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第3讲 平面向量的应用举例 向量作为一种既有大小又有方向的量 可通过构造向量来处理许多代数问题 1 向量与三角函数的综合问题常结合向量的 与垂直 长度与 三角函数的图像与性质 三角函数图像的平移等基本问题来考查 2 向量在物理学中的应用一般只要求了解与力与力矩 速度与位移等物理矢量有关的简单问题 平行 夹角 b 2 连续掷两次正方体形骰子分别得到的点数m和n 则向 量 m n 与向量 2 1 垂直的概率为 a a 112 b 19 c 16 d 14 3 设a b是非零向量 若函数f x xa b a xb 是偶 函数 则必有 c a a b b a b c a b d a b 1 1 5 在长江南岸渡口处 江水以12 5km h的速度向东流 渡船的速度为25km h 渡船要垂直地渡过长江 则航向为 图8 3 1 考点1 向量在不等式中的应用 解题思路 构造向量 转化为向量的数量积和模的运算问题 解析 设x a b y c d 例1 证明 对于任意的a b c d r 恒有不等式 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 从结构上看 ac bd看成是两个向量的数量积 a2 b2 c2 d2看成是向量的模 从而利用向量证明不等式 互动探究 1 直线ax by c 0与圆x2 y2 4相交于两点a b 2 考点2 向量在物理中的应用 解析 设a b处所受力分别为f1 f2 10n的重力用f表示 则f1 f2 f 以重力作用点c为f1 f2的始点 作平行四边形cfwe 使cw为对角线 图8 3 3 例2 如图8 3 3 用两根绳子把重10n的物体w吊在水平杆子ab上 acw 150 bcw 120 求a和b处所受力的大小 忽略绳子重量 关键将两个力的起点放在同一点上考虑 转化为平行四边形边长问题 互动探究 2 三个力f1 f2 f3的大小相等 且它们的合力为0 则 力f2与f3的夹角为 120 错源 对向量模处理不当 造成解题困难 例3 已知a cos sin b cos sin a与b之间 1 用k表示a b 2 求a b的最小值 并求此时a与b夹角 的大小 误解分析 不会处理向量的模的问题 互动探究 轴上 离心率为 椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长 例4 已知椭圆c的中心在坐标原点 两焦点f1 f2在x 12 等于8 1 求椭圆c的方程 是以mn为直径的圆 试判断原点o与圆e的位置关系 点评 同弧的圆周角 圆外角和圆内角中 圆内角最大 圆外角最小 当圆周角为直角时 只要判断这个角是锐角还是钝角即可知道该点是在圆内还是圆外 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观 向量本身是一个数形结合的产物 因此在向量的复习中要注意数与形的
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