高三数学第一轮复习 二项式定理课件 新人教B版.ppt

学案3二项式定理 考点1 考点2 考点3 考点4 返回目录 考纲解读 考向预测 二项式定理在高考中一般以选择题 填空题的题型出现 重点考查求二项展开式中特定项的系数 求二项展开式中某指定的项或项数 求二项展开式的二项式系数或展开式的系数的性质 有时也考查两个二项式的积或三项式的特定项系数或特定项问题 还有以二项式定理为载体考查数列求和 不等式证明等 返回目录 返回目录 1 二项式定理的内容 a b n 右边的多项式叫做 a b n的 其中的系数 r 0 1 n 叫做展开式的 式中的第r 1项an rbr叫做二项展开式的 记作tr 1 其中0 r n r n n n 二项展开式 二项式系数 通项 2 二项式系数的性质 1 对称性与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 即 2 增减性与最大值由知 当k 时 二项式系数是逐渐的 由对称性知它的后半部分是逐渐的 且在中间取最大值 当n是偶数时 中间的一项取得最大值 当n是奇数时 中间的两项相等 且同时取得最大值 3 各二项式系数的和为2n 即 2n 4 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 即 返回目录 增大 减小 1 2010年高考大纲全国卷 若 x 9的展开式中x3的系数是 84 则a 2 2010年高考安徽卷 的展开式中 x3的系数等于 返回目录 考点1求二次展开式的特定项 分析 考查二项展开式的通项公式 解析 1 由令9 2r 3 r 3 有 84 解得a 1 2 原式 xy 1 yx 6 tr 1 又 6 r 3 r 2 x3的系数为 1 2 15 返回目录 1 二项展开式的通项公式反映出展开式在指数 项数 系数等方面的内在联系 因此能运用二项展开式的通项公式求特定项 特定项的系数或指数 2 求指定项的系数主要通过二项式定理的通项公式列方程求得 考查计算能力 返回目录 1 2010年高考辽宁卷 1 x x2 x 6的展开式中的常数项为 2 2010年高考湖北卷 在 x 20的展开式中 系数为有理数的项共有项 解析 1 返回目录 返回目录 所以常数项为1 20 5 2 展开式的通项由0 r 20 z得r 0 4 8 12 16 20 所以系数为有理数的项共有6项 1 2x n的展开式中第6项与第7项的系数相等 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 分析 根据条件可求出n 再根据n的奇偶性 确定二项式系数最大的项 系数最大的项则由不等式组确定 返回目录 考点2增减性与最值问题 解析 t6 2x 5 t7 2x 6 依题意有 25 26 n 8 1 2x 8的展开式中二项式系数最大的项为t5 2x 4 1120 x4 设第r 1项系数最大 则有 2r 2r 1 2r 2r 1 返回目录 2 8 r 1 rr 6r 1 2 8 r r 5 又 r n r 5或r 6 系数最大的项为t6 1792x5 t7 1792x6 返回目录 5 r 6 求二项式系数最大的项 要根据二项式系数的性质 n为奇数时中间两项的二项式系数最大 n为偶数时中间一项的二项式系数最大 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的 需根据各项系数的正 负变化情况 一般采用列不等式组 解不等式组的方法 返回目录 在 3x 2y 20的展开式中 求 1 二项式系数最大的项 2 系数绝对值最大的项 3 系数最大的项 返回目录 1 二项式系数最大的项是第11项 t11 310 2 10 x10y10 610 x10y10 2 设系数绝对值最大的项是第r 1项 320 r 2r 319 r 2r 1 320 r 2r 321 r 2r 1 3 r 1 2 20 r 2 21 r 3r 解得 r 所以r 8 即t9 312 28 x12y8是系数绝对值最大的项 返回目录 于是 化简得 3 由于系数为正的项为奇数项 故可设第2r 1项系数最大 于是 322 2r 22r 2 324 2r 22r 4 322 2r 22r 2 320 2r 22r 10r2 143r 1077 010r2 163r 924 0 解之得r 5 即2 5 1 9项系数最大 t9 312 28 x12y8 返回目录 化简得 设 2 x 100 a0 a1x a2x2 a100 x100 求下列各式的值 1 a0 2 a1 a2 a100 3 a1 a3 a5 a99 4 a0 a2 a100 2 a1 a3 a99 2 返回目录 考点3利用赋值法求二项式系数和的有关问题 分析 利用二项式系数的性质 解析 1 由 2 x 100展开式中的常数项为 2100 即a0 2100 或令x 0 则展开式可化为a0 2100 2 令x 1 可得a0 a1 a2 a100 2 100 a1 a2 a100 2 100 2100 返回目录 3 令x 1 可得a0 a1 a2 a3 a100 2 100 与x 1所得到的 联立相减可得a1 a3 a99 4 原式 a0 a2 a100 a1 a3 a99 a0 a2 a100 a1 a3 a99 a0 a1 a2 a100 a0 a1 a2 a3 a98 a99 a100 2 100 2 100 1 返回目录 1 求关于展开式中系数和的问题 往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数 如1 1 0 2 一般地 对于多项式g x a bx n a0 a1x anxn g x 的各项的系数和为g 1 g x 的奇数项的系数和为 g 1 g 1 g x 的偶数项的系数和为 g 1 g 1 返回目录 设 1 3x 9 a0 a1x a2x2 a3x3 a9x9 则 a0 a1 a2 a9 a 29b 49c 39d 59 b 由通项公式可知 1 3x 9的展开式中含x的奇次幂的项的符号均为 即a1 a3 a9均小于零 a0 a1 a2 a9 a0 a1 a2 a9 因而在 1 3x 9 a0 a1x a2x2 a9x9中令x 1 便可求出其值 即 a0 a1 a2 a9 1 3 1 9 49 故应选b 返回目录 1 已知n n 求证 1 2 22 23 25n 1能被31整数 2 求0 9986的近似值 使误差小于0 001 返回目录 考点4二项式定理的综合应用 分析 1 要先用等比数列的前n项和公式 然后应用二项式定理转化成含31的倍数的关系式 2 把0 998变成1 0 002 然后应用二项式定理展开 解析 1 证明 1 2 22 23 25n 1 25n 1 32n 1 31 1 n 1 31n 31n 1 31n 2 31 1 1 31 31n 1 31n 2 显然括号内的数为正整数 故原式能被31整除 2 0 9986 1 0 002 6 1 0 002 0 002 2 0 002 3 第三项t3 15 0 002 2 0 00006 0 001 以后各项更小 0 9986 1 0 012 0 988 返回目录 用二项式定理证明整除问题时 首先要注意 a b n中 a b有一个是除数的倍数 其次展开式有什么规律 余项是什么 必须清楚 近似计算时 可根据精确度要求 展到需要的项即可 返回目录 证明 2 1 n 3 其中n n 证明 当n 1时 1 1 2 当n 1时 1 n 1 1 1 2 当n 1时等号成立 1 n 2成立 返回目录 1 n 1 1 1 2