04高等数学讲义-第四章

70 第四章 常微分方程 4 1 基本概念和一阶微分方程 考试内容考试内容 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念 变量可分离的方程变量可分离的方程 齐次微分方程齐次微分方程 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 伯努利 伯努利 Bernoulli 方程 方程 全微分方程全微分方程 可可 用简单的变量代换求解的某些微分方程用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微二阶常系数齐次线性微 分方程分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶简单的二阶 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 欧拉 欧拉 Euler 方程 方程 微分方程简单微分方程简单 应用应用 考试要求考试要求 1 了解微分方程及其阶 解 通解 初始条件和特解等概念 了解微分方程及其阶 解 通解 初始条件和特解等概念 2 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法 3 会解齐次方程 伯努利方程和全微分方程 会用简单的变量 会解齐次方程 伯努利方程和全微分方程 会用简单的变量 代换解某些微分方程代换解某些微分方程 4 会用降阶法解下列方程 会用降阶法解下列方程 y n f x y f x y 和 和 y f y y 5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理 6 掌握二队常系数齐次线性微分方程的解法 并会解某些高于 掌握二队常系数齐次线性微分方程的解法 并会解某些高于 二阶的常系数齐次线性微分方程 二阶的常系数齐次线性微分方程 71 7 会解自由项为多项式 指数函数 正弦函数 余弦函数 以 会解自由项为多项式 指数函数 正弦函数 余弦函数 以 及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程 及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程 8 会解欧拉方程 会解欧拉方程 9 会用微分方程解决一些简单的应用问题 会用微分方程解决一些简单的应用问题 1 内容要点 一 基本概念 1 常微分方程和阶 2 解 通解和特解 3 初始条件 4 齐次线性方程和非齐次线性方程 二 变量可分离方程及其推广 1 0 yQyQxp dx dy 2 齐次方程 x y f dx dy 三 一阶线性方程及其推广 1 xQyxP dx dy 2 1 0 yxQyxP dx dy 四 全微分方程及其推广 数学一 1 y P x Q dyyxQdxyxP 满足 0 2 y RP x RQ yxR y p x Q dyyxQdxyxP 0 使但存在 五 差分方程 数学三 乙 典型例题 例 1 求的通解 dx dy xy dx dy xy 22 解 1 0 2 2 2 22 x y x y xxy y dx dy dx dy xyxy 令 1 2 u u dx du xuu x y 则 72 0 1 duuxudx 1 1 C x dx du u u 1 lnCuxu x y uuC ceyceexu 1 例 2求微分方程的通解 4 yx y dx dy 解 此题不是一阶线性方程 但把 x 看作未知函数 y 看作自变 量 所得微分方程是一阶线性方程 3 4 1 yx ydy dx y yx dy dx 即 3 1 yyQ y yP CyyCdyeyex dy y dy y 4 1 3 1 3 1 例 3设的一个解 求此微分方程满足的特解xyxpyxey x 是0 2ln x y 解 将代入微分方程求出方程化为 x ey xxexP x 1 1 ye dx dy x 先求出对应齐次方程根据解的结构立刻可得非齐次方 x exx ceyye dx dy 的通解0 1 程通解 x exx ceey 再由 2 1 2 1 2ln 0220 eccey x 得 故所求解 2 1 x ex x eey 例 4设内满足以下条件在 其中 xgxfxgxfxF x exgxffxfxgxgxf2 0 0 且 1 求所满足的一阶微分方程 xF 2 求出的表达式 xF 解 1 由 73 2 2 2 2 2 22 xFe xgxfxgxf xfxg xgxfxgxfxF x 可知所满足的一阶微分方程为 xF x exFxF 2 4 2 2 xx xx xdx cee cdxee cdxeeexF 22 42 2dx22 4 4 将10 0 0 0 cgfF代入 可知 于是 xx eexF 22 例 5求微分方程的通解 2 3 22 1 1 y dx dy xxy 解 令 原方程化为 tan tanvxuy u vdv udu vvu 3 2 2 sec sec sec sec tan tan 化简为1 sin dv du vu 再令方程化为则 1 dv du dv dz vuz z dv dz zsin1sin sin1 1 1 sin sin1 sin cvdz z z cdvdz z z cvzzz cvdz z z z cvdz z z z sectan cos sin1 sin1 sin1 2 2 最后 Z 再返回 x y v 也返回 x 即可 74 4 2特殊的高阶微分方程 数学四不要 甲 内容要点 一 可降阶的高阶微分方程 方程类型解法及解的表达式 xfy n 通解 nn nnn n CxCxCxCdxxfy 1 2 2 1 1 次 yxfy 令 原方程则 pypy 一阶方程 设其解为 pxfp 1 Cxgp 即 则原方程的通解为 1 Cxgy 21 CdxCxgy yyfy 令 的函数 则yppy看作 把 把 的表达式代入原方程 dy dp p dx dy dy dp dx dp y yy 得 一阶方程 1 pyf pdy dp 设其解为则原方程的通解为 11 Cyg dx dy Cygp 即 2 1 Cx Cyg dy 二 线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构 其结论很容易地推广到更高阶的线性微 分方程 二阶齐次线性方程 1 0 yxqyxpy 二阶非齐次线性方程 2 xfyxqyxpy 1 若为二阶齐次线性方程的两个特解 则它们的线性组合 21 xyxy 为任意常数 仍为同方程的解 特别地 当 2211 xyCxyC 21 C C 也即线性无关时 则方程的通解为 21 为常数 xyxy 21 xyxy与 2211 xyCxyCy 2 若为二阶非齐次线性方程的一个特解 而为对应的二阶齐次 y x 2211 xyCxyC 75 线性方程的通解 为独立的任意常数 则是此二 21 C C 1122 yy xC y xC yx 阶非齐次线性方程的通解 3 设分别是 21 xyxy与与 1 xfyxqyxpy 的特解 则 2 xfyxqyxpy 是 21 xyxy 的特解 21 xfxfyxqyxpy 三 二阶常系数齐次线性方程 为常数qpqyypy 0 特征方程 2 0pq 特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 1 当特征方程有两个不同的实根 04 2 qp 21 则方程的通解为 xx eCeCy 21 21 2 当特征方程有而重根 04 2 qp 21 则方程的通解为 x exCCy 1 21 3 当特征方程有共轭复根 04 2 qp i 则方程的通解为 sincos 21 xCxCey x 四 二阶常系数非齐次线性方程 方程为常数其中qpxfqyypy 通解 1122 yyC y xC yx 其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论 所以 2211 xyCxyC 关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求 y 我们根据的形式 先确定特解的形式 其中包含一些待定的系数 然后代入方程 xfy 确定这些系数就得到特解 常见的的形式和相对应地的形式如下 y xfy 1 其中 次多项式 xpxf n nxpn为 1 若 0 不是特征根 则令 nn nn n axaxaxaxRy 1 1 10 76 其中为待定系数 2 1 0 niai 2 若 0 是特征方程的单根 则令 xxRy n 3 若 0 是特征方程的重根 则令 2 xRxy n 2 其中次多项式 为实常数 x n expxf nxpn为 1 若不是特征根 则令 x n exRy 2 若是特征方程单根 则令 x n exxRy 3 若是特征方程的重根 则令 x n exRxy 2 3 或xexpxf x n sin xexpxf x n cos 其中次多项式 皆为实常数nxpn为 1 若不是特征根 则令 i cos sin x nn yeR xxT xx 其中 nn nn n axaxaxaxR 1 1 10 为待定系数 1 0 niai nn nn n bxbxbxbxT 1 1 10 为待定系数 1 0 nibi 2 若是特征根 则令 i sin cos xxTxxRxey nn x 五 欧拉方程 数学一 其中为常数称为 n 阶欧拉 0 1 1 1 1 ypyxpyxpyx nn nnnn 2 1 nipi 方程 令代入方程 变为 t 是自变量 y 是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线 t ex 性微分方程 2 典型例题 例 1求的通解 1ln 1 xyyx 解 令 原方程化为pypy 则 77 1ln 1 xppx 属于一阶线性方程 1 1ln 1 1 x x p x p 1 1 1 1 1 1 1ln Cdxe x x ep dx x dx x 1 1 1ln 1ln 1 1 1 1 x C xCdxx x 2 1 1 1 1ln Cdx x C xy 21 2 1ln CxxCx 例 2求下列微分方程的通解 01 2 yyy 解令 原方程化为 dy dp pypy 则 1 2 p dy dp yp 1 2 1 C y dy p pdp 1 2 ln1ln 2 1 Cyp 2 1 1yCp 2 1 1yC dx dy 当 2 2 11 1 1 1ln 1 0CxyCyC C C 时 当 21 1 1 arcsin 1 1 0CxyC C C 时 例 3求的通解 x eyyy232 解先求相应齐次方程的通解 其特征方程为032 yyy 032 2 78 特征根为 因此齐次方程通解为1 3 21 xx eCeCY 2 3 1 设非齐次方程的特解为为特征根 因此设 代入原方程可得 1 由于y x xAey 2 1 A 故原方程的通解为 xxx xeeCeCy 2 1 2 3 1 例 4求方程的通解xyyycos222 特征根为 因此齐次方程的通解为1 2 21 xx eCeCY 2 2 1 设非齐次方程的特解为 由于题目中不是特征根 因此设yii2 2 0 代入原方程可得xBxAy2sin2cos xxBABxABA2cos22sin 422 2cos 422 026 226 AB BA 解联立方程得 因此 10 1 10 3 BA xxy2sin 10 1 2cos 10 3 故原方程的通解为 xxeCeCy xx 2sin 10 1 2cos 10 3 2 2 1 例 5 解 x exyxyxy cos3sin2cos 解 令 u 则 原方程xycosxyxyxyuxyxyucossin2cos sincos 变为 x euu 4 解出 x exCxCu 5 1 2sin2cos 21 x e x x C x x Cy x cos5 1 cos 2sin cos 2cos 21 79 2 cos5 1 sin cos 2cos 2221 cc x e xC x x C x 例 6 设函数 y y x 在内具有二阶导数 且是 y y x 的反 yxxy 0 函数 1 试将 x x y 所满足的微分方程变换为 0sin 3 2 2 dy dx xy dy xd y y x 满足的微分方程 2 求变换后的微分方程满足初始条件 y 0 0 的解 2 3 0 y 解 1 由反函数导数公式知 ydy dx 1 即 1 dy dx y 上式两端关于 x 求导 得 0 2 2 2 y dy xd dy dx y 所以 322 2 y y y y dy dx dy xd 代入原微分方程得 xyysin 2 方程 所对应的齐次方程的通解为0 yy xx eCeCY 21 设方程 的特解为 A B yxcosxsin 代入方程 求得 A 0 B 故 从而的通解是 2 1 y 2 1 xsinxyysin xeCeCxy xx sin 2 1 21 由 得 2 3 0 0 0 yy1 1 21 CC 故所初值问题的解为 80 xeexy xx sin 2 1 例 7 设 f x x 其中 f x 连续 求 f x xsin x dttftx 0 解 由表达式可知 f x 是可导的 两边对 x 求导 则得 x dttfxxxxf 0 sincos 再对两边关于 x 求导 得 cos2sinxfxxxxf 即 属于常系数二阶非齐次线性方程 xxxxfxfcos2sin 对应齐次方程通解 xCxCysincos 21 非齐次方程特解设 代入方程求出系数 A B C D 则 xDCxxxBAxxysincos 得 故 f x 的一般表达式xxxxysin 4 3 cos 4 1 2 xCxCxxxxxfsincossin 4 3 cos 4 1 21 2 由条件和导数表达式可知 f 0 0 可确定出 00 f 0 0 21 CC 因此xxxxxfsin 4 3 cos 4 1 2 例 8 已知 是某二阶线性非齐次常 xx exey 2 1 xx exey 2 xxx eexey 2 3 系数微分方程的三个解 求此微分方程及其通解 解 由线性微分方程的解的结构定理可得 x eyy 31 xx eeyy 2 21 x eyyyy 2 2131 是该方程对应的齐次方程的解 由解与的形式 可得齐次方程为 x e x e202 yyy 设该方程为 代入 得 2xfyyy xx exey 2 1 x exxf21 所以 该方程为 x exyyy212 其通解为 xxxx exeeCe