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2015年秋期期终质量评估高三年级数学（理）参考答案一、选择题CBDCA ABBDA CB二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题：17.解：（1）由正弦定理得：即 2分即 4分 即成等差数列。 6分（余弦定理也可解决）（2） 8分又 10分由（1）得： 即 12分18. 解：（1）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A 1分 4分（2）依据条件，服从超几何分布：其中N=15，M=5，n=3，的可能值为0，1，2，3，其分布列为： 6分0123P8分（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为，一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则 10分，一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级 12分19. （1）证明： ， 又 面 又面 2分 以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 则, 设 ， 且,即： 5分 6分（2）假设存在,设面的法向量为 ， 则 即： 令 . 8分 由题可知面的法向量 9分 平面与平面 所成锐二面的余弦值为 即： 或 （舍） 11分 当点为中点时，满足要求. 12分20. 解：（）由题意得.椭圆的方程为：4分（）设，则的中点为，,所以以为直径的圆的方程为：.令，得，设的坐标分别为,，因为A、M、G三点共线，则因为M、B、H三点共线，则两式相乘得.因为在椭圆上，所以，所以.8分所以.所以，以为直径的圆恒过轴上的定点12分21. 解（）由，则当时，对，有，所以函数在区间上单调递增；当时，由，得；由，得，此时函数的单调增区间为，单调减区间为综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为4分（）函数的定义域为，由，得（）5分令（），则，6分由于，可知当，；当时，故函数在上单调递减，在上单调递增，故又由（）知当时，对任意，有，即，（随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢则当且无限接近于0时，趋向于正无穷大.）当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数没有零点8分（）由（）知当时，故对任意，先分析法证明：任意，10分要证任意，只需证任意，即证任意，构造函数，则，故函数在单调递增，所以，则任意成立当时，由（），在单调递增，则在上恒成立；当时，由（），函数在单调递增，在单调递减，故当时，所以，则不满足题意所以满足题意的的取值范围是12分22. 证明:(1)是圆的切线, 是圆的割线, 是的中点, ,又, , 即., , ,. 5分 (2),即, ,是圆的切线,即, 四边形PMCD是平行四边形. 10分23.解：（I）圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为。联立得，解得或所以C1与C2交点的极坐标为， 5分 （II）由（I）可得，P，Q的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ的直角坐标方程为，由参数方程可得，所以，解得。10分24.解： (1)由得：或或3
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