2020届哈尔滨市第三中学高三上学期期末数学（文）试题（解析版）

2020届黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学校高三上学期期末数学（文）)试题一、单选题1设集合，集合则（ ）ABCD【答案】B【解析】化简集合，按交集定义即可求解.【详解】，解得或，或，.故选:B【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查交集的运算，属于基础题.2设为虚数单位，复数，则复数在复平面上对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】求出的值，即可求解.【详解】，在复平面对应的点在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数的乘法运算，以及复数的几何意义，属于基础题.3设函数，则满足的x的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.4已知椭圆,则与椭圆相交且以点为弦中点的直线所在方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】用点差法，求出相交弦的斜率，即可求解.【详解】设以点为弦中点的直线与椭圆交于，依题意所求直线的斜率存在，代入椭圆方程得，两式相减得，即所求直线的斜率为，所求的直线方程为.故选:D【点睛】本题考查直线与椭圆的相交关系，涉及相交弦的中点用点差法求直线的斜率，属于中档题.5“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅癸酉、甲戌、乙亥、丙子癸未、甲申、乙酉、丙戌癸巳癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录.按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为（ ）A甲巳年B壬辰年C癸巳年D辛卯年【答案】C【解析】到2013年中华人民共和国成立65年，根据60年为一周期，即可得出结论.【详解】到2013年中华人民共和国成立65年，1949年为己丑年，根据60年为一周期，2013年为癸巳年.故选:C【点睛】本题考查周期数在生活中应用，属于基础题.6设是两条不同的直线，是三个不同的平面（ ）则；，则；，则；若,则.上述四个命题中,正确的个数为A1B2C3D4【答案】A【解析】逐个命题判断真假：假，真，假，假，即可得出结论.【详解】可能是异面直线，可能平行，故是假命题；，故为真命题；满足条件的直线，可能在平面内，故为假命题；当，只需，即可满足条件，此时，故为假命题.故选:A【点睛】本题考查空间垂直、平行的命题的真假判定，要注意相关定理成立的条件，属于基础题，7在中,点满足,则（ ）A0B3C6D9【答案】C【解析】将用向量表示，根据向量的数量积定义即可求解.【详解】，故选:C【点睛】本题考查向量的基本定理，向量的数量积的运算，属于基础题.8由直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】切点与圆心的连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解.【详解】设是直线的一点，圆心为过引圆的切线的切点为，则，的最小值为圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式可得的最小值为，的最小值为.故选:A【点睛】本题考查直线与圆的关系，考查切线性质，属于中档题.9数列的前项和为，且，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据通项公式，相邻两项和为定值，即可求解.【详解】.故选:B【点睛】本题考查用并项相加求数列的前项和，数列求和要注意通项公式的特征，属于中档题.10如图，某摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，已知摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处则（米）关于（分钟）的解析式为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，A50，b60，T3；从而可得y50sin（t+）+60；再代入初相即可.【详解】解：由题意，A50，b60，T3；故，故y50sin（t+）+60；则由50sin+6010及，得，；故y50sin（t）+60；故选：C【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，属于基础题11已知直线与抛物线相交于两点，为抛物线的焦点且满足，则的值是（ ）ABCD-2【答案】A【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，联立直线yk（x1）和抛物线y24x，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到所求值【详解】解：抛物线C：y24x的焦点F（1，0），准线方程为x1，直线yk（x1）和抛物线y24x联立，可得k2x2（2k24）x+k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x22，x1x21，由抛物线的定义可得|AF|1x1，|BF|1x2，由|AF|2|BF|，可得1x12（1x2），即x12x21，代入可得x2或1（舍去），x12，x1+x22，又，k故选：A【点睛】本题考查抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与抛物线的位置关系等知识，注意运用方程联立和韦达定理，属于中档题12已知函数的定义域为，对任意的满足.当时，不等式的解集为（ ）ABCD【答案】B【解析】构造函数g（x）f（x）+1x2，根据条件可得出g（x）0，从而得出g（x）在R上是增函数，并且可求出g（0），根据二倍角公式可根据原不等式得出g（sin+cos）0，从而得出sin+cos，根据0，即可求出的范围，即得出原不等式的解集【详解】解：设g（x）f（x）+1x2，g（x）f（x）2x，f（x）2x，g（x）0，g（x）在R上单调递增，且，g（0），由，可得，即，又，故选：B【点睛】本题考查了构造函数解决函数问题的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及二倍角的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题二、填空题13抛物线的焦点坐标为_【答案】【解析】根据题意，由抛物线的方程分析抛物线的开口方向以及p的值，进而可得其焦点坐标【详解】解：根据题意，抛物线的开口向右，其中p4，则其焦点坐标为；故答案为：【点睛】本题考查抛物线的标准方程，注意抛物线标准方程的形式14若双曲线的渐近线方程为，且焦点在轴上，则双曲线的离心率为_【答案】.【解析】根据渐近线与离心率的关系，即可求解.【详解】双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，双曲线的离心率为.故答案为:.【点睛】本题考查圆锥曲线的简单几何性质，要注意焦点的位置，属于基础题.15已知某几何体的三视图如下,则该几何体的表面积为_ 【答案】【解析】几何体为三棱锥，作出几何体的直观图，计算出各个面的面积【详解】解：几何体为三棱锥，作出直观图如图所示，由三视图可知平面PBC平面ABC，BC=2，底面ABC中，BC边上的高为2，侧面PBC中，BC边上的高为2，该几何体的表面积为，故答案为：【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，三视图和表面积计算，属于中档题16一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为_ 【答案】1【解析】设小球圆心（0，y0） 双曲线上点（x，y），求得点到球心距离r平方的表达式，进而根据若r2最小值在（0，1）时取到，则小球触及杯底，需进而求得r的范围【详解】解：设小球球心（0，y0）双曲线上点（x，y）点到球心距离平方为：r2y2+（yy0）212y22y0y+y021若r2最小值在（0，1）时取到，则小球触及杯底故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧，所以，即y02，所以r y011，从而清洁球的半径r的范围为 0r1则清洁球的最大半径为 1故答案为：1【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、双曲线的应用、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查解决实际问题的能力、化归与转化思想属于基础题三、解答题17中，角的对边分别为，且.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（1）；（2）5【解析】试题分析：（1）依题意，利用正弦定理及二倍角的正弦即可求得cosA的值；（2）易求sinA=，sinB=，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=，在ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值试题解析：( 1）由正弦定理可得，即：，.（2由（1），且，=.由正弦定理可得：，18如图，直三棱柱中，分别为、的中点（1）证明：平面；（2）若，直线与直线CD所成角为，求点B到平面的距离【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）取BC的中点为G，证明DE，再证明平面，即可证明平面；（2）直线与直线CD所成角为DAC，可知，利用等积法，可得点B到平面的距离【详解】（1）证明：取BC的中点为G，连接EG、AG，由题易知：EGDA，且EGDA，四边形ADEG为平行四边形，DE，平面ABC，平面ABC，且BC的中点为G，又，平面，又DE，平面；（2），直线与直线CD所成角为DAC，且DAC=，又，设点B到平面的距离，由 ，可得，解得，故点B到平面的距离【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离，考查逻辑推理能力与空间想象能力，考查等积法，属于中档题.19已知在正项数列中，首项，点在双曲线上，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和（1）求数列、的通项公式；（2）若，求证： 数列为递减数列【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由题意可得1，即数列是等差数列，同样Tnbn+1，利用两式作差即可得到的通项公式；（2）根据（1）求得an的通项公式和数列bn的通项公式，进而可得cn的通项公式，进而可得cn+1cn的表达式，根据表达式小于零，原式得证【详解】解：（1）由已知点An（，）在曲线y2x21上知1所以数列是一个以2为首项，公差为1的等差数列，所以+（n1）d2+n1n+1，点（bn，Tn）在直线yx+1上，所以Tnbn+1Tn1bn1+1两式相减得bnbnbn1bnbn1令n1得b1b1+1所以b1所以数列bn是以为首项，以为公比的等比数列，所以bn（）n1；（2）证明：cnanbn（n+1），所以cn+1cn（n+2）（n+1）（n+2）3（n+1）（n+23n3）（2n1）0故cn+1cn数列为递减数列【点睛】本题考查利用递推关系求通项公式，考查数列的单调性，考查等差等比数列定义，考查推理能力与运算能力，属于中档题.20已知椭圆的离心率为，点在上.（1） 求椭圆的方程；（2） 设分别是椭圆的上、下焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆的半径的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据题意得e，因为点椭圆C上，所以，又b2a2c2，把组成方程组，解得a，b，c，进而可以写出椭圆方程；（2）因为，所以，所以4arc|，所以r|，设直线l方程为ykx，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程得（k2+4）x22 kx10，由韦达定理得出|的最大值，即可求出答案【详解】解：（1）根据题意得e，因为点在椭圆C上，所以，又b2a2c2，把组成方程组，解得a24，b21，c23所以椭圆方程为（2）设直线l方程为ykx， A（x1，y1），B（x2，y2），因为，所以，所以4arc|，所以r|，联立直线l与椭圆的方程得（k2+4）x22 kx10，所以，所以|，444，由基本不等式得（k2+1）26（当且仅当，即k22，取“”），所以|，rmax【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题21已知函数（1）若对恒成立，求的取值集合；（2）在函数的图像上取定点,记直线AB的斜率为K，证明：存在，使恒成立；【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）对一切