2019-2020学年吉林市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年吉林省吉林市高一上学期期末数学试题一、单选题1已知全集，集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意求出，即可求解.【详解】全集，集合，.故选：B【点睛】此题考查集合的补集和交集运算，属于简单题目，注意集合中的元素不能漏掉.2函数的定义域是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意解不等式即可.【详解】由题：，所以.故选：C【点睛】此题考查求已知函数定义域，关键在于准确求解不等式.3过点和点的直线的斜率为（ ）A-2BCD2【答案】A【解析】根据两点确定的直线的斜率公式即可求解.【详解】根据斜率公式可得：过点和点的直线的斜率.故选：A【点睛】此题考查根据两点求直线的斜率，根据公式准确求解即可.4设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，能得到的是（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：A，或，或与相交，故A不成立；B：由，知或，从而不成立，故B不成立；C：，或，或与相交，故C不成立；D：，故D成立；故选D【考点】空间直线与平面的位置关系5若直线与直线平行，则实数k的值为（ ）A-2BCD2【答案】A【解析】根据两条直线平行关系利用公式求解参数.【详解】由题：直线与直线平行，必有两条直线斜率相等，所以，此时直线与直线平行.故选：A【点睛】此题考查根据两条直线平行求参数的取值，根据斜率关系即可求解，注意考虑可能会出现直线重合的情况.6某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，那么该几何体的俯视图是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据四个柱体的体积为分析出俯视图面积为，分别判断即可.【详解】根据题意某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，即俯视图面积为，A选项底面积为1，正方体体积为1；B选项底面积为，圆柱体积为；C选项底面积为，直三棱柱体积为；D选项，设图中等腰直角三角形直角边长，底面面积：，柱体体积不为.故选：C【点睛】此题考查根据三视图结合体积关系识别俯视图，关键在于准确找出底面图形特征.7若x2+y2x+ym=0表示一个圆的方程，则m的取值范围是ABCDm2【答案】A【解析】根据圆的一般方程中表示一个圆的条件是D2+E24F0，求出m的取值范围【详解】当x2+y2x+ym=0表示一个圆的方程时，（1）2+124（m）0，解得m.故选A【点睛】本题考查圆的一般方程表示圆的限制条件.8如图，在长方体中，则异面直线与所成角为（ ）ABCD【答案】D【解析】连接，异面直线与所成角为或其补角，解三角形即可得解.【详解】根据长方体性质，连接，异面直线与所成角为或其补角，平面，平面，中，所以.故选：D【点睛】此题考查求异面直线所成角，通过平行线关系转化为解三角形问题.9某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知，）.（ ）A2023年B2024年C2025年D2026年【答案】C【解析】列出函数关系，设第n年获利y元，则，解不等式即可得解.【详解】设第n年获利y元，则，2019年即第1年，所以，即从2025年开始这家加工厂年获利超过60万元.故选：C【点睛】此题考查函数模型的应用，涉及解指数不等式，转化为对数进行计算，利用换底公式计算化简.10如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是()ABCD【答案】B【解析】对于，PA平面ABC，PABC.AB为O的直径，BCAC，又PAACA，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC，对于，点M为线段PB的中点，OMPA，PA平面PAC，OM平面PAC，OM平面PAC，对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确11已知圆C的方程为，若圆C上恰有3个点到直线l的距离为1，则l的方程可能是（ ）ABCD【答案】A【解析】将问题转化为圆心到直线的距离问题求解.【详解】圆C的方程为，其标准方程为，圆心，半径，若圆C上恰有3个点到直线l的距离为1，则圆心到直线的距离为1，A. ，圆心到直线的距离，符合题意；B. ，圆心到直线的距离，不合题意；C. ，圆心到直线的距离，不合题意；D. ，圆心到直线的距离，不合题意.故选：A【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的辨析，关键在于将题目条件到直线距离为1的点有三个，转化为圆心到直线的距离.12已知表示不超过x的最大整数，如：，为取整函数，是函数的零点，则等于（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】根据函数在单调递增，结合根的存在性定理得出，即可得解.【详解】在单调递增，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查函数零点问题和函数的新定义问题，关键在于根据根的存在性定理准确判定零点所在的区间.二、填空题13如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有_条.【答案】6【解析】根据几何体依次写出与直线成异面的直线即可得解.【详解】正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线如下：，一共6条.故答案为：6【点睛】此题考查异面直线的辨析，关键在于根据几何体特征准确找出与直线成异面的直线.14已知，则_.【答案】【解析】根据分段函数关系依次求出，再求即可得解.【详解】，则.故答案为：【点睛】此题考查分段函数求值，关键在于准确识别分段区间，正确求值.15设直线与圆相交于A，B两点，若，则_【答案】【解析】求出圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式解方程，即可得解.【详解】直线，即，圆的标准方程为，圆心，半径，相交于A，B两点，圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式可得：，即，解得.故答案为：【点睛】此题考查根据直线与圆形成的弦长，求解参数的值，关键在于熟练掌握弦长公式，结合圆心到直线的距离，准确求解.16给出下列结论：若集合，则；函数的图象关于原点对称；函数在其定义域上是单调递减函数；若函数在区间上有意义，且，则在区间上有唯一的零点.其中正确的是_.（只填序号）【答案】【解析】，函数是奇函数，图象关于原点对称，不能说在定义域单调递减，考虑函数即可.【详解】若集合，则，原说法不正确；函数，是定义在R上的奇函数，所以图象关于原点对称，原说法正确；函数在分别递减，不能说在其定义域上是单调递减函数，所以原说法不正确；若函数在区间上有意义，且，考虑函数，在区间上零点不唯一，所以原说法不正确.故答案为：【点睛】此题考查集合与函数相关概念和性质的辨析，需要熟练掌握常见概念和性质及定理.17若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面ABC，且三棱锥的体积为，则球O的体积为_.【答案】【解析】根据几何体特征补图成长方体，长方体的体对角线就是该锥体外接球的直径，即可求得体积.【详解】平面ABC，且三棱锥的体积为，即，解得，由题可得两两互相垂直，对几何体补图成如图所示的长方体，不共面的四点确定一个球，所以长方体与三棱锥有同一个外接球，球的直径为长方体体对角线长，即，所以外接球半径为，体积.故答案为：【点睛】此题考查求三棱锥外接球的体积，关键在于准确求出外接球的半径，解决此类问题，多做积累，特殊几何体常见的处理办法.三、解答题18若圆C经过点和，且圆心C在直线上，求圆C的方程.【答案】【解析】【详解】因为,AB中点为(0，4)，所以AB中垂线方程为y+4=2x，即2x+y+4=0，解方程组得所以圆心C为(1，2).根据两点间的距离公式，得半径r=,因此，所求的圆C的方程为.19已知直线的方程为（）若直线与平行，且过点，求直线的方程；（）若直线与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.【答案】（）；（）【解析】试题分析：（1）由于两直线平行，可设直线方程为，将点代入，可求得直线的方程；（2）由于两直线垂直，故设直线方程为，然后求出横截距和纵截距，利用所围成三角形面积建立方程，求出的值.试题解析：（）由直线与平行，可设的方程为.将带入，得，解得，直线的方程为（）由直线与垂直，可设的方程为，令，得，令，得，故三角形面积，化简得，即，直线的方程是.20某工厂生产一种产品，根据预测可知，该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第x年与年产量（万件）之间的关系如下表所示：x12344.005.527.008.49现有三种函数模型：，（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取这两年的数据求出相应的函数解析式；（2）因受市场环境的影响，2020年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2020年的年产量.【答案】（1）模型为较好，理由见解析，相应的函数为（2）8.05万件【解析】（1）根据单调性排除，检验，发现数据差距比较大，选择数据差距较小；（2）根据（1）计算出的模型方程计算即可得解.【详解】解：（1）符合条件的函数模型是若模型为，由已知得，所以，与已知差距较大；若模型为，为减函数，与已知不符；若模型为，由，所以，与已知符合较好.所以相应的函数为（2）2020年预计年产量为，所以2020年产量应为8.05万件【点睛】此题考查函数模型的应用，根据拟合效果决策选择的函数模型，并利用模型进行预测.21如图，已知矩形中，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰在上，即平面.（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）先证明平面，然后可得；（2）先证明平面，然后可得平面平面；（3）利用等体积法可得点到平面的距离.【详解】解：（1）平面，平面，.又，平面，平面，.（2），平面，又平面，平面平面.（3）设到平面的距离为，在中，.又，.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明和空间距离的求解，平面与平面垂直一般是先证明直线和平面垂直，点到平面的距离一般是利用等体积法来求解，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.22已知函数在区间上有最小值1，最大值9.（1）求实数a，b的值；（2）设，若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；（3）设），若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）（3）【解析】（1）在区间上为单调递减，解方程组即可得解；（2）换元令，不等式化为，分离参数即可求解；（3）换元，结合图象讨论的根的情况【详解】解：（1）因为函数对称轴为，所以在区间上为单调递减所以，解得：，（2）令，不等式化为即在上恒成立因为，所以所以（3）函数有三个零点则方程有三个不