证明此题?由学生回答，教师小结. 思路二:连结OC，由切线性质，可得OCAD，于是有13，又由于12，可证得结论.(图7-140)图 7-142 思路三:过C作CFAB，交O于F，连结AF.由垂径定理可知13，又根据弦切角定理有21，于是23，进而可证明结论成立.(图7-141) 练习题 1.如图7-142，AB为O的直径，直线EF切O于C，若BAC56，则ECA_ 度. (学生思考、口答)2. AB切O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为31，则夹劣弧的弦切角BAC_ .(学生画图，思考、口答) 3.如图7-143，经过O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C.求证：ATCTBC. (此题为课本的练习题，证明方法较多，可组织学生讨论，教师归纳证法.在此基础上，可进一步让学生证明CT2CBCA，为下一节课打基础.) 五、归纳小结 1.教师提出问题，学生回答： (1)这节课我们主要学习了哪些知识? (2)在学习过程中你体会到哪些重要的数学思想方法? 2.在学生回答的基础上，教师加以小结：(1)(先投影出图形：图7-144) 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角. (2)在证明弦切角定理时，我们是从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角概念的引入和定理的证明过程，逐步学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律. (3)还学习了分类讨论的思想和完全归纳的证明方法.在这里一定要注意为什么要对弦切角进行分类和如何进行分类. 六、作业 1.阅读