停课复习资料四、三角函数1

1 四 三角函数四 三角函数 1 1 角的概念的推广 角的概念的推广 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角 一条射线没 有作任何旋转时 称它形成一个零角 射线的起始位置称为始边 终止位置称为终边 2 2 象限角的概念 象限角的概念 在直角坐标系中 使角的顶点与原点重合 角的始边与轴的非负x 半轴重合 角的终边在第几象限 就说这个角是第几象限的角 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何象限 3 3 终边相同的角的表示终边相同的角的表示 1 1 终边与终边相同 的终边在终边所在射线上 注注 2 kk Z 意意 相等的角的终边一定相同 终边相同的角不一定相等 如如与角的终边相同 且 1825 绝对值最小的角的度数是 合 弧度 答 25 5 36 2 终边与终边共线 的终边在终边所在直线上 kk Z 3 终边与终边关于轴对称 x 2 kk Z 4 终边与终边关于轴对称 y 2 kk Z 5 终边与终边关于原点对称 2 kk Z 6 终边在轴上的角可表示为 终边在轴上的角可表示为 x kkZ y 终边在坐标轴上的角可表示为 如如的终边与 2 kkZ 2 k kZ 的终边关于直线对称 则 答 6 xy Zkk 3 2 4 4 与与的终边关系的终边关系 由 两等分各象限 一二三四 确定 如如若是第二象限角 2 则是第 象限角 答 一 三 2 5 5 弧长公式弧长公式 扇形面积公式 1 弧度 1rad lR 211 22 SlRR 57 3 如如已知扇形 AOB 的周长是 6cm 该扇形的中心角是 1 弧度 求该扇形的面积 答 2 2 cm 6 6 任意角的三角函数的定义 任意角的三角函数的定义 设是任意一个角 P是的终边上的任意一点 x y 异于原点 它与原点的距离是 那么 22 0rxy sin cos yx rr 三角 tan 0 y x x cot x y 0 y sec r x 0 x csc0 r y y 函数值只与角的大小有关 而与终边上点 P 的位置无关 如 如 1 1 已知角的终边经过点 P 5 12 则的值为 答 2 2 设是第三 四象限角 cossin 7 13 则的取值范围是 答 1 3 3 若 m m 4 32 sin m 2 3 试判断的符号0 cos cos sin sin tan cos cot sin 答 负 7 7 三角函数线的特征三角函数线的特征是 正弦线 MP 站在轴上 起点在x 轴上 余弦线 OM 躺在轴上 起点是原点 正切线xx AT 站在点处 起点是 三角函数线的重要应用是三角函数线的重要应用是 1 0 AA 比较三角函数值的大小和解三角不等式比较三角函数值的大小和解三角不等式 如 如 1 1 若 y T A x B S O M P 2 则的大小关系为 答 0 8 sin cos tan tansincos 2 2 若为锐角 则的大小关系为 答 sin tan sintan 3 3 函数的定义域是 答 3sin2lg cos21 xxy 2 2 2 33 kkkZ 8 8 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 30 45 60 0 90 180 270 15 75 sin 2 1 2 2 2 3 010 1 62 4 62 4 cos 2 3 2 2 2 1 10 10 62 4 62 4 tan 3 3 1 3 00 2 32 3 cot 3 1 3 3 00 2 32 3 9 9 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 222222 sincos1 1tansec 1 cotcsc 2 倒数关系 sincsc 1 cossec 1 tancot 1 3 商数关系 sincos tan cot cossin 同角三角函数的基本关系式的主要应用是 已知一个角的三角函数值 求此角的其它 三角函数值 在运用平方关系解题时 要根据已知角的范围和三角函数的取值 尽可能地 压缩角的范围 以便进行定号 在具体求三角函数值时 一般不需用同角三角函数的基本 关系式 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号 再利用解直角三角形求出此三角函 数值的绝对值 如 如 1 1 函数的值的符号为 答 大于 0 2 2 若 sintan coscot y 则使成立的的取值范围是 答 220 xxx2cos2sin1 2 x 0 4 3 3 已知 则 答 4 3 5 3 sin m m 2 5 24 cos m m tan 4 4 已知 则 12 5 1 1tan tan 答 5 5 已 cossin cos3sin 2cossinsin 2 3 5 5 13 知 则等于 A B C a 200sin 160tan 2 1a a 2 1a a a a21 D 答 B 6 6 已知 则的值为 答 a a21 xxf3cos cos 30 sin f 1 10 10 三角函数诱导公式 三角函数诱导公式 的本质是 奇变偶不变 对而言 指取奇数或 2 k kk 3 偶数 符号看象限 看原函数 同时可把看成是锐角 诱导公式的应用是求任意角的 三角函数值 其一般步骤 1 负角变正角 再写成 2k 2 转化为锐 02 角三角函数 如 如 1 1 的值为 答 97 costan sin21 46 23 23 2 2 已知 则 若为第二象限角 则 5 4 540sin 270cos 答 180tan 360cos 180 sin 2 5 4 100 3 1111 两角和与差的正弦 余弦 正切公式及倍角公式 两角和与差的正弦 余弦 正切公式及倍角公式 sinsincoscossinsin22sincos 令 22 22 2 2 2 coscoscossinsincos2cossin 2cos11 2sin tantan1 cos2 tancos 1tantan2 1 cos2 sin 2 2tan tan2 1tan 令 如 如 1 1 下列各式中 值为的是 A B 1 2 1515sincos C D 答 C 2 2 命题 P 22 1212 cossin 2 22 5 122 5 tan tan 130 2 cos 命题 Q 则 P 是 Q 的 A 充要条件 B 充分0tan AB 0tan AtanB 不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答 C 3 3 已知 那么的值为 答 4 4 3 5 sin coscos sin 2cos 7 25 的值是 答 4 5 5 已知 求的值 用 a 表 13 1080sinsin 0 tan110a 0 tan50 示 甲求得的结果是 乙求得的结果是 对甲 乙求得的结果的正确性你 3 13 a a 2 1 2 a a 的判断是 答 甲 乙都对 12 12 三角函数的化简 计算 证明的恒等变形的基本思路三角函数的化简 计算 证明的恒等变形的基本思路是 一角二名三结构 即首 先观察角与角之间的关系 注意角的一些常用变式 角的变换是三角函数变换的核心 角的变换是三角函数变换的核心 第 二看函数名称之间的关系 通常 切化弦 第三观察代数式的结构特点 基本的技巧有基本的技巧有 1 1 巧变角 巧变角 已知角与特殊角的变换 已知角与目标角的变换 角与其倍角的变换 两角与其和差角的变换 如 2 等 如 如 1 1 2 2 2 222 已知 那么的值是 答 2 tan 5 1 tan 44 tan 4 3 22 2 2 已知 且 求0 2 1 29 cos 2 23 sin 4 的值 答 3 3 已知为锐角 cos 490 729 sin cosxy 则与的函数关系为 答 3 cos 5 yx 2 343 1 1 555 yxxx 2 三角函数名互化三角函数名互化 切割化弦 如 如 1 1 求值 答 1 sin50 13tan10 2 2 已知 求的值 答 sincos2 1 tan 1 cos23 tan 2 1 8 3 公式变形使用公式变形使用 如 如 1 1 已知tantan tan1tantan A B 为锐角 且满足 则 答 tantantantan1ABAB cos AB 2 2 设中 则 2 2 ABC 33tan AtanBtan AtanB 3 4 sin Acos A 此三角形是 三角形 答 等边 4 三角函数次数的降升三角函数次数的降升 降幂公式 与升 2 1 cos2 cos 2 2 1 cos2 sin 2 幂公式 如如 1 1 若 化简 2 1 cos22cos 2 1 cos22sin 3 2 为 答 2 2 函数 1111 2 2222 cos sin 2 2 55 3f x sinxcos xcos x 的单调递增区间为 答 5 3 2 xR 5 1212 k k kZ 5 式子结构的转化式子结构的转化 对角 函数名 式子结构化同 如 如 1 1 tan cossin 答 2 2 求证 3 3 化简 sintan cotcsc sin 2 1tan 1 sin 2 1 2sin1tan 22 答 42 2 1 2cos2cos 2 2tan sin 44 xx xx 1 cos2 2 x 6 6 常值变换主要指常值变换主要指 1 1 的变换的变换 22 1sincosxx 22 sectantancotxxxx 等 如如已知 求 答 tansin 42 tan2 22 sinsincos3cos 3 5 7 7 正余弦 三兄妹三兄妹 的内存联系 知一求二 如 如 1 1 sincos sin cosxxxx 若 则 答 特别提醒特别提醒 这里sincosxxt sin cosxx 2 1 2 t 2 2 若 求的值 答 2 2 t 1 0 sincos 2 tan 47 3 5 3 3 已知 试用表示的值 答 2 sin22sin 1tan k 42 ksincos 1 k 1313 辅助角公式中辅助角的确定 辅助角公式中辅助角的确定 其中角所 22 sincossinaxbxabx 在的象限由 a b 的符号确定 角的值由确定 在求最值 化简时起着重要作用 tan b a 如 如 1 1 若方程有实数解 则的取值范围是 答 sin3cosxxc c 2 2 2 2 当函数取得最大值时 的值是 答 23ycos xsinx tanx 3 2 3 3 如果是奇函数 则 答 2 4 4 求 sin2cos f xxx tan 值 答 32 20sin64 20cos 1 20sin 3 2 22 1414 正弦函数和余弦函数的图象 正弦函数和余弦函数的图象 正弦函数和余弦函数图象的作sinyx cosyx 图方法 五点法 先取横坐标分别为 0 的五点 再用光滑的曲线把这五点 3 2 22 连接起来 就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象 1515 正弦函数 正弦函数 余弦函数 余弦函数的性质的性质 sin yx xR cos yx xR 1 1 定义域 定义域 都是 R 2 2 值域 值域 都是 对 当时 取最大值 1 1 1 sinyx 2 2 xkkZ y 当时 取最小值 1 对 当时 取 3 2 2 xkkZ ycosyx 2xkkZ y 最大值 1 当时 取最小值 1 如 如 1 1 若函数 2xkkZ y 的最大值为 最小值为 则 答 sin 3 6 yabx 2 3 2 1 a b 或 2 2 函数 的值域是 1 1 2 ab 1b xxxfcos3sin 2