2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题一第三讲 不等式及线性规划.docx

教学资料范本2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题一第三讲 不等式及线性规划编 辑：_时 间：_高考考点考点解读不等式的性质及解法1.利用不等式的性质判定命题的真假及一元二次不等式的解法2通过含参数不等式恒成立求参数范围基本不等式的应用1.考查利用基本不等式求最值问题2常与集合、函数等知识交汇命题线性规划问题1.给出约束条件求最值.求区域面积2已知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)掌握不等关系与不等式解法、基本不等式的应用(2)熟练掌握求解线性规划问题的方法.给出线性不等式组可以熟练找出其对应的可行域(3)关注目标函数的几何意义和参数问题.掌握求目标函数最值的方法预测2020年命题热点为：(1)不等式的性质、不等关系及不等式解法；利用基本不等式求函数最值(2)求目标函数的最大值或最小值及求解含有参数的线性规划问题Z 1不等式的四个性质注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求.如(1)ab.c0acbc.ab.c0acb0.cd0acbd.(3)ab0anbn(nN.n1)(4)ab0(nN.n2)2四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0).再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根.最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系.确定一元二次不等式的解集(2)简单分式不等式的解法0(0(1时.af(x)ag(x)f(x)g(x)；当0aag(x)f(x)1时.logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0；当0alogag(x)g(x)f(x)0.3基本不等式(1)基本不等式的常用变形ab2(a0.b0).当且仅当ab时.等号成立a2b22ab.ab()2(a.bR).当且仅当ab时.等号成立2(a.b同号且均不为零).当且仅当ab时.等号成立a2(a0).当且仅当a1时.等号成立；a2(a0.b0.则.当且仅当ab时取等号(2)利用基本不等式求最值已知a.bR.则若abS(S为定值).则ab()2.当且仅当ab时.ab取得最大值.若abT(T为定值.且T0).则ab22.当且仅当ab时.ab取得最小值2.4求目标函数的最优解问题(1)“斜率型”目标函数z(a.b为常数).最优解为点(a.b)与可行域上点的连线的斜率取最值时的可行解(2)“两点间距离型”目标函数z(a.b为常数).最优解为点(a.b)与可行域上点之间的距离取最值时的可行解5线性规划中的参数问题的注意点(1)当最值已知时.目标函数中的参数往往与直线斜率有关.解题时应充分利用斜率这一特征加以转化(2)当目标函数与最值都已知.且约束条件中含有参数时.因为平面区域是变动的.所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口.先确定最优解.然后变动参数范围.使得这样的最优解在该区域内即可6重要性质及结论(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是Y 1忽略条件应用基本不等式求最值时.要注意“一正、二定、三相等”.三个条件缺一不可.否则会导致结论错误2忽视分母不等于零求解分式不等式时应注意正确进行同解变形.不能把0直接转化为f(x)g(x)0.而忽略g(x)0.3忽略等号成立的条件在连续使用基本不等式求最值时.应特别注意检查等号是否同时成立1(20xx天津卷.2)设变量x.y满足约束条件则目标函数z3x5y的最大值为( C )A6B19C21D45解析画出可行域如图中阴影部分所示.由z3x5y得yx.设直线l0为yx.平移直线l0.当直线yx过点P(2,3)时.z取得最大值.zmax325321.故选C2(20xx全国卷.7)设x.y满足约束条件则zxy的最大值为( D )A0B1C2D3解析根据题意作出可行域.如图阴影部分所示.由zxy得yxz.作出直线yx.并平移该直线.当直线yxz过点A时.目标函数取最大值由图知A(3,0).故zmax303.故选D3(20xx全国卷.5)设x.y满足约束条件则z2xy的最小值是( A )A15 B9 C1 D9解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示将目标函数z2xy化为y2xz.作出直线y2x.并平移该直线.知当直线y2xz经过点A(6.3)时.z有最小值.且zmin2(6)315.故选A4(20xx全国卷.13)若x.y满足约束条件则z3x2y的最大值为6.解析作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示由z3x2y得yx.作直线l0：yx.平移直线l0.当直线yx过点(2,0)时.z取最大值.zmax32206.5(20xx全国卷.14)若x.y满足约束条件则zxy的最大值为9.解析由不等式组画出可行域.如图(阴影部分)xy取得最大值斜率为1的直线xyz(z看做常数)的横截距最大.由图可得直线xyz过点C时z取得最大值由得点C(5,4). zmax549.6(20xx天津卷.13)已知a.bR.且a3b60.则2a的最小值为.解析 a3b60. a3b6. 2a2a23b222223.当且仅当时等号成立.即时取到等号7(20xx江苏卷.13)在ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c.ABC120.ABC的平分线交AC于点D.且BD1.则4ac的最小值为9.解析 方法一：如图(1). SABCSABDSBCD. acsin120c1sin60a1sin60. acac. 1. 4ac(4ac)5259.当且仅当.即c2a时取等号方法二：如图(2).以B为原点.BD为x轴建立平面直角坐标系.则D(1,0).A.C.又A.D.C三点共线. . acac.以下同方法一 例1 (1)(20xx保定一模)下列三个不等式：x2(x0)；bc0)；(a.b.m0且ab).恒成立的个数为( B )A3B2C1 D0解析当xbc0得.所以0且a0恒成立.故恒成立(2)(20xx衡阳一模)已知一元二次不等式f(x)9的解集为x|x或x3.则f(ex)0的解集为( D )Ax|xln 3 Bx|ln2xln3Cx|xln3 Dx|ln2x0的解集为x|x0.所以ex3.解得ln2x0(a0).再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解(3)有函数背景的不等式：灵活利用函数的性质(单调性、奇偶性、对称性等)与图象求解G 1已知x.yR.且xy0.则( C )A0Bsinxsiny0C()x()y0解析因为xy0.选项A.取x1.y.则1210.排除A；选项B.取x.y.则sinxsinysinsin10.排除B；选项D.取x2.y.则lnxlnyln(xy)ln10.排除D故选C2已知实数x.y满足axay(0a Bln(x21)ln(y21)Csinxsiny Dx3y3解析根据指数函数的性质得xy.此时x2.y2的大小不确定.故选项A.B中的不等式不恒成立；根据三角函数性质.选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知选项D中的不等式恒成立3设函数f(x)若f(f(a)2.则实数a的取值范围是a.解析由题意或解得f(a)2.所以或解得a. 例2 (20xx徐州质检)设a、b、c都是正实数.且a、b满足1.则使abc恒成立的c的范围是( D )A(0,8B(0,10C(0,12 D(0,16分析cab恒成立.设ab的最小值为m.则cm.a、b为正实数.且1.故可用“1的代换”求ab的最小值解析a、b为正实数.1.ab(ab)()1010216.当且仅当.即a4.b12时等号成立.(ab)min16.要使cab恒成立.c为正实数.00.且1.所以()2(当且仅当.即m.n2时.取等号)所以.即mn3.所以mn的最大值为3.2已知关于x的不等式2x7在x(a.)上恒成立.则实数a的最小值为( B )A1BC2D解析2x2(xa)2a22a42a.由题意可知42a7.得a.即实数a的最小值为.故选B 例3 (1)设变量x.y满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为( B )A4B6C10 D17解析如图.已知约束条件所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界).其中A(0,2).B(3,0).C(1,3)根据目标函数的几何意义.可知当直线yx过点B(3,0)时.z取得最小值23506.(2)若x.y满足约束条件.且目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值.则a的取值范围是( B )A4,2 B(4,2)C4,1 D(4,1)解析本题主要考查线性规划作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示.直线zax2y的斜率为k.从图中可看出.当12.即4ab0.cdB D解析令a3.b2.c3.d2.则1.1.所以A.B错误；.所以lgx(x0)Bsinx2(xk.kZ)Cx212|x|(xR)D1(xR)解析应用基本不等式：x.y0.(当且仅当xy时取等号)逐个分析.注意基本不等式的应用条件及取等号的条件当x0时.x22xx.所以lg(x2)lgx(x0).故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等.而当xk.kZ时.sinx的正负不定.故选项B不正确；由基本不等式可知.选项C正确；当x0时.有1.故选项D不正确3关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1.x2).且x2x115.则a等于( A )ABCD解析由x22ax8a20.得(x2a)(x4a)0.所以不等式的解集为(2a,4a).即x24a.x12a.由x2x115.得4a(2a)15.解得a.4(20xx长春一模)已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x.则f(ex)0的解集为( D )Ax|xln3Bx|1ln3Cx|xln3Dx|x0的解集为x|1x0得1ex.解得x0的解集为x|xln35若变量x.y满足则x2y2的最大值是( C )A4 B9 C10 D12解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.设P(x.y)为平面区域内任意一点.则x2y2表示|OP|2.显然.当点P与点A重合时.|OP|2取得最大值由.解得.故A(3.1)所以x2y2的最大值为32(1)210.故选C6(文)若实数x、y满足不等式组则w的取值范围是( D )A1. B.C.) D.1)解析作出不等式组表示的平面区域如图所示据题意.即求点M(x.y)与点P(1,1)连线斜率的取值范围由图可知wmin.wmax0.x.y满足约束条件若z2xy的最小值为1.则a( B )A B C1 D2解析画出可行域.如图所示.由得A(1.2a).则直线yz2x过点A(1.2a)时.z2xy取最小值1.故212a1.解得a.10已知x(0.)时.不等式9xm3xm10恒成立.则m的取值范围是( C )A22m22 Bm2Cm1).则由已知得函数f(t)t2mtm1的图象在t(1.)上恒在x轴的上方.则对于方程f(t)0.有(m)24(m1)0或解得m22.11已知AC.BD为圆O：x2y24的两条互相垂直的弦.且垂足为M(1.).则四边形ABCD面积的最大值为( A )A5 B10 C15 D20解析如图.作OPAC于P.OQBD于Q.则OP2OQ2OM23.AC2BD24(4OP2)4(4OQ2)20.又AC2BD22ACBD.则ACBD10.S四边形ABCDACBD105.当且仅当ACBD时等号成立12函数f(x)若f(x0).则x0的取值范围是( C )A(log2.) B(0.log2.)C0.log2.2 D(log2.1).2解析当0x01时.2x0.x0log2.0x0log2.当1x02时.42x0.x0.x02.故选C13(20xx衡水中学高三调研)已知f(x)是R上的减函数.A(3.1).B(0,1)是其图象上两点.则不等式|f(1lnx)|1的解集是(.e2).解析|f(1lnx)|1.1f(1lnx)1.f(3)f(1lnx)f(0).又f(x)在R上为减函数.01lnx3.1lnx2.x0.则的最小值为.解析点A(1,1)在直线2mxny20上.2mn2.()(21)(32.当且仅当.即nm时取等号.的最小值为.16已知函数f(x)若对任意的xR.不等式f(x)m2m恒成立.则实数m的取值范围是(.)1.).解析对于函数f(x)当x1时.f(x)(x)2；当x1时.f(x)logx0)经过圆x2y22y50的圆心.则的最小值是( A )A9 B8 C4 D2解析圆x2y22y50化成标准方程.得x2(y1)26.所以圆心为C(0,1)因为直线axbyc10经过圆心C.所以a0b1c10.即bc1.因此(bc)()5.因为b.c0.所以24.当且仅当时等号成立由此可得b2c.且bc1.即b.c时.取得最小值9.2(20xx天津二模)已知函数f(x).则不等式f(1x2)f(2x)的解集是( D )Ax|1x1Bx|x1Cx|1x1Dx|x1解析由f(x)可得当x1时.函数f(x)为减函数.则由f(1x2)f(2x)可得或解得x1或1.所以不等式f(1x2)f(2x)的解集是x|x13已知x.y满足约束条件 若zaxy的最大值为4.则a( B )A 3 B 2 C 2 D 3解析由约束条件可画可行域如图.解得A(2,0).B(1,1)若过点A(2,0)时取最大值4.则a2.验证符合条件；若过点B(1,1)时取最大值4.则a3.而若a3.则z3xy最大值为6(此时A(2,0)是最大值点).不符合题意. (也可直接代入排除)4(20xx德州模拟)若a.b.c.则( C )Aabc BcbaCcab Dba1.所以ba.log25321.所以ac.故bac.5已知正项等比数列an满足：a7a62a5.若存在两项am.an使得4a1.则的最小值为( A )A B C D不存在解析由an0.a7a62a5.设an的公比为q.则a6qa6.所以q2q20.因为q0.所以q2.因为4a1.所以aqmn216a.所以mn24.所以mn6.所以(mn)()(5)(52).等号在.即n2m4时成立6若变量x.y满足则点P(2xy.xy)表示区域的面积为( D )A B C D1解析令2xya.xyb.解得代入x.y的关系式得画出不等式组表示的平面区域如图易得阴影区域面积S211.7(20xx临沂模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形.则a的取值范围是( D )A.) B(0,1C1.) D(0,1.)解析不等式组表示区域如图由图可知.0a1或a.8(20xx青岛一模)已知x(0.).且函数f(x)的最小值为b.若函数g(x)则不等式g(x)1的解集为( B )A(.) B.)C. D(.解析依题意知.当x(0.)时.f(x)(3tanx).当且仅当3tanx.即tanx.x时取等号.因此b.不等式g(x)1等价于.或x解得x.因此不等式g(x)1的解集是.(.).)9已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x.则f(10x)0的解集为x|xlg_2.解析由题意知.一元二次不等式f(x)0的解集为x|x.因为f(10x)0.所以110x.即x0时.f(x)x2.若f(0)是f(x)的最小值.则f(0)a2.11已知f(x)是定义在1,1上的奇函数且f(1)2.当x1、x21,1.且x1x20时.有0.若f(x)m22am5对所有x1,1、a1,1恒成立.则实数m