高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.5.2 两角和、差及倍角公式的应用课件 理.ppt

第二课时两角和 差及倍角公式的应用 考向一利用三角恒等变换化简 求值 证明 典例1 1 2016 开封模拟 化简 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 2 求证 解题导引 1 可以从统一角的方向求解 2 可以从等号两边分析角的差异入手求解 规范解答 1 方法一 从 角 入手 倍角 单角 原式 sin2 sin2 cos2 cos2 2cos2 1 2cos2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 4cos2 cos2 2cos2 2cos2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 1 方法二 从 角 入手 单角 倍角 原式 1 cos2 cos2 cos2 cos2 1 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 答案 一题多解 解答本题 还有以下解法 方法一 从 名 入手 异名化同名 原式 sin2 sin2 1 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 cos2 cos2 方法二 从 形 入手 利用配方法 先对二次项配方 原式 sin sin cos cos 2 2sin sin cos cos cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos 2 2 cos2 2cos2 1 答案 2 等式左边 右边 所以等式成立 规律方法 1 三角恒等变换的化简 求值问题的求解策略 1 对于和 差式子 见到平方要降幂 消项 逆用公式等 2 对于分式 通分后分子分母化简时尽量出现约分的式子 或逆用公式 3 对于二次根式 要用升幂公式 或配方 出现完全平方 注意倍角公式的逆用 4 观察角的关系 尽量异角化同角 合理拆分角 5 观察三角函数的名称的关系 常用弦切互化 异名化同名 6 观察结构特征 明确变形方向 遇到分式要通分 整式要因式分解 2 三角恒等式的证明方法 1 从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边 相当于解决化简题目 2 等式两边同时变形 变形后的结果为同一个式子 3 先将要证明的式子进行等价变形 再证明变形后的式子成立 易错提醒 开平方时正负号的选取易出现错误 所以要根据已知和未知的角之间的关系 恰当地把角拆分 根据角的范围确定三角函数的符号 变式训练 1 化简的结果是 a cos1b cos1c cos1d cos1 解析 选c 原式 2 化简 解析 答案 加固训练 1 化简 a sin b cos c tan d 解析 选c 原式 2 2016 衡水模拟 计算 解析 选d 原式 3 化简 解析 原式 答案 4 2016 武汉模拟 若 解析 因为 2015 所以答案 2015 5 已知三个电流瞬时值函数式分别是i1 22sin t i2 22sin t 120 i3 22sin t 240 求证 i1 i2 i3 0 证明 因为i1 i2 i3 22sin t 22sin t 120 22sin t 240 22 sin t sin tcos120 cos tsin120 sin tcos240 cos tsin240 所以i1 i2 i3 0 考向二利用三角恒等变换解决实际问题 典例2 如图 现要在一块半径为1m 圆心角为的扇形白铁片aob上剪出一个平行四边形mnpq 使点p在弧ab上 点q在oa上 点m n在ob上 设 bop 平行四边形mnpq的面积为s 1 求s关于 的函数关系式 2 求s的最大值及相应的 角 解题导引 1 虽然p点变化但op不变 通过构造与角 所在的直角三角形 将平行四边形的底和高用角 表示 从而求出s关于 的函数关系式 2 利用三角恒等变换先化简 再求s的最大值及相应的 角 规范解答 1 分别过p q作pd ob于点d qe ob于点e 则四边形qedp为矩形 由扇形半径为1m 得pd sin od cos 在rt oeq中 mn qp de od oe cos sin s mn pd 2 s 因为所以当 母题变式 1 在本例中若点m与点o重合 图形变为如图 记平行四边形onpq的面积为s 求s的最大值 解析 如图 过点p作pd ob于点d 则由扇形半径为1m 得pd sin od cos 在rt pnd中 因为 pnd aob 所以on od nd s on pd sin 2 若本例题中的扇形不变 p为扇形弧的中点 如图 矩形cdef的边cd平行于op 求这个矩形面积的最大值 解析 连接oe 设 poe 0 30 de fc交op于点m n 所以em sin om cos on sin mn cos sin 所以矩形cdef的面积为s cd de 易错警示 解答本例题会出现以下错误 1 不知平行四边形的面积公式 无从下手 导致不会解答 2 不会化简所求关系式致误 3 忽视 的取值范围致误 规律方法 1 结合具体图形引进角为参数 利用三角函数的有关公式进行化简 解决最优化问题 2 解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样 先建模 再讨论变量的范围 最后作出结论并回答问题 变式训练 如图 同一平面内的三条平行直线l1 l2 l3 l1与l2的距离为1 l2与l3的距离为2 若正三角形的三个顶点a b c分别在这三条直线上 则此正三角形的面积为 解析 过b点作直线ef垂直于l1 l2 l3 交l1于点e 交l3于点f 则be 1 bf 2 设正三角形abc边长为a abe 则 cbf 120 在rt abe中 be abcos acos 1 在rt cbf中 bf bccos 120 a cos120 cos sin120 sin 2 解得 tan 所以所以s abc 答案 加固训练 1 2016 郑州模拟 已知直线l1 l2 a是l1 l2之间的一定点 并且a点到l1 l2的距离分别为h1 h2 b是直线l2上一动点 作ac ab 且使ac与直线l1交于点c 则 abc面积的最小值为 解析 如图 设 abd 则 cae 所以s abc ab ac 当时 s abc的最小值为h1h2 答案 h1h2 2 如图 半圆o的半径为1 点a与半圆的直径在一条直线上 oa 2 点p为半圆上的任意一点 三角形pab为等边三角形 当点p运动时 求四边形oabp的面积的最大值 解析 设 poa 0 180 则由余弦定理得pa2 oa2 op2 2oa opcos 22 12 2 2 1 cos 5 4cos 所以四边形oabp的面积为 所以四边形oabp的面积最大值为2 此时 aop为150 考向三三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用 考情快递 考题例析 命题方向1 利用三角恒等变换研究三角函数的图象变换问题 典例3 2016 长沙模拟 已知函数f x 若其图象是由y sin2x图象向左平移 0 个单位得到的 则 的最小值为 解题导引 由两角和的正弦公式化简解析式可得f x 函数y sin2x的图象向左平移 0 个单位后的解析式为y sin 2x 2 从而 k k n 0可得 的最小值 规范解答 选c 因为f x 所以可得f x 函数y sin2x的图象向左平移 0 个单位后的解析式为y sin 2x 2 从而 k k n 0 所以 的最小值为 命题方向2 利用三角恒等变换研究三角函数的性质问题 典例4 2016 襄阳模拟 已知函数f x sin2x sinxcosx 2cos2x x r 1 求函数f x 的最小正周期和单调增区间 2 函数f x 的图象可以由函数y sin2x x r 的图象经过怎样的变换得到 解题导引 1 根据三角恒等变换公式化简函数表达式为y asin x 的形式 再求周期和单调增区间 2 根据图象平移 伸缩变换求解 规范解答 1 f x 1 cos2x 所以f x 的最小正周期t 由题意得即所以f x 的单调增区间为 2 先把y sin2x图象上所有点向左平移个单位长度 得到y sin的图象 再把所得图象向上平移个单位长度 就得到的图象 技法感悟 三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用 1 图象变换问题 先根据和角公式 倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y asin x t或余弦型函数y acos x t的形式 再进行图象变换 2 函数性质问题 求函数周期 最值 单调区间的方法步骤 利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y asin x t或y acos x t的形式 利用公式t 0 求周期 根据自变量的范围确定 x 的范围 根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值 另外求最值时 根据所给关系式的特点 也可换元转化为求二次函数的最值 根据正 余弦函数的单调区间列不等式求函数y asin x t或y acos x t的单调区间 题组通关 1 2016 南昌模拟 已知函数则a b c的大小关系是 a a b cb c a bc b a cd b c a 解析 选b f x 因为函数f x 在上单调递增 所以所以c a b 2 2016 泰安模拟 已知函数cos 2 x 0 在区间上为增函数 则 的最大值为 解析 由不等式所以f x 的一个增区间为 要使得f x 在区间上为增函数 必须解得所以 的最大值为 答案 3 2016 佳木斯模拟 已知函数f x 2sinxcosx 2cos2x 1 x r 1 求函数f x 的最小正周期及在区间上的最大值和最小值 2 若求cos2x0的值 解析 1 由f x 2sinxcosx 2cos2x 1 得f x 2sinxcosx 2cos2x 1 sin2x cos2x 2sin 所以函数f x 的最小正周期为 因为f x 2sin在区间上为增函数 在区间上为减函数 又因为f 0 1 所以函数f x 在区间上的最大值为2 最小值为 1 2 由 1 可知又因为f x0 所以因为所以所以 加固训练 1 2016 商丘模拟 将函数f x sin2x cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g x 的图象 则的值为 解析