人教B版选修22 1.3.2 利用导数研究函数极值 课件（21张）.ppt

1 3 2利用导数研究函数的极值 复习 如果在某个区间内恒有 则为常数 单调性的判断方法有哪些 单调性与导数有何关系 f x 0 f x 0 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则f x 在此区间为增函数 如果f x 0 则f x 在此区间为减函数 如果f x 0 则f x 在此区间为常数函数 2 求函数单调性的一般步骤 求函数的定义域 求函数的导数f x f x 0得f x 的单调递增区间 f x 0得f x 的单调递减区间 定义域为r时可省 函数y f x 在点x1 x2 x3 x4处的函数值f x1 f x2 f x3 f x4 与它们左右近旁各点处的函数值 相比有什么特点 观察图像 一 函数的极值定义 如果对x0附近的所有点x 都有f x f x0 称函数f x 在点x0处取极大值 记作y极大值 f x0 把x0称为函数f x 的一个极大值点 函数y f x 设x0是定义域 a b 内任一点 如果对x0附近的所有点x 都有f x f x0 称函数f x 在点x0处取极小值 记作y极小值 f x0 把x0称为函数f x 的一个极小植点 函数的极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点 一 函数的极值定义 探究1 图中有哪些极值点和最值点 2 函数极值点可以有多个吗 极大值一定比极小值大么 3 最值和极值有什么联系和区别 4 端点可能是极值点吗 总结 1 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的 在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值 而最值是对整体而言 2 极大值不一定比极小值大 3 极值点不一定是最值点 观察与思考 极值与导数有何关系 在极值点处 曲线如果有切线 则切线是水平的 f x1 0 f x2 0 f x3 0 f b 0 结论 设x x0是y f x 的极值点 且f x 在x x0是可导的 则必有f x0 0 f x 0 x1 f x 0 f x 0 f x 0 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧f x 0 则f x0 是极小值 已知函数f x 在点x0处是连续的 且f x0 0则 二 判断函数极值的方法 x2 当x变化时 y y的变化情况如下表 因此 当x 2时 y极大值 28 3 当x 2时 y极小值 4 3 2 2 2 2 极大值28 3 极小值 4 3 三 求可导函数f x 极值的步骤 2 求导数f x 3 求方程f x 0的根 4 把定义域划分为部分区间 画表格 检查f x 在方程根左右的符号 如果左正右负 取得极大值 如果左负右正 取得极小值 1 确定函数的定义域 解 解得列表 所以 当x 3时 f x 有极大值54 当x 3时 f x 有极小值 54 练习1 求函数的极值 思考讨论 在区间 3 4 上 的最大值 可导函数y f x 在 a b 上的最值步骤如何 1 求y f x 在开区间 a b 内所有使f x 0的点 极值点 2 计算函数y f x 在极值点和端点的函数值 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 例2已知函数f x x3 ax2 bx c 当x 1时取极大值7 当x 3时取得极小值 求这个极小值及a b c的值 练习2 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值为10 求a b的值 解 3x2 2ax b 0有一个根x 1 故3 2a b 0 又f 1 10 故1 a b a2 10 由 解得或 当a 3 b 3时 此时f x 在x 1处无极值 不合题意 当a 4 b 11时 3 111时 此时x 1是极值点 从而所求的解为a 4 b 11 例3 已知函数f x x3 ax2 b 1 若函数f x 在x 0 x 4处取得极值 且极小值为 1 求a b的值 2 若 函数f x 图象上的任意一点的切线斜率为k 试讨论k 1成立的充要条件 解 1 由得x 0或x 4a 3 故4a 3 4 a 6 由于当x0时 故当x 0时 f x 达到极小值f 0 b 所以b 1 2 等价于当时 3x2 2ax 1恒成立 即g x 3x2 2ax 1 0对一切恒成立 由于g 0 1 0 故只需g 1 2 2a 0 即a 1 反之 当a 1时 g x 0对一切恒成立 所以 a 1是k 1成立的充要条件 1 可导函数的极值点概念及与导数的关系 2 求极值的方法步骤 3 极值