高数期末试卷集.doc

高等数学期末试卷（同济六版下）得分评卷人一、 选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列函数中，哪个是微分方程的解 。A、 B、 C、 D、。2、若，则在点处函数是（ ）A、连续 B、不连续 C、可微 D、都不定。3、的值为（ ）A、 B、 C、 D、4、曲面上，点处的切平面方程是（ ）A、 B、 C、 D、5、下列级数中条件收敛的是（ ）A、 B、 C、 D、得分评卷人二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）6、微分方程的通解是 .7、= . 8、交换积分次序 .9、若直线与垂直，则k= .10、函数，以为周期的傅里叶级数在点处收敛于 .得分评卷人三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）11、求微分方程的通解：.12、一平面过点且平行于向量和，求这平面方程.13、设，求.14、求级数的收敛区间与和函数.15、计算对弧长的曲线积分：，其中为曲线上相应于从变到的这段弧.16、用高斯公式计算曲面积分，其中是界于和之间的圆柱体的整个表面的外侧.得分评卷人四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分）17、证明曲线积分在右半平面内与路径无关。18、设正项级数和都收敛，证明级数也收敛。得分评卷人五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分）19、将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最大。（要求用拉格朗日乘数法）。20、求抛物面壳的质量，其面密度为。高等数学期末试卷（同济六版下）参考答案一选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1-5 BDCDB二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）6. 7. 8. 9. 10. 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）11.解：方程可化为：先求对应齐次方程的通解。 得：再用常数变易法得：12.解：平面的法向量为：所以平面的方程为：即 。13.解： 14.解：设 15. 解： 。16. 解：= 。四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分）17. 证明：在右半平面内 由格林公式，曲线积分在右半平面内与路径无关。18.证明：因为 ，收敛，所以，所以，。由比较判别法， 收敛，又由 则 收敛，从而收敛。五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分）19、解：设矩形的一边为 ，另一边为 ，假设矩形绕旋转所形成圆柱体的体积为而且，设拉格朗日函数：，由 求得驻点为。由于驻点惟一，由题意可知圆柱体的体积一定有最大值，所以当矩形的边长为 和 时，绕短边旋转所得圆柱体的体积最大。20、解： 2007级第二学期高等数学期末试题解答与评分标准（180A卷）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 若二阶连续可微函数在点处取得极小值，则有 （ ）.（A） （B） （C） （D）解 ，排除A、B.在点处取得极小值：，同理：.答案：C2. 质点在变力作用下沿螺旋线从点运动到点，则变力所做的功为 （ ）.（A） （B） （C） （D）解 答案：B3. 设有向曲面：，方向为上侧，则 （ ）.（A） （B） （C） （D）解 ，方向为下侧，答案：A4. 设，则下列级数中，绝对收敛的级数是 （ ）.（A） （B） （C） （D）解 ，发散 A错，发散 B错，发散 C错，收敛 D对答案：D5. 设三角级数在内收敛到函数，则此三角级数在 处收敛于 （ ）.（A）1+p （B）1+2p （C）1+3p （D）0解 答案：D二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设区域，则 .解1 ，解2 07. 设平面曲线为圆，则曲线积分 .解 8. 微分方程的通解为： .解1 通解为：解2 通解为：9. 设, 则 .解 010. 若幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径 .解 的收敛半径的收敛半径，的收敛半径三、计算下列各题（每小题8分，共16分）11. 设，其中是由方程所确定的隐函数，求.解 12. 计算积分.解 四、计算下列各题（每小题10分， 共30分）13. 计算曲线积分, 其中有向曲线：，方向从点到点.解 : （），14. 求抛物柱面被平面在,和所截部分的面积.解1 (1) (2) zy11O （：,和所围成的三角形区域）11Oxyz11Oxyz解2 15. 计算，其中是曲面()的下侧.合一投影法：其中 解1 合一投影法：原式解2 Gauss公式设，取上侧，则原式 五、（本题8分）16. 求级数的收敛域.解 对级数，,时， 发散，时， 收敛，得的收敛域为：， 故原级数的收敛域为：，即 . 六、（本题8分）17. 求级数的和.解 七、（本题8分）18. 设数列满足 .（1）证明: 当时, ; （2）证明: 当时, 级数 收敛, 并求其和函数.证 (1)，.(2) ,故当时，级数 （绝对）收敛. 2008级高等数学第二学期期末考试解答（180 A卷）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设，其中：具有一阶导数，则（ ）（A）； （B）；（C）； （D）.解 ， ，答案：A2. 函数的极值点是 （ ）（A）； （B）； （C）； （D）.解1 ，A、B、C、D都是驻点，仅当满足答案：B解2 对称，C对，D也对，单选题，故排除C，D，可正可负，不是极值点，答案：B3. 设有空间区域与 ，则 （ ） （A）； （B）； （C）； （D）.解 答案：C4. 一个形如的级数，其和函数在上的表达式为，则在处的值= （ ）（A）； （B）； （C）； （D）.解 答案：B5. 若级数收敛，则的取值范围是 （ ）（A）； （B）； （C）； （D）.解 ，时收敛，即时收敛，答案：C二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设，则二重积分_解 7. 向量场，则_. 解 8. 曲面在点处的切平面方程是：_.解 ，或，切平面：，或 9. 设为球面与平面的交线，则=_解 10. 级数的收敛域为 ：_解 ，收敛域为：三、计算下列各题（第1小题6分，第2小题8分, 共14分）11. 设由方程所确定，其中：是可微函数，求.解1 解2 12. 求二重积分：.解 四、计算下列各题（每小题10分，共30分）13. 设曲面为柱面介于平面和之间部分，求.分析： 求柱面部分的面积1.用公式： ， 用求导，2.用公式： ， 用求导，xyz223.不能用公式： ，用？求导解 ， 14. 计算：，其中为上半圆周，方向从到，.解1 ，解2 ，15. 计算：，其中，为曲面在平面上方部分的上侧。解1 Gauss公式：取平面域，解2 合一投影法：在平面上投影区域，五、（本题8分）16. 将函数展开为的幂级数.解1 （ ）解2 （ ）六、（本题10分）17. 求数项级数的和.解 ， ，七、（本题8分）18. 设在的邻域内具有二阶连续导数，且。（1）证明：级数收敛.（2）设，为任意常数，试讨论级数：的敛散性。解 （1） 由得：，再由得： 当时，是单调增函数，且，故单调减且趋于0，所以收敛 。（2）当时，级数，收敛。当时，, 不存在，由（1）知存在，不存在，级数发散。_ _ 试卷08-09学年(答案及评分标准)一、填空题：（共60分 每空2分） 1、若，则，_2_。 2、定积分_0_ 3、定积分 4、定积分 5、定积分 6、广义积分_发散_（收敛、发散），_收敛_ （收敛、发散） 7、平行于面且过点的平面方程是 8、二元函数中，偏导数存在是全微分存在的必要条件（充分条件、必要条件、 充要条件）；偏导数连续是全微分存在的充分条件（充分条件、必要条件、 充要条件）9、已知函数，则该函数的全微分 10、设，而，则.11、设，而，则.12、设，则.13、交换积分顺序：. 14、已知数项级数，则该级数是_发散_（收敛、发散）. 15、已知正项级数，则该级数是_收敛_（收敛、发散）. 16、已知正项级数，则该级数是_收敛_（收敛、发散）. 17、已知正项级数，则该级数是_发散_（收敛、发散）. 18、级数是 条件收敛 （绝对收敛、条件收敛）. 19、函数项级数的收敛半径是 1 ，收敛域是. 20、微分方程的通解是 （C为任意常数）. 21、微分方程的特解是 . 22、微分方程的通解是 （C为任意常数）. 23、微分方程的通解是（C1、C2为任意常数）. 24、微分方程，的特解是. 25、微分方程的通解是（C1、C2为任意常数）. 26、微分方程的通解是（C1、C2为任意常数）.二、如图, 求抛物线与直线所围成的面积（10分）。解：求交点： ，交点为；所求面积为 三、某工厂生产两种产品A与B，售价分别为10元和8元，生产x单位的产品A与y单位的产品B的，总费用为（元），试问取得最大利润时，两种产品的产量为多少？最大利润为多少（10分）？ 解： ，令，得惟一驻点：由题意，最大值一定存在，也就是在该驻点达到。 四、已知D是由所围成的区域，作出草图，并求二重积分（10分）。解：如图，先求交点交点为,则， .五、求幂级数的收敛域及其和函数（10分）. 解：，易知收敛域为。 。得分评卷人 一、单项选择题（共5小题，每小题3分，本大题共15分）1、和存在是函数在点可微的.（ ） (A)必要非充分的条件 (B)充分非必要的条件(C)充分且必要的条件 (D)即非充分又非必要的条件2、下列级数中收敛的是( )(A) (B) (C) (D) 3、若函数是微分方程的一个特解，则此方程的通解为（ ）(A) (B) (C) (D)4、经判别，级数 的敛散性是（ ）(A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)不确定5、球面在点处的切平面方程为（ ）(A) (B) (C) (D) 得分评卷人 二、填空题（共5小题，每小题3分，本大题共15分）6、设，则= _7、交换积分次序后，= _8、设曲线积分与积分路径无关，此时的值为 _9、函数在点处取得极值，则此极值为_10、将函数展开为的幂级数为_得分评卷人 三、计算题（共7小题，第11题6分，第12题8分，第13、14题每题9分，第15、16、17题每题8分，本大题共56分）11、设，求、。(6分)12、求，其中是由曲面及所围成的闭区域。（8分）13、已知曲线积分与积分路径无关，且，求，并计算的值.（9分）14、计算曲面积分，其中为平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。（9分）15、求幂级数的收敛域及和函数。（8分）16、求微分方程的通解。（8分）17、求过点而与两直线 和 平行的平面的方程。（8分）得分评卷人 四、应用题（本题满分为8分）18、求表面积为而体积为最大的长方体的体积。得分评卷人 五、证明题 (本题满分为6分)19、若，且与收敛，证明收敛。高等数学A2参 考 答 案一、单项选择题：1、D 2、C 3、C 4、A 5、A二、填空题：6、1 7、 8、3 9、-5 10、三、计算题：11、解：， 2分， .4分6分12、解：闭区域在面上的投影为，又 2分故4分 .6分 8分13、解: .3分.5分.9分14、解：利用高斯公式，这里.2分原式.4分.7分.9分15、解：由，故收敛半径为2分又当时，原级数均发散，故收敛域为.4分设，则6分故 .8分16、解：对应的齐次方程的特征方程为，故 ，2分齐次方程的通解为.3分因为是特征方程的单