【毕业学位论文】（Word原稿）利用MATLAB语言进行光学衍射现象的仿真

利用 第 1 页 共 12 页 利用 衍射现象的仿真 储林华 （ 安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011） 指导教师：张杰 摘要 ： 光的衍射是光的波动性的一种重要表现，因此对光的衍射现象的研究，不仅具有重要的理论意义，而且在光学仪器研制和成像分析等诸多实际应用方面均有重要价值，但是其衍射光强的计算非常复杂，对实验条件的要求非常高，通常情况下很难得到满意的效果，严重影响了光学的教学。本文从衍射的相关理论知识出发，首先介绍了惠更斯 后重点 讨论了单色光经各种对称光学衍射元件（单缝，双缝，光栅，圆孔）的夫琅和费衍射情况，并分别给出了它们在焦平面上的衍射光强计算公式，最后利用科学计算软件 得到的图样细致逼真，使整个物理过程变得直观形象，且与实验所得到的衍射图样进行了比较，两者吻合得很好，从而为光学的理论分析和实验教学提供了一种新的途径。 关键词 ： 光的衍射，光栅衍射，圆孔衍射， 算机仿真 0 引言 光的衍射现象是光具有波动性的重要特征，因此对衍射现象的研究无论在理论上还是在实践中都有很重要的 意义。对光的衍射现象的研究，始于 17 世纪，当时著名的荷兰科学家惠更斯提出了光是一种波的假说，并根据波动理论提出了光的传播理论 即惠更斯原理 1，根据这一原理，他解释了光的反射定律和折射定律，给出了折射率的意义，光在两种介质中的速度比。到了 19世纪，法国年轻的科学家菲涅耳，根据叠加原理把惠更斯原理进一步具体化，给出了光在传播过程中光强学计算公式，这就是著名的惠更斯 2。但由于在实际应用过程中，障碍物形状的不规则性，导致光强的计算公式几乎无解析解，只能进行一些数值计算。 针对衍射计算中出现的困 难，近代的研究人员想到运用科学的计算软件 用其较强的绘图和图象功能，编写计算程序，使得多种衍射元件（单缝，双缝，光栅，矩孔，圆孔）下的衍射现象得以在计算机中形象地被模拟仿真。这种做法，条件限制较少，对于衍射的实验教学是一种的补充，起到了很不错的效果；但值得指出的是，许多前人撰写的论文，总是在系统化，可视化，条理化方面不够理想，本文将在他们工作的基础上，将此课题进一步做得完美。 1惠更斯 菲涅耳原理 早在十七世纪后期，荷兰科学家惠更斯就提出了光是一种波动的假说，并阐述了关于波面传播的一种理论 ，既惠更斯原理。该原理认为，传播中的波面上任何一点都可以认为是一个新的次波源，由于这些次波源发出的次波是球面波，这些次波的公共包络面就是下一时刻的波面，根据这一原理，他解释了光的反射定律和折射定律，并给出了折射率的意义，光在两种介质中的速度比。 利用 第 2 页 共 12 页 菲涅耳根据叠加原理把惠更斯原理进一步具体化了，他假设各次波是球面波，但这些球面只是等相面而不是等幅面，球面上各点振幅与传播方向有关，这就避免了次波的后向的传播；同时，他认为，下一时刻空间任一点的振动由各次波到达该点的振动叠加所决定，此定理称为惠更斯 菲涅耳定理。如右图（ 1）所示。菲涅耳假设： 点贡献 dU(p)正比于 Q 点附近一个小面元的面积 正比于 Q 点的复振幅 U(Q)，正比于 r (假定次波是球面波 )，以及正比于一个与传播方向有关的函数 f()(是 点的传播方向上的夹角 )，即 ： ( ) ( )() j k f ed u p c d 其中 C 是一个与 r， Q， 无关的比例系数， f( )叫倾斜因子，它随 增加而缓慢减少于是，按照叠加原理，有： ( ) ( )( ) ( ) j k fu p d u p c e d （ 1） 这就是惠更斯 菲涅耳原理的数学表达式，积分表示整个波面 S 上各点所发的次波传播到 P 点的作用的叠加 。 从上面的表述，我们可以看到菲涅耳的思想比惠更斯有了更大的进步，他着眼于下一时刻空间各点的振动情况，而惠更斯只着眼于下一时刻波面的形状与位置，因此惠更斯只能定性地描述光的传播方向，而菲涅耳却能定量地描述衍射后的光强分布。 2. 夫朗禾费衍射现象研究 光的衍射现象根据光源到衍射屏以及观察屏的距离远近，可以分为近场衍射和远场衍射。如果光源到衍射屏以及观察屏的距离为有限值，则称为近场衍射（菲涅耳衍射）；如果光源到衍射屏以及观察屏的距离为无穷远，则称远场衍射，由于这种衍射最先由夫朗禾费在探索天体成像时作了系统的研究，故亦称为夫朗禾费衍射。一般情况下，利用（ 1）式进行光强计算时，菲涅耳衍射情况比较复杂，而夫朗禾费衍射情况比较简单 ,本文仅讨论后者 。 孔的夫朗禾费衍射 在 面上，有一以 O 为圆心、 图 2所示。 现用一束平行于 Z 轴的光线照射 ,经圆孔衍射后到达焦平面上，于是按照（ 1）式， ( ) ( )() Qj k fu p c e d 圆 孔200( ) ( ) QR j k fc e d 图 1 波面上各点复振幅的传播 图 2 圆孔衍射示意图 (a) (b) 利用 第 3 页 共 12 页 设从圆心 点的距离为 从圆孔中任一点 点的距离 00s i n c o s s i r o o r 于是 ,由于程差0 比0与波长 可以比拟，因此，可以把振幅中的 ： 02 ()00() QR j k r ru p c e d d （ 2） 其中：00( ) ( ) jk fc c 为常数，将 2）式中得： 2 c o s s i n 21002 ( )() R xu p c e d d c 其中：12 s ，由此，可知 22 2 2 4 12 ( )( ) ( ) p u p c （ 3） 根据 (3)式可以画出焦平面的光强分布图样，如下图 (3)所示： (a) (b) 图 3 圆孔衍射图样 其中，图（ b）是 夫 朗 禾 费 衍 射 图样的照片。显然，这是一个圆对称图形，中心为主极大，在 0 0 0 ,x I I R ， ，其他各点的光强可通过 R 来表示，由图 (2)可知： s i 当 ： 00 . 6 1 1 . 2 2 , 0 ,fR x I 时 ，为第一暗环； 利用 第 4 页 共 12 页 0 . 8 1 8 0 . 0 1 7 5 , 0时 ， x = 1 . 6 3 5 , I 01 . 1 1 6 2 . 2 3 3 , 0 ,fR x I 时 ，为第二暗环； 01 . 6 1 9 3 . 2 3 8 , 0fR x I 时 ， 为第三暗环。 这就是夫朗禾费圆孔衍射的光强分布，它的中心永远是亮的，并且在中心亮斑处的光能占总光能的约 84%，中心亮斑的半径也是确定的，为 或角半径为 。 缝的夫朗禾费衍射 图 4 单缝夫朗禾费衍射示意图 设波长为 的平面波射向缝宽 AB=射经透镜 上，取 )所示，根据惠 菲原理，在焦平面上任一点 ( ) ( )() j k fu p c e d 狭 缝把狭缝细分为垂直于 X 轴的许多小面元，面积为 L 是缝的长度，由于是平面波入射，故 U（ Q）为常数，在角度不大的情况下，0( ) 1 , s i nf r r x ，由于0，故在振幅中的 有相位因子中的0 s i nr r x 不可略去，故： 0 2 s i ( ) ( ) bj k r j k p c L u Q e d 把积分求出，得： s i n s i n 22 2( ) ( ) s i n ( s i n )s i n s i n 2k j k p e e k 令： s i n s i 则： s i n()u p c b 2 2 2 2 2 20( ) ( ) s i n s i nI u p u p c b I (4) 其中，0 时的光强，即：衍射斑中心点的光强， 的物理意义是狭缝的边缘与中心的光利用 第 5 页 共 12 页 线在 P 点产生的相位差，以 或 作横坐标，以0 (4)式作图可得夫朗禾费单缝衍射的光强分布，如下图所示： （ a）单缝衍射的光强分布 - 2 0 - 1 5 - 1 0 5 10 15 2000 . 20 . 40 . 60 . 81(b)单缝衍射图样 图 5 单缝衍射光强分布及图样 计算表明，在 之间的主极大集中了 90%的能量，主极大的半角宽为 s in b ，把狭缝改为矩孔，即在 x， 光强表达式为： 2 2 2 20 s i n s i 其中， 是在 对应的量，矩孔衍射图样如图 (6)所示 ， 利用 第 6 页 共 12 页 图 6 矩孔衍射图样 双缝的夫朗禾费衍射 以上考虑的是一个缝的衍射，如果有两个相邻的缝，由于衍射，通过两个缝的光在观察屏上会相遇。试验结果告诉我们，在两条缝的衍射光相互交叠的区域，不是简单的呈现光强的叠加，而是出现了由光强重新分布而产生的明暗相间的条纹， 称为光的干涉。 显然，光的干涉与光的衍射一样，都是波的叠加原理所必然导致的结果。 现在，我们仍然用惠 菲原理来分析两条缝所产生的夫朗禾费衍射的结果，如图 (7)所示： 图 7 双缝衍射示意图 如图 (7)，衍射屏上 A， B 处各有一条宽为 b 的缝，缝间距为 d， 由于透镜的作用，这两条缝的衍射光在焦平面 它们的相位分布不同，把坐标原点分别放在 A 与 ，由式： 2 s i b jk p c e d x 可得： 2 ( ) s i n22() Ab dj k p c e d x 2 ( ) s i n 22() Bb dj k p c e d x 令： 为单缝中心与双缝中心的光在 ： 利用 第 7 页 共 12 页 2 s i ) ( ) ( ) ( )b j k x j r j p u p u P C e d x e e = s i n ( )jr b e e 于是，总光强为： 220( ) ( ) s i n ( ) ( )j r j r j r j rI u p u p I e e e e = 2 2 204 s i n c o （ 5） 这就是夫朗禾费双缝衍射的光强分布的表达式，设 d=5b， 即： r=5 ，将式 (5)作图，可得下图所示的光强分布图样： - 2 0 - 1 5 - 1 0 5 10 15 2001234图 8 双缝衍射光强分布图样 显然，这是由 22 与 24r 相乘而得的图样，在有双缝时，原来的单缝衍射图形不是平均地增加到原来的两倍，而是在 时，增加到原来的四倍，在 s i n ( 2 1 ) / 2 处，降为零。 多缝夫朗禾费衍射 上面关于双缝衍射的讨论，可以进一步推广到更多的缝，如图 (9)，有 N 条等间距的缝，缝宽均为d， 则相邻缝的对应程差为 ，相位差为： 2 s d ，由 (4)式知： 20 0 0( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) (1 )j r j r j r j r ju p u p e e u p e e u p e 利用 第 8 页 共 12 页 图 9 多缝夫朗禾费衍射示意图 如果把坐标原点放在第一个缝的中心，则0()p ()0 ()p e 则是另一个缝的衍射振幅，根据这个思想，立即可以把上式推广到多缝： 12( ) ( ) ( ) ( ) u p u p u p = 2 ( 1 )1 ( ) (1 )j j N ju p e e e =11()1 e 于是，光强分布为： 11(1 ) (1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1 ) (1 )j N j N u p u p u p u = 2 2 2 20 s i n s i n ( / 2 ) s i n ( / 2 ) （ 6） 设 d=5b， N=4， 按 (5)式画出光强分布如下图所示： 图 10 多缝衍射光强分布图 进而若 N=100，则可得到的衍射图样为： 利用 第 9 页 共 12 页 - 2 0 - 1 5 - 1 0 5 10 15 200200040006000800010000图 11 光栅衍射图样 分析：多缝衍射与双缝衍射都是单缝衍射的结果。它们的区别在于多缝是干涉的结果，使极大值变细，峰值变高；而在两个极大值之间出现 (N 1)个光强为零的 值和 (N 2)个次峰。当 主极大变得十分尖锐，可以用来计量和分光，这种 N 很大的能产生多缝衍射的光学元件称为光栅， 3 利用 这里使用的软件 它是一个功能十 分强大的应用软件，可以在很多学科中得到应用，它集数值计算，符号计算，数据可视化，系统动态仿真于一体，与其他计算机语言相比它更加灵活，更加接近科技人员的思维方式，因而编程效率更高。 真方法 下面我们应用 真模拟光的夫朗禾费衍射（各种衍射屏）图样和强度分布曲线。仿真模拟首先是根据光的衍射光强分布的理论公式 I(x， y)及实验参数建立光强数据矩阵 B(x， y)，然后运用 用 圆孔衍 射的程序 % 圆孔衍射 % r,f,r= f=600; 00; x= 0; y=0; x1,x,y); 2+2)./f); 利用 第 10 页 共 12 页 x=1000000*(2*pi*r/*0)* I=(2*,x)./x). 2; ,1,1); x1,); 0 0 0 1) 2,1,2); I*255) 圆孔衍射图样照片见图 3（ b）所示。 光栅衍射程序 % 光栅衍射 % b， d， f， N) b=d=f=600; 00; N=1/2/100; x=0; x./f); 000000*(pi*b/*0)* (d/b); I=().2).*(.*(.2); ,1,1); x,I); , 1 ,2); 0) *255); 行后得到 的图样分别见图 5（ b），图 8，图 11 所示。 矩孔衍射的程序 % 矩孔衍射 % a,b,f,a=b=f=600; 00; x= 0; y= 0; X,Y=x,y); X./f); ./f); 000000*(pi*b/*0)* 000000*(p