数学讲义-比和比例的应用

比和比例比和比例 一 重要知识点一 重要知识点 比和比值 两个数相除又叫做两个数的比 比的大小叫比值 比的性质 比的前项和后项同乘以或除以相同的数 0 除外 比值不变 按比例分配 把一个量按一定比例分为几份 叫做按比例分配 比例及其性质 表示两个比相等的式子叫做比例 a b c d 或 则 ad bc b a d c 比例尺 图上距离与实际距离的比叫做比例尺 正比例 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 这两种量中相对应的 两个数值的比值 商 一定 这两种量就叫做成正比例的量 他们的关系叫正比例关系 字母表示 x y 一定 反比例 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 这两种量中相对应的 两个数值的积一定 这两种量就叫做成反比例的量 他们的关系叫反比例关系 字母表示 一定 2 经典例题经典例题 知识点知识点 1 比和比的应用 比和比的应用 例 1 王军行走的路程比陈晨多 而陈晨行走的时间却比王军多 求王军与陈晨的速 4 1 10 1 度比 学生自测 甲 乙两个长方形的周长相等 甲的长与宽的比是 3 2 乙的长与宽的比是 7 5 它们的 面积的比是多少 甲仓有粮 100 吨 乙仓有粮 80 吨 从甲仓取出多少吨给乙仓 使甲 乙两仓粮食的吨数 比是 2 3 A B 两地相距 320 千米 甲 乙两车分别从 A B 两地同时相向而行 2 小时相遇 已 知甲乙速度比是 3 5 乙每小时行多少千米 有一块铜锌合金 其中铜和锌的比是 2 3 现在加入锌 6 克 共得新合金 36 克 求新 合金中铜与锌的比 知识点知识点 2 比与比例的基本性质 比与比例的基本性质 例 甲商品的价钱是乙商品价格的 7 3 如果这两种商品的价格分别上涨 70 元 那么它们的 价格比就是 7 4 这两种商品原来的价钱各是多少元 学生自测 小明和小强原有的图纸之比是 4 3 小明又买来 15 张 小强用掉了 8 张 他们现有的 图纸之比是 5 2 原来两人各有多少张图画纸 学校原有跳绳 36 根 其中短跳绳根数与长跳绳根数比为 7 2 又买进一批短跳绳后 短跳绳根数与长跳绳根数比是 23 4 现在学校一共有跳绳多少根 分数 47 97 分子 分母分别加上 减去同一个数以后 约分后的最简分数为 3 5 求分 子加上 分母减去的这个数 北京西路小学合唱队与舞蹈队人数之比为 3 2 如果将合唱队的队员调 10 名到舞蹈队 那么这时合唱队与舞蹈队人数之比为 7 8 原来合唱队有多少人 知识点知识点 3 按比例分配按比例分配 例 3 育英小学六年级学生分三批去参观科技馆 第一批和第二批的人数比是 5 4 第二批 与第三批的人数比是 3 2 已知第一批比第二 三批人数的总和少 15 人 六年级参观科技馆 的共有多少人 学生自测 小明家养的鸡与猪的数量比为 26 5 养的羊与马的数量比为 25 9 猪与马的数量比为 10 3 如果养羊 50 只 小明家养鸡 猪 马各多少 一堆黑 白围棋子 从中取走白子 15 粒 余下的黑子数与白子数之比为 2 1 此后 又 取走黑子 45 粒 余下的黑子数与白子数之比为 1 5 那么这堆围棋子原来共有多少粒 一种混凝土是由水泥 沙子和石子按照 2 3 5 配置而成 1 配置这种混凝土 30 吨 水泥 沙子 石子各要多少吨 2 运来水泥 沙子 石子各 30 吨 当沙子用完时 水泥还剩下多少吨 还需运进石子 多少吨 甲 乙两袋大米共重 88 千克 已知甲袋大米的与乙袋大米的一样多 求甲 乙两 3 2 5 4 袋大米各重多少千克 知识点知识点 4 比例尺比例尺 例 4 在一张图上距离 3 厘米代表实际距离 360 千米地地图上 量得 AB 两地相距 12 厘米 AB 两地的实际距离是多少千米 学生自测 在一张比例尺是 1 2500 的平面图上 量得一个长方形运动场的长为 4 8 厘米 宽为 3 6 厘米 这个运动场的实际面积是多少平方米 在一幅比例尺为 1 2500000 的地图上 量得甲 乙两地的距离为 25cm 如果在另一幅地 图上 甲乙两地的距离是 20cm 那么另一幅地图的比例尺是多少 知识点知识点 5 正比例与反比例正比例与反比例 例 5 一辆汽车原计划每小时行驶 70 千米 从甲地到乙地需要行驶 6 小时 实际上这辆汽 车 1 5 小时就行驶了 120 千米 照这样的速度 从甲地到乙地需行驶多少小时 学生自测 判断以下两种量成什么比例 说明理由 1 一个不为 0 的数和它的倒数 2 圆的周长和半径 3 圆柱侧面积一定 它的底面周长和高 4 正方体的棱长和体积 5 等底等高的圆柱体积和圆锥体积 6 15 x y x 和 y 7 0 4a 0 5b a 和 b 8 3A 7 B A 和 B 9 车轮的直径一定 所行驶的路程与车轮的转数 某单位买甲 乙两种钢笔共 100 枝 已知甲钢笔每枝 3 元 乙钢笔每枝 2 元 且甲 乙 两种钢笔所用钱数一样多 求 甲 乙两种钢笔各买了多少枝 甲 乙两辆汽车各以一定的速度从 A 地开往 B 地 甲的速度每小时比乙快 20 千米 甲比 乙晚出发 0 5 小时 出发又过了 1 5 小时在终点处追上了乙 求 A 地到 B 地的路程为多少 千米 A B C 三个人 100 米赛跑 他们三人都是匀速前进 当 A 到终点时 B 离终点有 20 米 C 离终点有 30 米 当 B 到终点时 C 还有几米才到 一辆汽车沿高速公路从甲地到乙地 每小时可以行 80 千米 司机估算了一下 如果提速 百分之二十 则可以少用 0 5 小时 甲 乙两地之间相距多少千米 华华从甲地到乙地 去时每小时走 5 千米 回时每小时走 7 千米 来回共用了 1 2 小时 华华来回共走了多少千米 知识点知识点 6 比例法解答行程应用题比例法解答行程应用题 例 6 甲 乙两车分别从 A B 两地出发相向而行 甲车每小时行 50 千米 乙车的速度是 甲车的 4 5 当甲车行至全程的 2 5 时 乙车距中点还有 36 千米 甲 乙相距多少千米 学生自测 甲 乙两车分别从 A B 两地出发相向而行 当甲车行了全程的 1 4 时 乙车行了全程 的 1 3 当乙车行完全程时 甲车距终点还有 20 千米 A B 相距多少千米 一条路全长 60 千米 分成上坡 平路 下坡三段 各段路程长的比为 1 2 3 某人走各 段路所用的时间依次是 4 5 6 已知他上坡的速度为每小时 3 千米 此人走完全程用多长时 间 小红骑自行车从甲地到乙地 前一段路是上坡路 后一段路是下坡路 已知小红上坡每 小时行 8 千米 下坡每小时行 22 千米 来回一趟共用了 3 小时 甲 乙两地相距多少千米 一辆汽车和一辆摩托车同时从 A B 两地相对开出 相遇后两车继续向前行驶 当摩托 车到达 A 地 汽车到达 B 地后 两车立即返回 已知第二次相遇点距 A 地 130 千米 汽 车与摩托车的速度比是 3 2 A B 两地相距多少千米 如图 有一只老鼠沿着平行四边形 A B C 的方向逃跑 同时有一只猫也从 A 点出发沿着 A D C 的方向抓捕老鼠 在 E 点将老鼠抓住 已知老鼠的速度是猫的 5 8 且 CE 长 9 米 求平行四边形 ABCD 的周长 E A B C D 知识点知识点 7 比例法解答工程应用题比例法解答工程应用题 例 7 加工一个零件 甲需 3 分钟 乙需 3 5 分钟 丙需 4 分钟 现在有 1825 个零件要加 工 为尽早完成任务 甲 乙 丙各加工多少个零件 所需时间是多少 学生自测 师徒两人共加工零件 168 个 师傅加工 1 个零件用 5 分钟 徒弟加工一个零件用 9 分钟 完成任务时 两人各加工了零件多少个 化肥厂原计划生产化肥 1400 吨 由于改进技术 5 天就完成了计划的 25 照这样计算 剩下的任务还需要多少天完成 甲 乙 丙三村准备合修一条公路 他们原计划按 9 8 3 派工 后因为丙村不出工人 将他承担的任务请甲 乙村分担 由丙村出工资 360 元 结果甲村共派出 45 人 乙村共派 出 35 人 完成修路任务 问 甲 乙两村各应分得丙村工资多少元 例 8 师徒两人共同加工一批零件 2 天加工了总数的 已知师傅和徒弟的工作效率比 是 3 2 如果全由徒弟单独加工 需几天完成 学生自测 一批手工 如果甲单独做 10 天完成 甲 4 天的工作量乙要 2 天完成 两人合作 2 天后 由乙单独做 乙还需做多少天才能完成 一份文件 甲先打 2600 字 由于时间较紧 乙也加入进来 甲 乙的打字速度比是 4 5 完成时 甲打了文件的 这份文件一共多少个字 甲 乙两人做一件工程 在一段时间内甲 乙两人的工作效率比是 3 5 两人共同工作 3 天后 乙有事离开 甲又用 2 天完成任务 如果这件工程 从一开始两人就合作完成 需要多少天 某项工程 甲 乙两队合作 6 天完成工程的 已知单独做 甲完成工程的 和 乙完成工程的 的时间相等 求甲 乙单独做各需要多少天完成 3 1 8 5 8 7 4 1 3 1 知识点知识点 8 比例法解答图形问题比例法解答图形问题 例 9 例 2 如图 平行四边形 ABCD 的周长为 54 厘米 AE BC AF CD AE