高中数学第二章2.3.1等比数列同步训练.docx

2.3.1 等比数列5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.给出下列命题：（1）若，则-a，b，-c成等比数列（abc0）；（2）2an+1(nN*)是等比数列；（3）若b2=ac，则a、b、c成等比数列；（4）若an+1=anq（q为常数），则an是等比数列.其中正确的命题有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析：（1）显然正确；（2）中若a=0则不正确;（3）中若a=b=c=0也不行;（4）中若q=0不行.故选B.答案：B2.从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为( )A.3 B.4 C.6 D.8解析：用列举法将符合条件的数列一一列出：1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,2,1；9,3,1；8,4,2.答案：C3.在等比数列an中,a3=，a5=，则a10=_.解析：根据等比数列的定义，灵活运用结论：am=anqm-n，可得：=q2=2,q=，a10=a5q5=，或者利用通项公式也可.答案：4.设an是正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3a30=230，那么a3a6a9a30=_.解析：因为数列an中，公比q=2，设a2a5a8a29=x，而a1a4a7a28，a2a5a8a29，a3a6a9a30成等比数列，且公比为q10=210,又a1a2a3a30=230，即x3=230，解得x=a2a5a8a29=210，所以，a3a6aa30=220.答案：22010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.在等比数列an中，公比为q，若am=xan，则x等于( )A.q B.qn-m C.qm-n D.1解析：因为：am=a1qm-1,an=a1qn-1a1qm-1=xa1qn-1，x=qm-n，可以把这个公式当作结论记住.答案：C2.已知-1,a1,a2,-4成等差数列，-1,b1,b2,b3,-4成等比数列，则等于( )A. B. C. D.或解析：-1，a1,a2，-4成等差数列，d=-1.-1,b1,b2,b3,-4成等比数列，b22=(-1)(-4)=4.b2=2.又b2=（-1）q20，b20.b2=-2.答案：C3.公比为q的等比数列an，前n项和为Sn，则在下列等式中一定正确的是( )（1）a1a2a3a6=a34 （2）a6=(q-1)S5+a1 （3）(a1+a2)(a3+a4)=(a2+a3)2A.（1）（2） B.（2）（3）C.（1）（3） D.（1）（2）（3）解析：对于（1），由等比数列的通项公式可知不正确；对于（2），由等比数列前n项和公式容易得知其正确性；对于（3），(a1+a2)(a3+a4)=a1a3+a1a4+a2a3+a2a4=a22+2a2a3+a32=(a2+a3)2，由此可知其正确性.综上所述，选B.答案：B4.在下面所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a+b+c的值为( )120.51abcA.1 B.2 C. D.4解析：根据题意填写表格，得12340.5121所以，a+b+c=+=.答案：C5.判断下列数列是否为等比数列，若是求出其公比来.（1）1,3,9,27,81, ；（2）81,27,9,3,1, ；（3）1,1,3,9,27,81, 解：根据等比数列的定义知：数列（1）与（2）都是等比数列，在求它们的公比时要注意比值的顺序；（3）不是等比数列。因为第二项与第一项的比值为1，而第三项与第二项的比值为3，不符合“同一个常数”。所以（1）中的公比为3；（2）中的公比为;（3）不是等比数列.6.已知数列x，2x+2，3x+3，为等比数列，求这个数列的通项公式.解：由已知得(2x+2)2=x(3x+3)，解这个方程得x= -1或x= -4.当x= -1时，a1=-1,a2=0,a3=0，不能构成等比数列.当x= -4时，a1=-4,a2=-6,a3=-9,q=an=-4()n-1(nN*).30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设a1，a2，a3，a4成等比数列，且公比q=2，则等于( )A. B. C. D.1解析：根据等比数列的定义：.答案：A2.在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5等于( )A.33 B.72 C.84 D.189解析：利用转化思想将等比数列问题转化为a1和q处理，也可利用等比数列的定义进行求解.解法一：设公比为q，由题知，得q=2或q=-30(舍去).解法二：由a1=3,a1+a2+a3=21得，q=2(q=-30舍去)，a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=84.答案：C3.等比数列an中，已知a9=-2，则此数列的前17项之积等于( )A.216 B.-216 C.217 D.-217解析：由等比数列的性质：序号和相等，则对应项的乘积相等。a1a17=a2a16=a92，a1a2a17=(a9)17=(-2)17=-217.答案：D4.在下面的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c的值为( )121abcA.1 B.2 C.3 D.4解析：根据题意，表格完整应该如下表：1231可得a=,b=,c=，所以a+b+c=1.答案：A5.在等比数列an中，a1=1，a10=3，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于( )A.81 B. C. D.243解析：因为数列an是等比数列，且a1=1，a10=3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9=（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）=（a1a10）4=34=81.答案：A6.在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两数是_.解析：设两数依次为a、b，a2=2b,2b=a+30.a2-a-30=0.a=6.b=18.答案：6，187.若实数a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数为_.解析：由等比中项的概念可得：b2=ac0，图象与x轴交点的个数也就是二次函数所对应的一元二次方程有几个解的问题。令y=0，得ax2+bx+c=0，其判别式=b2-4ac=-3ac0.交点个数为0.答案：08.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_.解析：设插入三个数为a、aq、aq2,aq是和的等比中项，且aq0，即(aq)2= =36aq=6.(aq)3=216，所以，插入的三个数的乘积为216.答案：2169.在公差不为0的等差数列an和等比数列bn中，a1=b1=1，a2=b2，a8=b3.（1）求数列an的公差和数列bn的公比；（2）是否存在a、b使得对于一切自然数n都有an=logabn+b成立？若存在，求出a、b；若不存在请说明理由.解：（1）设an的公差为d，bn的公比为q，由已知：a1=b1=1，a2=b2得：1+d=q，由a8=b3得：1+7d=q2，解得（舍去）或（2）若存在a、b，使得an=logabn+b成立，即1+(n-1)5=loga6n-1+b，5n-4=(n-1)loga6+b，(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.要使上式对于一切自然数n成立，必须且只需因此，存在a=,b=1使得结论成立.10.如右图，OBC的三个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn+3为线段PnPn+1的中点，令Pn的坐标为(xn,yn)，an=yn+yn+1+yn+2.（1）求a1,a2,a3及an；（2）证明:yn+4=,nN*);（3）若记bn=y4n+4-y4n,nN*，证明:bn是等比数列.解：（1）因为y1=y2=y4=1,y3=,y5=，所以a1=a2=a3=2，又由题意可知yn+3=.an+1=yn+