高优指导高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 导数的综合应用课件 文 北师大版.ppt

3 3导数的综合应用 2 考纲要求 1 会用导数解决实际问题 2 会利用导数研究函数的零点 方程的根及不等式证明类问题 3 考点1 考点2 考点3 知识方法 考点1利用导数证明不等式例1已知函数f x ax ex a 0 1 若a 求函数f x 的单调区间 2 当1 a 1 e时 求证 f x x 1 解 当 令f x 0 得x ln2 当x0 当x ln2时 f x 0 函数f x 的递增区间为 ln2 递减区间为 ln2 4 考点1 考点2 考点3 知识方法 2 证明 方法一 令f x x f x ex a 1 x 当a 1时 f x ex 0 f x x成立 当1ln a 1 时 f x 0 f x 在 ln a 1 上递减 在 ln a 1 上递增 f x f ln a 1 eln a 1 a 1 ln a 1 a 1 1 ln a 1 10 1 ln a 1 1 ln 1 e 1 0 f x 0 即f x x成立 综上 当1 a 1 e时 有f x x 5 考点1 考点2 考点3 知识方法 方法二 令g a x f x xa x ex 只要证明g a 0在1 a 1 e时恒成立即可 g 1 x x ex ex 0 g 1 e x 1 e x ex ex ex 设h x ex ex 则h x ex e 当x1时 h x 0 h x 在 1 上递减 在 1 上递增 h x h 1 e1 e 1 0 即g 1 e 0 由 知 g a 0在1 a 1 e时恒成立 当1 a 1 e时 有f x x 6 考点1 考点2 考点3 知识方法 思考 利用导数证明不等式的常用方法有哪些 解题心得 证明不等式的常用方法 1 若证明f x g x x a b 可以构造函数f x f x g x 如果f x 0 则f x 在 a b 上是减函数 同时若f a 0 则有f x 0 即证明了f x g x 2 若证明f x 0 可变形为f x f x g x 0 即f x g x 只需证f x max g x min 3 若证明f x 0 可以利用导数判断出f x 的单调性 再利用零点存在性定理找到函数f x 在什么地方可以等于零 从而证明f x 0 7 考点1 考点2 考点3 知识方法 对点训练1设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1 且x 0时 ex x2 2ax 1 1 解 由f x ex 2x 2a x r知f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的递减区间是 ln2 递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 8 考点1 考点2 考点3 知识方法 2 证明 设g x ex x2 2ax 1 x r 于是g x ex 2x 2a x r 由 1 知当a ln2 1时 g x 的最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x r 都有g x 0 所以g x 在r内递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 9 考点1 考点2 考点3 知识方法 考点2利用导数解决不等式恒成立问题例2已知函数f x x3 3x2 bx c在x 1处的切线是y 3a 3 x 3a 4 1 试用a表示b和c 2 若函数在 1 3 上恒成立 求实数a的取值范围 解 1 因为f x 3x2 6x b 所以f 1 3 b 3a 3 f 1 b c 2 1 即有b 3a c 3a 3 10 考点1 考点2 考点3 知识方法 11 考点1 考点2 考点3 知识方法 12 考点1 考点2 考点3 知识方法 解题心得 利用导数研究不等式恒成立问题 首先要构造函数 利用导数研究函数的单调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 也可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 思考 利用导数解决不等式恒成立问题的基本思路是什么 13 考点1 考点2 考点3 知识方法 14 考点1 考点2 考点3 知识方法 15 考点1 考点2 考点3 知识方法 16 考点1 考点2 考点3 知识方法 17 考点1 考点2 考点3 知识方法 考点3利用导数求与函数零点有关的参数范围例3已知函数f x x2 xsinx cosx 1 若曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 求a与b的值 2 若曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 求b的取值范围 解 由f x x2 xsinx cosx 得f x x 2 cosx 1 因为曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 所以f a a 2 cosa 0 b f a 解得a 0 b f 0 1 18 考点1 考点2 考点3 知识方法 2 令f x 0 得x 0 f x 与f x 的情况如下 所以函数f x 在区间 0 上递减 在区间 0 上递增 f 0 1是f x 的最小值 当b 1时 曲线y f x 与直线y b最多只有一个交点 当b 1时 f 2b f 2b 4b2 2b 1 4b 2b 1 b f 0 11时 曲线y f x 与直线y b有且仅有两个不同交点 综上可知 如果曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 那么b的取值范围是 1 19 考点1 考点2 考点3 知识方法 思考 如何利用导数求与函数零点有关的参数范围 解题心得 与函数零点有关的参数范围问题 往往利用导数研究函数的单调区间和极值点 并结合特殊点 从而判断函数的大致图像 讨论其图像与x轴的位置关系 或者转化为两个熟悉函数交点问题 进而确定参数的取值范围 20 考点1 考点2 考点3 知识方法 对点训练3已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0 且x0 0 求a的取值范围 21 考点1 考点2 考点3 知识方法 对点训练3设函数f x 1 x 2 2ln 1 x 1 求函数f x 的单调区间 2 若关于x的方程f x x2 x a在 0 2 上恰有两个相异实根 求实数a的取值范围 22 考点1 考点2 考点3 知识方法 23 考点1 考点2 考点3 知识方法 24 考点1 考点2 考点3 知识方法 25 考点1 考点2 考点3 知识方法 1 利用导数证明不等式 就是利用不等式与函数之间的联系 结合不等式的结构特征 直接或等价变形后构造相应的函数 将不等式的部分或者全部投射到函数上 通过导数运算判断出函数的单调性 利用单调性证明 或利用导数运算