初中教师培训5讲

1 新课程的适应性与教师数学素质的培养和提高新课程的适应性与教师数学素质的培养和提高 第第 1 讲讲 关于新课标的争论关于新课标的争论 第第 2 讲讲 数学思想 看看欧拉与高斯数学思想 看看欧拉与高斯 第第 3 讲讲 从勾股定理看教学探究从勾股定理看教学探究 第第 4 讲讲 刘徽的直观构形刘徽的直观构形 第第 5 讲讲 若干教学问题的教学法分析若干教学问题的教学法分析 初中教师培训五讲初中教师培训五讲 西南大学西南大学 张广祥张广祥 2 1 11 1 数学课改中的分歧和争论数学课改中的分歧和争论 新世纪以来世界各国在基础教新世纪以来世界各国在基础教 育领域形成了课程改革的浪潮 我国的新课标已经颁布九年了 九育领域形成了课程改革的浪潮 我国的新课标已经颁布九年了 九 年来围绕新课标的争论从未间断过 其中数学课程标准引起的争论年来围绕新课标的争论从未间断过 其中数学课程标准引起的争论 更为激烈 为了辩析争论中的是非 中国数学会主办的数学教育专更为激烈 为了辩析争论中的是非 中国数学会主办的数学教育专 业刊物业刊物 数学通报数学通报 在在 20052005 年年 3 3 月第月第 4444 卷编辑了一期特刊 系统卷编辑了一期特刊 系统 汇集了争论中的主要观点 极有代表性的是汇集了争论中的主要观点 极有代表性的是 甘肃省天水地区部分甘肃省天水地区部分 中学教师座谈会记录中学教师座谈会记录 中所反映的看法 中所反映的看法 新课标 教材不成体 新课标 教材不成体 系 好象是一截一截的 无法衔接 有些内容过于简单 有些太繁 系 好象是一截一截的 无法衔接 有些内容过于简单 有些太繁 初二讲平面图形的平移 学生不好接受 新旧课本变化很大 严密初二讲平面图形的平移 学生不好接受 新旧课本变化很大 严密 性不够 数学史很多 但基础计算 理论很少 评价体系乱了 只性不够 数学史很多 但基础计算 理论很少 评价体系乱了 只 要学生不断地动 就认为这节课好 要学生不断地动 就认为这节课好 1 1 综合地看 争论中对新课综合地看 争论中对新课 标批评意见多于认同意见 标批评意见多于认同意见 无独有偶 几乎同样的争论也发生在有着完全不同社会背景的无独有偶 几乎同样的争论也发生在有着完全不同社会背景的 美国 美国数学会刊物美国 美国数学会刊物 Notices Notices ofof thethe AMS 1997AMS 1997 年第年第 4444 卷第卷第 5 5 期与第期与第 6 6 期连续两期连载了期连续两期连载了 数学战争 发生于加州的数学教育数学战争 发生于加州的数学教育 第第 1 1 讲讲 关于新课标的争论 关于新课标的争论 非本质的争辩与非本质的争辩与 数学中的固有性分歧数学中的固有性分歧 3 改革之战 改革之战 I III II 的论文 的论文 美国加州教师协会主席 已经在加州一美国加州教师协会主席 已经在加州一 所高中教授了所高中教授了 2727 年数学的年数学的 M DeArmondM DeArmond 女士身处女士身处 数学战争数学战争 的旋的旋 涡 涡 19891989 年新课改以来她使用了年新课改以来她使用了 互动数学项目教材互动数学项目教材 IMPIMP thethe InteractiveInteractive MathematicsMathematics ProgramProgram 此教材要求学生小组合作学此教材要求学生小组合作学 习 计算问题通常使用计算器操作 等等 习 计算问题通常使用计算器操作 等等 使使 DeArmondDeArmond 深感忧虑的深感忧虑的 是 是 开平方 学生给出的答案是开平方 学生给出的答案是 a b a b 为加州数学新课标申为加州数学新课标申 22 ba 辩的一方认为数学新课程加强了学生对数学的概念性理解 辩的一方认为数学新课程加强了学生对数学的概念性理解 a a muchmuch strongerstronger conceptualconceptual understandingunderstanding 使学生成为独立的学习者 使学生成为独立的学习者 使他们了解数学可用于解决各色各样的实际问题 但是批评者却持使他们了解数学可用于解决各色各样的实际问题 但是批评者却持 有完全相反的观点 认为课程改革已经陷入了深深的泥潭 尽管课有完全相反的观点 认为课程改革已经陷入了深深的泥潭 尽管课 标维护者以种种漂亮狡诘的语言进行辩护 但是难以掩饰这些做法标维护者以种种漂亮狡诘的语言进行辩护 但是难以掩饰这些做法 丝毫无助于学生的数学学习活动 人们更加担心教师的原有知识背丝毫无助于学生的数学学习活动 人们更加担心教师的原有知识背 景能否使他们有效地承担新课程的教学任务 景能否使他们有效地承担新课程的教学任务 2 2 数学新课标在中国与美国发生的争论惊人地相似 争论的焦点数学新课标在中国与美国发生的争论惊人地相似 争论的焦点 是多方面的 其中有不少是关于教学理念与教学方法的分歧 例如 是多方面的 其中有不少是关于教学理念与教学方法的分歧 例如 是采用传统的教师讲授法 还是提倡学生小组合作学习 是要求学是采用传统的教师讲授法 还是提倡学生小组合作学习 是要求学 生动手操作 还是强调传统的基本计算与推理能力训练 本文目的生动手操作 还是强调传统的基本计算与推理能力训练 本文目的 并不是对所争论的问题发表自己偏向性的意见 特别是对于新课程并不是对所争论的问题发表自己偏向性的意见 特别是对于新课程 的教学方法 因为不同的教学方法其效果也许会因人而异 课程标的教学方法 因为不同的教学方法其效果也许会因人而异 课程标 准不可能对教学方法作出严格的判定 准不可能对教学方法作出严格的判定 但是本文作者认为 数学课但是本文作者认为 数学课 程教学中存在一类程教学中存在一类 固有性分歧固有性分歧 这种固有性分歧是由数学学科的 这种固有性分歧是由数学学科的 本性决定的 从数学科学诞生的第一天起这种不同观点与不同研究本性决定的 从数学科学诞生的第一天起这种不同观点与不同研究 4 方法就对数学的发展同时发挥作用 我们希望能够理清分歧产生的方法就对数学的发展同时发挥作用 我们希望能够理清分歧产生的 原因 尽可能摆脱不必要的争论和困扰 原因 尽可能摆脱不必要的争论和困扰 一位在数学与物理两个领域均同时具有出色贡献的科学家一位在数学与物理两个领域均同时具有出色贡献的科学家 FreemanFreeman DysonDyson 在在 20082008 年美国数学会举办的爱因斯坦讲座上以弗朗年美国数学会举办的爱因斯坦讲座上以弗朗 西斯西斯 培根与笛卡尔为例说明对待科学研究的两种不同态度 培根与笛卡尔为例说明对待科学研究的两种不同态度 DysonDyson 把这两种态度比喻为飞鸟与青蛙 把这两种态度比喻为飞鸟与青蛙 笛卡尔是飞鸟 飞翔在高高的天笛卡尔是飞鸟 飞翔在高高的天 空上 以非常宏观的观点看待数学 其方法是逻辑思辩 笛卡尔的空上 以非常宏观的观点看待数学 其方法是逻辑思辩 笛卡尔的 铭言铭言 我思故我在我思故我在 表达了这种逻辑思辩的理念 表达了这种逻辑思辩的理念 DysonDyson 把这样的把这样的 方法称为教条主义 意思是用逻辑思辩的方法发现真理 培根是青方法称为教条主义 意思是用逻辑思辩的方法发现真理 培根是青 蛙 钻在泥土里 以解决具体问题为主要目标 不太看重问题之间蛙 钻在泥土里 以解决具体问题为主要目标 不太看重问题之间 的联系 培根说 的联系 培根说 一切取决于目不转睛地盯住大自然中的事实一切取决于目不转睛地盯住大自然中的事实 这样的方法称为经验主义或实验主义 这两者都是科学研究中固有这样的方法称为经验主义或实验主义 这两者都是科学研究中固有 的不同态度和方法 的不同态度和方法 现代数学中的现代数学中的 飞鸟派飞鸟派 以法国的以法国的 BourbakiBourbaki 学学 派为代表 他们力图把整个数学建立在一个统一的逻辑框架中 结派为代表 他们力图把整个数学建立在一个统一的逻辑框架中 结 构主义和公理化方法早已经受到当代研究者的充分关注 希尔伯特构主义和公理化方法早已经受到当代研究者的充分关注 希尔伯特 是是 飞鸟与青蛙飞鸟与青蛙 两者的混合 两者的混合 19001900 年他提出著名的年他提出著名的 2323 问题引领问题引领 了了 2020 世纪的数学研究 这些研究虽然以解决具体问题为主要目标 世纪的数学研究 这些研究虽然以解决具体问题为主要目标 但是 解决疑难问题的方法可能导致数学观点的变革 另一方面 但是 解决疑难问题的方法可能导致数学观点的变革 另一方面 希尔伯特以纲领性的著作希尔伯特以纲领性的著作 几何基础几何基础 以及以及 元数学理论元数学理论 为标志为标志 对于现代数学的逻辑基础及结构形式进行了充分研究对于现代数学的逻辑基础及结构形式进行了充分研究 3 3 两种不同的观点同时也代表了数学科学中两种固有的不同认知两种不同的观点同时也代表了数学科学中两种固有的不同认知 途径 任何一种都不可能取代另一种 这样的认识论上的固有差异途径 任何一种都不可能取代另一种 这样的认识论上的固有差异 5 在数学教育方面也有反映 数学课程教学法可以是在数学教育方面也有反映 数学课程教学法可以是 实验途径实验途径 的 的 例如实验几何教学法 也可以是例如实验几何教学法 也可以是 逻辑主义逻辑主义 的 例如公理化几何的 例如公理化几何 教学法 两种教学途径和方法都无法互相取代 因此也不必要互相教学法 两种教学途径和方法都无法互相取代 因此也不必要互相 诋毁 作者认为以这样的观点看待当前对于新课标的某些争论问题 诋毁 作者认为以这样的观点看待当前对于新课标的某些争论问题 对于理清分歧的实质不无帮助 对于理清分歧的实质不无帮助 1 21 2 实验几何与公理化几何实验几何与公理化几何 中学数学课程中一个无法回避的中学数学课程中一个无法回避的 问题是 初中几何课程是培养学生逻辑推理能力的一个最有成效 问题是 初中几何课程是培养学生逻辑推理能力的一个最有成效 也最具有教学操作性和实践价值的课程 当然 任何数学分支中都也最具有教学操作性和实践价值的课程 当然 任何数学分支中都 贯穿逻辑推理方法 学生同样也可以在代数课程中学到逻辑推理 贯穿逻辑推理方法 学生同样也可以在代数课程中学到逻辑推理 但是 由于中学生正处在学习数学的初步阶段 因此我们必须承认但是 由于中学生正处在学习数学的初步阶段 因此我们必须承认 在不同课程中学习逻辑推理方法的实际途径和效果是存在很大区别在不同课程中学习逻辑推理方法的实际途径和效果是存在很大区别 的 我们考察下面两个三段论的推理形式和方法 的 我们考察下面两个三段论的推理形式和方法 形式一 因为形式一 因为 ab ab 所以我 所以我 22 2 2 baba 们有下面们有下面 因子分解定理因子分解定理 每个可以分解的奇整 每个可以分解的奇整 数都可以通过平方差方式分解数都可以通过平方差方式分解 例如 例如 8051 8051 97 83 97 83 这样的分解方法不是偶然的 这样的分解方法不是偶然的 22 790 形式二 等腰三角形两底角相等 形式二 等腰三角形两底角相等 图 图 1 1 证明 因为证明 因为 ABC ACB ABC ACB 所以 所以 ABC ACB ABC ACB 共同点 都是典型的三段论推理法 共同点 都是典型的三段论推理法 差异点 差异点 形式一形式一 除了三段论形式之外 主要依赖抽象思维 除了三段论形式之外 主要依赖抽象思维 初学者难以掌握 初学者难以掌握 形式二形式二 除了三段论形式之外 生动的几何图形除了三段论形式之外 生动的几何图形 更加利于学习者观察和发现 因此 更加利于学习者观察和发现 因此 形式二形式二 中的三段论法是形式中的三段论法是形式 CB A 图 1 6 化推理与实验化方法二者兼备 化推理与实验化方法二者兼备 由此 重视初中几何课程的理由不是单一的 并不仅仅因为几由此 重视初中几何课程的理由不是单一的 并不仅仅因为几 何课程在培养学生逻辑推理能力方面的重要功能 而且同样非常重何课程在培养学生逻辑推理能力方面的重要功能 而且同样非常重 要的因素是因为几何课程中形式化推理与实验化方法二者兼备 这要的因素是因为几何课程中形式化推理与实验化方法二者兼备 这 样 中学几何课程不但在培养学生逻辑推理能力方法地位独特 而样 中学几何课程不但在培养学生逻辑推理能力方法地位独特 而 且在培养学生通过自主观察 归纳发现新的数学事实方面也具有其且在培养学生通过自主观察 归纳发现新的数学事实方面也具有其 它学科分支无可替代的作用 初中几何课程中实验化方法与公理化它学科分支无可替代的作用 初中几何课程中实验化方法与公理化 方法应该同时受到重视 不应该只重视其中一个方面 而忽略另一方法应该同时受到重视 不应该只重视其中一个方面 而忽略另一 个方面 个方面 1 31 3 初中几何课程的教学目标初中几何课程的教学目标 在初中几何课程的教学目标问在初中几何课程的教学目标问 题上长期存在着一个被曲解的观点 认为形式化的逻辑推理是几何题上长期存在着一个被曲解的观点 认为形式化的逻辑推理是几何 课程的唯一教学目标 即使还存在其它教学目标 都是极其次要的课程的唯一教学目标 即使还存在其它教学目标 都是极其次要的 因素 但是 我们认为形式化推理远远不是几何课程目标的全部 因素 但是 我们认为形式化推理远远不是几何课程目标的全部 理想的 纯粹的 公理化方法其实是不存在的 或者说 即使具有理想的 纯粹的 公理化方法其实是不存在的 或者说 即使具有 方法论的合理性 但是在实践层面上是方法论的合理性 但是在实践层面上是 残缺的残缺的 我们考察下面两我们考察下面两 例 例 例例 1 1 欧几里得 欧几里得 几何原本几何原本 中的定理中的定理 1 1 以一条已知线段为一 以一条已知线段为一 边可以用尺规作图法作一个等边三角形 仅仅利用边可以用尺规作图法作一个等边三角形 仅仅利用 几何原本几何原本 中中 的的 5 5 条公理及条公理及 5 5 条公设是无法证明这个定理的 证明需要添加以下条公设是无法证明这个定理的 证明需要添加以下 公理 类公理 类 PaschPasch 公理 以相同半径作两个圆 如果其中一个圆周公理 以相同半径作两个圆 如果其中一个圆周 通过另一个圆心 则两圆必有两个交点 图通过另一个圆心 则两圆必有两个交点 图 2 2 参见 参见 4 4 第第 3535 页 页 因此 我们可以说欧几里得因此 我们可以说欧几里得 几何原本几何原本 中定理中定理 1 1 的证明方法不是的证明方法不是 7 严格意义上的公理化方法 它必须依赖直觉或者添加严格意义上的公理化方法 它必须依赖直觉或者添加 类类 PaschPasch 公公 理理 我们之所以把上面的公理称为我们之所以把上面的公理称为 类类 PaschPasch 公理公理 是因为它与是因为它与 Pasch Pasch 公理公理 非常类似 著名的非常类似 著名的 Pasch Pasch 公理公理 是 一条直线如果是 一条直线如果 与三角形的一条边相交 那么它一定与三角形另一条边也相交 高与三角形的一条边相交 那么它一定与三角形另一条边也相交 高 斯时代已经对此公理产生了一定认识 之后德国几何学家斯时代已经对此公理产生了一定认识 之后德国几何学家 MoritzMoritz PaschPasch 18431843 19301930 发现这条公理对于建立直线上点的次序公理必 发现这条公理对于建立直线上点的次序公理必 不可少 希尔伯特在他的著作不可少 希尔伯特在他的著作 几何基础几何基础 彻底解决了这些问题彻底解决了这些问题 5 5 这个例证说明这个例证说明 纯粹公理化纯粹公理化 方法对于初次学习几何知识的中学生方法对于初次学习几何知识的中学生 来说过于复杂 中学几何课程不可能把来说过于复杂 中学几何课程不可能把 纯粹公理化纯粹公理化 方法作为唯方法作为唯 一的教学目标 一的教学目标 几何原本几何原本 中依赖直觉的证明还很多 例如 定理中依赖直觉的证明还很多 例如 定理 4 4 两个 两个 三角形如果两条边及夹角对应相等 则两个三角形全等 证明采用三角形如果两条边及夹角对应相等 则两个三角形全等 证明采用 重合法重合法 或者也称 或者也称 同一法同一法 但是 但是 重合法重合法 没有相应公理作没有相应公理作 保证 同样依赖于直觉 保证 同样依赖于直觉 参见欧几里得 参见欧几里得 几何原本几何原本 中文版中文版 6 6 第第 5454 页公理页公理 III 5III 5 图 2 8 例例 2 2 波兰数学家 波兰数学家 H SteinhausH Steinhaus 让一位学生以希尔伯特让一位学生以希尔伯特 几何几何 基础基础 中的公理系统的方法证明勾股定理中的公理系统的方法证明勾股定理 结果写出来的证明长达结果写出来的证明长达 8080 页 可见 这样的证明并不是任何人所期望的 实际的勾股定理页 可见 这样的证明并不是任何人所期望的 实际的勾股定理 证明远没有这样繁难 参见证明远没有这样繁难 参见 4 4 第第 3939 页 页 因此 我们说完全排斥因此 我们说完全排斥 直觉参与的直觉参与的 纯粹公理化纯粹公理化 方法仅仅是数学家在研究数学的逻辑基方法仅仅是数学家在研究数学的逻辑基 础时所关注的问题 这样的数学证明不是通常意义下的数学证明 础时所关注的问题 这样的数学证明不是通常意义下的数学证明 关于数学证明的公理化方法 著名法国现代数学学派关于数学证明的公理化方法 著名法国现代数学学派 布尔巴布尔巴 基基 曾有过非常明确的论述 曾有过非常明确的论述 布尔巴基布尔巴基 学派成员学派成员 J Dieudonn J Dieudonn 19821982 年在一篇总结布尔巴基年在一篇总结布尔巴基 3030 年研究工作的论文中谈到一些人对年研究工作的论文中谈到一些人对 于布尔巴基的误解 于布尔巴基的误解 最特别的是 有一件归咎于布尔巴基的事 最特别的是 有一件归咎于布尔巴基的事 即主张在初中数学中较早地引进抽象的 一般是无用的概念 这是即主张在初中数学中较早地引进抽象的 一般是无用的概念 这是 一种以一种以 新数学新数学 著称的趋势 让我们回想一下 布尔巴基全书的著称的趋势 让我们回想一下 布尔巴基全书的 目的是给数学研究者即从事研究工作的数学家提供工具 因此它根目的是给数学研究者即从事研究工作的数学家提供工具 因此它根 本不涉及主要大学的研究生水平以下的数学问题 连在较低的水平本不涉及主要大学的研究生水平以下的数学问题 连在较低的水平 上引进他的书中的概念的可行性或可取性 布尔巴基也没有表示过上引进他的书中的概念的可行性或可取性 布尔巴基也没有表示过 一点意见 更不用说小学和中学了 至少可以说 这种偏向的拥护一点意见 更不用说小学和中学了 至少可以说 这种偏向的拥护 者通常是那些对当今数学知识一无所知的人 者通常是那些对当今数学知识一无所知的人 7 7 Dieudonn Dieudonn 的的 这段话明确地表达了数学家采用公理化方法研究数学科学的逻辑基这段话明确地表达了数学家采用公理化方法研究数学科学的逻辑基 础 但是公理化方法并不是初学者学习数学的最佳途径 中学数学础 但是公理化方法并不是初学者学习数学的最佳途径 中学数学 课程的教学目标是多元的 而直观推理的方法是不可或缺的 其重课程的教学目标是多元的 而直观推理的方法是不可或缺的 其重 要价值应当受到充分重视要价值应当受到充分重视 1 41 4 希尔伯特的观点希尔伯特的观点 为了进一步说明现代数学中公理化方法为了进一步说明现代数学中公理化方法 9 与直观推理并存 同时发挥作用的情形 我们引用与直观推理并存 同时发挥作用的情形 我们引用 HilbertHilbert 在在 直直 观几何观几何 中的一段论述 中的一段论述 HilbertHilbert 在在 直观几何直观几何 序言中指出 序言中指出 在数学中 像在任何科学研究中那样 有两种倾向 一种是抽象在数学中 像在任何科学研究中那样 有两种倾向 一种是抽象 的倾向 即从所研究的错综复杂的材料中提炼出其内在的逻辑关系 的倾向 即从所研究的错综复杂的材料中提炼出其内在的逻辑关系 并根据这些关系把这些材料作系统的 有条理的处理 另一种是直并根据这些关系把这些材料作系统的 有条理的处理 另一种是直 观的倾向 即更直接地掌握所研究的对象 侧重它们之间的关系的观的倾向 即更直接地掌握所研究的对象 侧重它们之间的关系的 具体意义 也可以说领会它们的生动的形象 具体意义 也可以说领会它们的生动的形象 就几何方面说 抽象的倾向已经引导到代数几何 黎曼几何和就几何方面说 抽象的倾向已经引导到代数几何 黎曼几何和 拓扑学等宏伟的系统理论 在这里抽象的思考方法 以及代数性质拓扑学等宏伟的系统理论 在这里抽象的思考方法 以及代数性质 的符号运算获得广泛的运用 然而 直观在几何中的作用却是更大 的符号运算获得广泛的运用 然而 直观在几何中的作用却是更大 过去如此 现在还是如此 具体的直观不仅对于研究工作有巨大的过去如此 现在还是如此 具体的直观不仅对于研究工作有巨大的 价值 对于理解和欣赏几何中的研究结果也是这样 价值 对于理解和欣赏几何中的研究结果也是这样 由于几何方面很广而且它跟许多数学分支发生关系 因而我们由于几何方面很广而且它跟许多数学分支发生关系 因而我们 甚至于能够从它获得整个数学的概观 能够认识数学问题的变化多甚至于能够从它获得整个数学的概观 能够认识数学问题的变化多 端 以及数学思想的丰富多彩 因此从直观形象出发而且用粗线条端 以及数学思想的丰富多彩 因此从直观形象出发而且用粗线条 的方式来描绘几何 应该会使专家圈子以外更广大的群众对于数学的方式来描绘几何 应该会使专家圈子以外更广大的群众对于数学 有更合理的评价 因为 一般地说 数学并不是普通人特别喜爱的有更合理的评价 因为 一般地说 数学并不是普通人特别喜爱的 学科 虽然它的重要性可以说已经得到公认了 此中原因是由于有学科 虽然它的重要性可以说已经得到公认了 此中原因是由于有 一种流行的误解 认为数学不过算术的延续和提高 用数目来变戏一种流行的误解 认为数学不过算术的延续和提高 用数目来变戏 法 法 7 7 中国科学院李文林教授曾经在一次数学史讲座中提醒人们注意中国科学院李文林教授曾经在一次数学史讲座中提醒人们注意 到一个发生在近代数学史上的重要事实 正当希尔伯特到一个发生在近代数学史上的重要事实 正当希尔伯特 18981898 年发表年发表 10 了了 几何基础几何基础 以严格的公理化方法奠定了几何学的逻辑基础 其 以严格的公理化方法奠定了几何学的逻辑基础 其 后后 3030 年中发展出年中发展出 元数学元数学 的形式推理方法 提出建立现代数学逻的形式推理方法 提出建立现代数学逻 辑基础的辑基础的 希尔伯特纲领希尔伯特纲领 紧接此后的 紧接此后的 19321932 年与他的助手康福生年与他的助手康福生 S Cohn VossenS Cohn Vossen 发表 发表 直观几何直观几何 2 2 卷 卷 其意义是不言而喻的 其意义是不言而喻的 正当人们把注意力集中在现代数学的公理化方法时 希尔伯特以正当人们把注意力集中在现代数学的公理化方法时 希尔伯特以 直观几何直观几何 旗帜鲜明地告诉人们在数学研究与数学学习中 形式旗帜鲜明地告诉人们在数学研究与数学学习中 形式 推理的公理化方法与直觉推理的方法应该同时受到重视 不可偏废推理的公理化方法与直觉推理的方法应该同时受到重视 不可偏废 任何一种方法 这样数学与数学教育才能得到健康发展 任何一种方法 这样数学与数学教育才能得到健康发展 参考文献 1 王昆杨 甘肃省天水地区部分中学教师座谈会记录 数学通报 第 44 卷 特刊 2005 2 Allyn Jackson The Math Wars California Battle It Our over Mathematics Education Reform Part I II Notices of AMS N0 5 6 1997 3 Freeman Dyson Birds and Frogs Notices of AMS Vol 56 2009 转引自 数学译林 2010 第 1 期 4 肖文强著 数学证明 大连理工大学出版社 2008 年出版 5 D Hilbert 几何基础 江泽涵等译 科学出版社 1958 第一版 6 欧几里得著 几何原本 中文版 兰纪正 朱恩宽 翻译 陕西科学出 版社 2003 年出版 7 J Dieudonn The Work of Bourbaki during the Last Thirty Years Notices of AMS Vol 29 1982 8 D Hilbert S Cohn Vossen Anschauliche Geometrie Verlag von Julius Springer 1932 王联芳 译 高等教育出版社 1959 第一版 11 2 12 1 欧拉的直觉 级数求和中的直观方法欧拉的直觉 级数求和中的直观方法 本讲我们专门考察和鉴赏欧拉的数学研究工作 欧拉和高斯是本讲我们专门考察和鉴赏欧拉的数学研究工作 欧拉和高斯是 两位对近代数学影响最为深远的数学家 他们两人无论从性格还是两位对近代数学影响最为深远的数学家 他们两人无论从性格还是 从他们的工作风格都有很大的差别 这两位数学家基本代表了两个从他们的工作风格都有很大的差别 这两位数学家基本代表了两个 不同世纪的数学 欧拉 不同世纪的数学 欧拉 LeonhardLeonhard EulerEuler 17071707 17831783 代表 代表 1818 世世 纪的数学 而高斯 纪的数学 而高斯 CarlCarl FriedrichFriedrich GaussGauss 17771777 18551855 虽然出生 虽然出生 在在 1818 世纪 当他还是一位尚未年满世纪 当他还是一位尚未年满 2020 岁时已经做出了许多惊人的岁时已经做出了许多惊人的 研究成果 或者甚至可以说高斯的大多数开创性的数学研究工作都研究成果 或者甚至可以说高斯的大多数开创性的数学研究工作都 是在他是在他 2020 岁之前完成的 但是高斯参与并引领了岁之前完成的 但是高斯参与并引领了 1919 世纪数学严密世纪数学严密 第第 2 2 讲讲 数学思想 数学思想 看看欧拉和高斯看看欧拉和高斯 欧拉 1707 1783 高斯 1777 1855 12 化的工作 从这个意义上说 高斯是属于化的工作 从这个意义上说 高斯是属于 1919 世纪的数学家 世纪的数学家 欧拉完整地生活在欧拉完整地生活在 1818 世纪 在欧拉那个时代 由费马 笛卡尔 世纪 在欧拉那个时代 由费马 笛卡尔 牛顿 莱布尼兹等人所开创的近代数学已经十分丰富 十分复杂 牛顿 莱布尼兹等人所开创的近代数学已经十分丰富 十分复杂 但是近代数学的几乎所有的重要概念都尚未严密化 数学家的工作但是近代数学的几乎所有的重要概念都尚未严密化 数学家的工作 都建立在直觉概念的基础上 正是由于这一原因 数学家几乎不受都建立在直觉概念的基础上 正是由于这一原因 数学家几乎不受 严格的形式化思维方法的束缚 思维自由活跃 更能显示数学家自严格的形式化思维方法的束缚 思维自由活跃 更能显示数学家自 身的独特性和创造性 欧拉的工作风格和特点就是 直观形象 抓身的独特性和创造性 欧拉的工作风格和特点就是 直观形象 抓 住事物之间错综复杂的关系 特别善于采用解析方法或代数形式推住事物之间错综复杂的关系 特别善于采用解析方法或代数形式推 演的方法发现数学中新的事实 演的方法发现数学中新的事实 大致在大致在 17041704 年年 JakobJakob BernoulliBernoulli 与与 JohannJohann BernoulliBernoulli 就研究就研究 了级数了级数与级数与级数的求和问题 但是如何求出形式更的求和问题 但是如何求出形式更 1 2 1 n nn 2 2 1 1 n n 加简单的自然数倒数平方和加简单的自然数倒数平方和成为人们更加关注的焦点 成为人们更加关注的焦点 1 2 1 n n BernoulliBernoulli 兄弟没有解决这一困难问题 欧拉是一位真正的兄弟没有解决这一困难问题 欧拉是一位真正的 级数级数 大师大师 欧拉大约于 欧拉大约于 17431743 年求出了这一级数和 欧拉的方法从现代年求出了这一级数和 欧拉的方法从现代 级数理论看起来并不十分严密 但却十分直观 十分易于想象 级数理论看起来并不十分严密 但却十分直观 十分易于想象 欧拉级数公式 欧拉级数公式 自然数倒数平方和 自然数倒数平方和 65 1 4 1 3 1 2 1 1 2 2222 思路 早在费马和笛卡尔的时代 数学家就已经发现多项式的思路 早在费马和笛卡尔的时代 数学家就已经发现多项式的 根与多项式的因式之间的关系 如果多项式根与多项式的因式之间的关系 如果多项式 f f x x 0 0 有根有根 x ax a 则 则 f f x x 有因式 有因式 x ax a 因此 如果 因此 如果是多项式是多项式 n xxxx 21 13 的根 注意到每的根 注意到每 0 0 那么存 那么存 01 2 21 n nx axaxa i x 在因式分解在因式分解 1 1 1 1 1 1 21 2 21 n n n x x x x x x xaxaxa 且由根与系数的关系 容易知道 且由根与系数的关系 容易知道 2 2 1 21 111 a xxx n 现在命现在命 则方程 则方程有根有根 x x xf sin 0 xf 3 2 222 x 而利用级数展开而利用级数展开 1 1 7 5 3 1 32 xxx xf 那么这种常数项为那么这种常数项为 1 1 的多项式同样也有的多项式同样也有 根的倒数和等于一次项系根的倒数和等于一次项系 数的相反数数的相反数 因此有 因此有 2 2 6 1 3 1 2 11 322 于是得于是得 65 1 4 1 3 1 2 1 1 2 2222 注 该级数的严格求和方法可参见注 该级数的严格求和方法可参见 菲赫金哥茨菲赫金哥茨 微积分微积分 学教程学教程 第第 2 2 卷第卷第 2 2 分册分册 395395 欧拉调和级数化积公式 欧拉调和级数化积公式 设实数设实数 s 1s 1 则则 p s n s p n 1 1 11 1 14 等式右边对全体素数求无穷乘积 等式右边对全体素数求无穷乘积 虽然严格地证明上面的欧拉公式需要一点级数收敛的判别技巧 虽然严格地证明上面的欧拉公式需要一点级数收敛的判别技巧 但是从直观的层面考察 不难推测欧拉发现这一复杂等式的实际途但是从直观的层面考察 不难推测欧拉发现这一复杂等式的实际途 径 严格复杂的逻辑证明并不能代表数学发现的实际可能性 我们径 严格复杂的逻辑证明并不能代表数学发现的实际可能性 我们 对于发现的实际途径更感兴趣 而把严格的逻辑推导留到后面 对于发现的实际途径更感兴趣 而把严格的逻辑推导留到后面 观察下面的形式算术 观察下面的形式算术 654321 551 331 221 222 我们只能把上面的等式看成纯粹的我们只能把上面的等式看成纯粹的 形式符号形式符号 演算而不注重演算而不注重 等式的实际含义 因为实际上上面等式两端都是不收敛的级数 这等式的实际含义 因为实际上上面等式两端都是不收敛的级数 这 有点象多项式的运算 有点象多项式的运算 223232 1 1 1 yxyxyxyyyxxx 但是 如果用但是 如果用代替上式中的代替上式中的 p p 那么等式两端都收敛 这时 那么等式两端都收敛 这时s p 1 形式符号形式符号 的等式就变为真正的等式 的等式就变为真正的等式 p s ss n s p ppn 1 1 1 11 1 1 2 1 欧拉调和级数公式的最重要特点是 把按照自然数的欧拉调和级数公式的最重要特点是 把按照自然数的 自然顺自然顺 序序 排列的调和级数与按照从小到大所排列的素数的无穷乘积联系排列的调和级数与按照从小到大所排列的素数的无穷乘积联系 在一起 而数学家所关心的正是难以寻求规律的在一起 而数学家所关心的正是难以寻求规律的 素数分布素数分布 问题 问题 18591859 年数学家黎曼 年数学家黎曼 GeorgGeorg F RiemannF Riemann 18261826 18661866 在一篇 在一篇 8 8 15 页的数论论文页的数论论文 比给定数小的素数的个数比给定数小的素数的个数 中首先将上面欧拉公式中首先将上面欧拉公式 左边的调和函数左边的调和函数 s s 作解析开拓 定义到整个复平面上 黎曼证 作解析开拓 定义到整个复平面上 黎曼证 明解析函数明解析函数 s s 的虚零点 的虚零点 s a bis a bi 的实部的实部 0 a 10 ab ca b c 则 则 1 1 b c ab c a 三角形两边之和大于第三边 三角形两边之和大于第三边 2 2 存在实数 存在实数 s 1s 1 使使 sss cba 3 3 ABCABC 是锐 直 钝角三角形当且仅当是锐 直 钝角三角形当且仅当 s 2s 2 s 2s 2 s 2s 2 分 分 别 别 证明证明 2 2 因为 因为 b ab a c a 1c as 时时 ss a c a b sf 1 0 1 f 2log 2log c a b a 1 21s 1 使使 ss a c a b 0 sf sss cba 3 3 若 若 s 2s 2 则 则 2222 acba s 222sss cbcba 0 222222 ssss cacbab 故故 于是 于是 cosA 0 cosA 0 A A 是锐角 但是锐角 但 A A 是是 ABCABC 的最大角 的最大角 0 222 acb 因此因此 ABCABC 是锐角三角形 同样地若是锐角三角形 同样地若 s 2s 2 则 则 ABCABC 是钝角三角形 而是钝角三角形 而 s 2s 2 时当然时当然 ABCABC 是直角三角形 是直角三角形 被误解的被误解的 发现法教学发现法教学 一些中学教材认为下面的 一些中学教材认为下面的 数小数小 方格方法方格方法 能够启发学生自主发现勾股定理 我们认为这是一种对能够启发学生自主发现勾股定理 我们认为这是一种对 发现法教学发现法教学 的误解 的误解 数小方格方法数小方格方法 最多只能够在已经知道勾最多只能够在已经知道勾 股定理股定理之后的一种验证 之后的一种验证 28 数小方格法数小方格法 赵爽弦图赵爽弦图 产生这种误解的原因可能是把产生这种误解的原因可能是把 小方格图小方格图 等同于下面的等同于下面的 赵赵 爽弦图爽弦图 但是 但是 赵爽弦图赵爽弦图 的要害不是在于的要害不是在于 数小方格数小方格 而是在而是在 于将两个正方形于将两个正方形 剖分 重拼剖分 重拼 为一个正方形 为一个正方形 但是也许这种误解还有更加深层的原因 据李继闵著但是也许这种误解还有更加深层的原因 据李继闵著 九章算九章算 术校正术校正 载 清朝学者戴震在载 清朝学者戴震在 四库全书四库全书 本中为了解释李淳风本中为了解释李淳风 九章注九章注 的一段话而引入的一段话而引入 勾股弦互求图勾股弦互求图 勾股弦互求图勾股弦互求图 确实就是上面的小方格图形 确实就是上面的小方格图形 参见李继闵著 参见李继闵著 九章算术校正九章算术校正 第第 482 483482 483 页 其详文如下 页 其详文如下 刘徽与刘徽与 九章算术九章算术 29 九章九章 勾股勾股 术曰 又股自乘 以减弦自乘 其余开方除之 术曰 又股自乘 以减弦自乘 其余开方除之 即勾 李淳风按 此术以勾股幂合成弦幂 勾股方于内 则勾短于即勾 李淳风按 此术以勾股幂合成弦幂 勾股方于内 则勾短于 股 股 勾股方于内 则勾短于股勾股方于内 则勾短于股 此十字难以理解和解释 戴震为 此十字难以理解和解释 戴震为 了解释此句而引入了了解释此句而引入了 勾股弦互求图勾股弦互求图 但后继的研究者并不认同戴 但后继的研究者并不认同戴 震的解释 白尚恕注本注云 震的解释 白尚恕注本注云 李注李注 勾股方于内 则勾短于股勾股方于内 则勾短于股 一语 于意欠通 无法注释一语 于意欠通 无法注释 又云 又云 由戴震图来看 也难以理解李由戴震图来看 也难以理解李 之注文 若删去这九字 则前后文词更为连贯 因而疑为衍文之注文 若删去这九字 则前后文词更为连贯 因而疑为衍文 李继闵按 李继闵按 戴震所补戴震所补 勾股弦互求图勾股弦互求图 舛失刘徽原意 古算舛失刘徽原意 古算 勾股弦互求乃基于弦图 今参照传本勾股弦互求乃基于弦图 今参照传本 周髀周髀 赵爽弦图复原于后赵爽弦图复原于后 李继闵采用复原赵爽弦图的途径设计出了一组图形用以解释李继闵采用复原赵爽弦图的途径设计出了一组图形用以解释 勾股勾股 方于内 则勾短于股方于内 则勾短于股 一语 一语 可见后人基本上都对戴震可见后人基本上都对戴震 勾股弦互求图勾股弦互求图 持否定态度 由于持否定态度 由于 现行中学几何教材中的现行中学几何教材中的 数小方格图数小方格图 与戴震与戴震 勾股弦互求图勾股弦互求图 十十 分相像 是否后者影响了前者 也难以论定 但因为已有的学术文分相像 是否后者影响了前者 也难以论定 但因为已有的学术文 献中对于戴震献中对于戴震 勾股弦互求图勾股弦互求图 有基本的定论 此定论也不失教学有基本的定论 此定论也不失教学 的参考价值 的参考价值 30 戴震戴震 勾股弦互求图勾股弦互求图 现在我们能够阅读到的现在我们能够阅读到的 九章算术九章算术 是清乾隆朝著名学者戴震是清乾隆朝著名学者戴震 17241724 17771777 在编篡 在编篡 四库全书四库全书 而于而于 永乐大典永乐大典 之中辑出 之中辑出 戴震除编辑校订历史遗留下的经典著作 实际也有自己的数学著作 戴震除编辑校订历史遗留下的经典著作 实际也有自己的数学著作 他著有他著有 策算策算 一卷 一卷 勾股割圆记勾股割圆记 三篇 参见李俨三篇 参见李俨 中国算学史中国算学史 但著名数学史家钱宝琮对于戴震校订考证但著名数学史家钱宝琮对于戴震校订考证 九章算术九章算术 的工作持的工作持 批评态度 钱宝琮评论 批评态度 钱宝琮评论 戴震校正的文字 颠扑不破的果然不少 戴震校正的文字 颠扑不破的果然不少 但也有些地方 他师新自用 把原本不错的文字改掉 后来的读者但也有些地方 他师新自用 把原本不错的文字改掉 后来的读者 很容易被他蒙蔽而引起误会很容易被他蒙蔽而引起误会 我们难以完全断定现行中学数学教材中关于勾股定理的我们难以完全断定现行中学数学教材中关于勾股定理的 数小数小 方格法方格法 一定是受到戴震一定是受到戴震 勾股弦互求图勾股弦互求图 的影响 但是戴震的的影响 但是戴震的 勾股弦互求图勾股弦互求图 确实可能曲解了刘徽注释确实可能曲解了刘徽注释 九章算术九章算术 的原意 的原意 勾股定理教学中的勾股定理教学中的 数小方格法数小方格法 也难以起到启发学生观察 发现也难以起到启发学生观察 发现 勾股定理的作用 勾股定理的作用 下面我们来考察下面我们来考察 勾股定理勾股定理 发现的可能途径 几何学最初发现的可能途径 几何学最初 来源于土地测量 土地测量的一个最直接的问题是 如何计量不规来源于土地测量 土地测量的一个最直接的问题是 如何计量不规 则的土地的面积 则的土地的面积 出入相补法出入相补法 是一个直观而且有效的方法 是一个直观而且有效的方法 31 面积出入相补法面积出入相补法 我们可以设想 在人数众多的土地测量者之中存在某个乐意突我们可以设想 在人数众多的土地测量者之中存在某个乐意突 发奇想的人 真正的数学家 发奇想的人 真正的数学家 提出下面问题 既然不规则图形可以 提出下面问题 既然不规则图形可以 划分划分 拼补拼补 为一个规则图形 那么两个正方形是否可以为一个规则图形 那么两个正方形是否可以 剖分剖分 重拼重拼 为一个正方形呢 这样的发问看起来游戏性很强 它偏离实为一个正方形呢 这样的发问看起来游戏性很强 它偏离实 用性 注重思辩性 但是这样的问题可能产生真正的创新 解决此用性 注重思辩性 但是这样的问题可能产生真正的创新 解决此 类问题并不一定比提出问题更加困难 事实上下面的几何方法能够类问题并不一定比提出问题更加困难 事实上下面的几何方法能够 顺利地将两个正方形顺利地将两个正方形 剖分剖分 重拼重拼 为一个正方形 为一个正方形 正方形正方形 剖分剖分 重拼重拼 补充完整之后的图形补充完整之后的图形 上面左图是将两个正方形上面左图是将两个正方形 剖分剖分 重拼重拼 为一个正方形的几何操为一个正方形的几何操 作 而右图是将左边图形上方左右两边的直角三角形补充完整而得作 而右图是将左边图形上方左右两边的直角三角形补充完整而得 到的形状更为优美的几何图形 左右两个图形的主要区别是 左边到的形状更为优美的几何图形 左右两个图形的主要区别是 左边 图形更加直接地反映出两个正方形的图形更加直接地反映出两个正方形的 剖分剖分 重拼重拼 过程 而右边图过程 而右边图 形三个正方形的不同边恰好是一个直角三角形的三条边 如果将直形三个正方形的不同边恰好是一个直角三角形的三条边 如果将直 角三角形的三条边按照大小顺序分别称为勾股弦 三边上的正方形角三角形的三条边按照大小顺序分别称为勾股弦 三边上的正方形 1 1 2 21 1 2 2 32 以不同颜色标出 分别称为以不同颜色标出 分别称为 朱方朱方 青方青方 与与 弦方弦方 这样得赵 这样得赵 爽弦图 赵爽弦图显示 勾上正方形加股上正方形之和为弦上正方爽弦图 赵爽弦图显示 勾上正方形加股上正方形之和为弦上正方 形 形 九章算术九章算术 勾股勾股 曰 勾股各自乘 并而开方除之 即弦 曰 勾股各自乘 并而开方除之 即弦 于是有于是有 勾股定理勾股定理 勾股定理如何演变为勾股定理如何演变为 HilbertHilbert 面积剖分定理 面积剖分定理 问题解答 问题解答 赵爽弦图赵爽弦图 显示了以几何操作将两个正方形合并显示了以几何操作将两个正方形合并 为一个正方形的为一个正方形的 剖分剖分 重拼重拼 方法 一个与之密切相关的问题是 方法 一个与之密切相关的问题是 如何将一个长方形如何将一个长方形 剖分剖分 重拼重拼 为一个正方形 下面的几何操作能为一个正方形 下面的几何操作能 够解决这一问题 够解决这一问题 作图法 以长方形长加宽为直径作圆 得半弦作图法 以长方形长加宽为直径作圆 得半弦 BCBC 则 则 BCBC2 2 长长 方形面积 取方形面积 取 ADAD BEBE BCBC 且且 BEBE AD AD 于是 于是 ABDABD 面积面积 长方形面长方形面 积积 2 2 现在平行移动直角三角形 现在平行移动直角三角形 S S1 1到到 S S1 1 S S2 2到到 S S2 2 得得 AEBFAEBF 则 则 A