高三数学第一轮复习 数列的应用课件 新人教B版.ppt

考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 返回目录 考纲解读 返回目录 考向预测 从近几年的高考试题看 数列的综合应用成为命题的热点 在选择题 填空题 解答题中都有可能出现 主要是等差 等比数列综合题 或可转化为等差 等比数列的综合问题 或者与数列有关的应用题 数列与函数 方程 不等式等的学科内综合题近几年几乎没有考查 也就是说 数列的考查在总体难度上降了下来 这也是复习中注意的方面 返回目录 1 数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题 二是数列与其他数学内容相联系的综合问题 解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会 1 数列是一种特殊的 解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法 2 转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法 复杂的数列问题经常转化为 数列或常见的特殊数列问题 函数 等差 等比 返回目录 3 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想 已知数列的前若干项求通项 由有限的特殊事例推测出一般性的结论 都是利用此法实现的 4 分类讨论思想在数列问题中常会遇到 如等比数列中 经常要对进行讨论 由sn求an时 要对进行分类讨论 2 数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容 解答应用问题的核心是建立数学模型 n 1或n 2 公比 返回目录 1 建立数学模型时 应明确是模型 模型 还是模型 是求an还是求sn 2 数列综合应用题的解题步骤 审题 弄清题意 分析涉及哪些数学内容 在每个数学内容中 各是什么问题 分解 把整个大题分解成几个小题或几个 步骤 每个小题或每个小 步骤 分别是数列问题 函数问题 解析几何问题 不等式问题等 求解 分别求解这些小题或这些小 步骤 从而得到整个问题的解答 递推数列 等差数列 等比数列 具体解题步骤如下框图 返回目录 返回目录 3 数列应用题常见模型 1 银行储蓄单利公式利息按单利计算 本金为a元 每期利率为r 存期为x 则本利和y 2 银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄 本金为a元 每期利率为r 存期为x 则本利和y 3 产值模型原来产值的基础数为n 平均增长率为p 对于时间x的总产值y 4 分期付款模型a为贷款总额 r为年利率 b为等额还款数 则 a 1 xr a 1 r x n 1 p x 返回目录 2010年高考重庆卷 已知 an 是首项为19 公差为 2的等差数列 sn为 an 的前n项和 1 求通项an及sn 2 设 bn an 是首项为1 公比为3的等比数列 求数列 bn 的通项公式及前n项和tn 考点1等差 等比数列的综合应用 解析 1 an 是首项为a1 19 公差为d 2的等差数列 an 19 2 n 1 21 2n sn 19n n n 1 2 20n n2 2 由题意得bn an 3n 1 即bn an 3n 1 bn 3n 1 2n 21 tn sn 1 3 3n 1 n2 20n 返回目录 分析 在 an 中 因为a1 d已知 则an可求 sn可求 而数列 bn an 中 首项 公比已知 则通项可求 所以bn可求 返回目录 1 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点 特别是等差 等比数列的通项公式 前n项和公式以及等差中项 等比中项问题是历年命题的热点 2 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值 同时对两种数列的性质 要熟悉它们的推导过程 利用好性质 可使问题易于解决 有些问题还需利用条件联立方程求解 已知正项数列 an 的前n项和为sn 且是与 an 1 2的等比中项 1 求证 数列 an 是等差数列 2 若bn 数列 bn 的前n项和为tn 求tn 返回目录 解析 1 证明 由题知sn an 1 2 当n 1时 a1 a1 1 2 a1 1 当n 2时 an sn sn 1 an 1 2 an 1 1 2 an an 1 an an 1 2 0 an 0 an an 1 2 0 即当n 2时 an an 1 2 数列 an 是等差数列 返回目录 返回目录 2 由 1 知数列 an 是以1为首项 以2为公差的等差数列 an 1 n 1 2 2n 1 bn 则tn tn 由 得 又 返回目录 返回目录 2010年高考上海卷 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn n 5an 85 n n 1 证明 an 1 是等比数列 2 求数列 sn 的通项公式 并求出n为何值时 sn取得最小值 并说明理由 分析 由于sn n 5an 85 故可由公式法求通项公式的思路消去sn 建立an与an 1的关系 考点2数列中的最值问题 解析 1 证明 sn n 5an 85 当n 1时 s1 1 5a1 85 即a1 1 5a1 85 解得a1 14 当n 2时 an sn sn 1 n 5an 85 n 1 5an 1 85 5an 5an 1 1 整理得6an 5an 1 1 6 an 1 5 an 1 1 又a1 1 15 数列 an 1 是以 15为首项 为公比的等比数列 返回目录 返回目录 返回目录 即又lg2 0 3010 lg3 0 4771 14 9 14 9 k 15 9 又 k n k 15 即当n 15时 sn取得最小值 返回目录 在数列中 若sn与an关系已知 求通项用公式法 这是最基本的思路 数列是特殊的函数 因此可以用函数的思想解决数列问题 同时注意数列本身的特点 如本题中最小值的求法 返回目录 2010年高考江苏卷 设各项均为正数的数列 an 的前n项和为sn 已知2a2 a1 a3 数列 是公差为d的等差数列 1 求数列 an 的通项公式 用n d表示 2 设c为实数 对满足m n 3k且m n的任意正整数m n k 不等式sm sn csk都成立 求证 c的最大值为 解析 1 是等差数列 又2a2 a1 a3 平方得3a1 a2 2 即 0 a2 3a1 d 即 d sn n2d2 当n 2时 an sn sn 1 n2d2 n 1 2d2 2n 1 d2 且对n 1成立 an 2n 1 d2 返回目录 返回目录 2 证明 由sm sn csk得m2 n2 ck2 即c m n 3k 2mn m2 n2 m n c c的最大值为 返回目录 考点3新定义下的数列问题 2010年高考湖南卷 给出下面的数表序列 表1表2表3 11313544812其中表n n 1 2 3 有n行 第1行的n个数是1 3 5 2n 1 从第2行起 每行中的每个数都等于它肩上的两数之和 返回目录 1 写出表4 验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列 并将结论推广到表n n 3 不要求证明 2 每个数表中最后一行都只有一个数 它们构成数列1 4 12 记此数列为 bn 求和 n n 分析 由表1 表3行间关系 易得表4 由题意归纳数列 bn 并求所给的和 返回目录 解析 1 表4为13574812122032它的第1 2 3 4行中的数的平均数分别是4 8 16 32 它们构成首项为4 公比为2的等比数列 将这一结论推广到表n n 3 即表n n 3 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成 首项为n 公比为2的等比数列 简证如下 对考生不作要求 首先 表n n 3 的第1行1 3 5 2n 1是等差数列 其平均数为 其次 若表n的第k 1 k n 1 行a1 a2 an k 1是等差数列 则它的第k 1行a1 a2 a2 a3 an k an k 1也是等差数列 由等差数列的性质知 表n的第k行中的数的平均数与第k 1行中的数的平均数分别是由此可知 表n n 3 各行中的数都成等差数列 且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n 公比为2的等比数列 返回目录 2 表n的第1行是1 3 5 2n 1 其平均数是 n n 由 1 知 它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n 公比为2的等比数列 从而它的第k行中的数的平均数是n 2k 1 于是 表n中最后一行的唯一一个数为bn n 2n 1 n n 因此 返回目录 故 n n 返回目录 返回目录 本题以数表序列为载体 考查等差 等比数列的定义 性质 通项公式 数列的求和 裂项求和 等基础知识 通过第 1 问的类比推理 很好地考查了推理论证能力 通过第 2 问对新数列的分析和归纳 综合考查了学生的归纳推理能力 运算求解能力 考查学生是否具有审慎的思维习惯和一定的数学素养 返回目录 2010年高考浙江卷 在如下数表中 已知每行 每列中的数都成等差数列 第1列第2列第3列 第1行123 第2行246 第3行369 那么位于表中的第n行第n 1列的数是 返回目录 答案 n2 n 解析 由题中数表知 第n行中的项分别为n 2n 3n 组成一等差数列 所以第n行第n 1列的数是n2 n 返回目录 考点4数列在实际问题中的应用 假设某市2010年新建住房400万平方米 其中有250万平方米是中低价房 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面 以2010年为累计的第一年 将首次不少于4750万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次不大于85 参考数据 1 084 1 47 1 088 1 59 返回目录 分析 1 要求学生会把实际问题转化为数学问题 sn 250n 50 25n2 225 4750 2 a1 0 85bn bn 400 1 08n 1 解析 1 设中低价房的面积形成的数列为 an 由题意可知 an 是等差数列 其中a1 250 d 50 则an 250 n 1 50 50n 200 sn 250n 50 25n2 225n 令25n2 225n 4750 即n2 9n 190 0 而n是正整数 n 10 返回目录 到2019年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中b1 400 q 1 08 则bn 400 1 08 n 1 由题意可知an 0 85bn 即50n 200 400 1 08 n 1 0 85 当n 5时 a5 0 85b5 当n 6时 a6 0 85b6 满足上述不等式的最小正整数n为6 到2013年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 返回目录 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题 通过反复读题 列出有关信息 转化为数列的有关问题 这也是数学实际应用的具体体现 返回目录 某地区原有木材存量为a 且每年增长率为25 因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b 设an为n年后该地区森林木材存量 1 求an的表达式 2 为保护生态环境 防止水土流失 该地区每年的森林木材存量不少于a 如果b a 那么该地区今后会发生水土流失吗 若会 需要经过几年 取lg2 0 30 返回目录 解析 1 解法一 设第一年的森林木材存量为a1 第n年后的森林木材存量为an 则a1 a 1 b a b a2 a1 b a 1 b a3 a2 b a 1 b n n 返回目录 解法二 设第n年木材存量为an 则第n 1年存量为an 1 n 2 故an an 1 1 b 即an an 1 b n 2 所以an 4b an 1 4b n 2 所以 an 4b 组成以a1 4b为首项 为公比的等比数列 所以an 4b a1 4b n 1 即an 4b a 5b n 1 na 4 n 1 b n n 返回目录 2 当b a时 若an5 所以n 7 2 答 经过8年后该地区就开始水土流失 考点5数列的综合应用 返回目录 已知数列 an 的首项a1 1 且点an an an 1 在函数y 的图象上 1 求数列 an 的通项公式 2 求证 弦anan 1的斜率随n的增大而增大 3 若数列 bn 满足an bn 2n 求数列 bn 的前n项和sn的值 返回目录 分析 1 将点an an an 1 代入函数y 即可得出数列 的性质 从而求得an 2 可用作差比较法证明 3 用错位相减法求和 解析 1 an 1 且a1 1 1 1 是以1为首项 1为公差的等差数列 1 n 1 1 n an 返回目录 2 证明 an an 1 an 2 弦anan 1的斜率kn kn 1 kn 2 n 2 n 3 0 弦anan 1的斜率随n的增大而增大 返回目录 3 由an bn 2n bn 2n n 2n sn 1 21 2 22 3 23 n 2n 2sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 得 sn 1 21 22 23 2n n 2n 1 sn n 2n 1 2n 1 2 n 1 2n 1 2 返回目录 数列与其他知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的解析式构造数列 用函数或方程的方法研究数列问题 函数与数列的综合问题主要有以下两类 一是已知函数的条件 利用函数的性质图象研究数列问题 如恒成立 最值问题等 二是已知数列条件 利用数列的范围 公式 求和方法等知识对式子化简变形 从而解决函数问题 返回目录 已知f x logax a 0 且a 1 设f a1 f a2 f an n n 是首项为4 公差为2的等差数列 1 若a为常数 求证 an 成等比数列 2 设bn anf an 若 bn 的前n项和是sn 当a 时 求sn 返回目录 解析 1 f an 4 n 1 2 2n 2 即logaan 2n 2 可得an a2n 2 为定值 an 为等比数列 2 bn anf an a2n 2logaa2n 2 2n 2 a2n 2 当a 2时 bn 2n 2 2n 2 n 1 2n 2 sn 2 23 3 24 4 25 n 1 2n 2 2sn 2 24 3 25 4 26 n 2n 2 n 1 2n 3 返回目录 得 s