高考数学 第二节 参数方程课件 理 新人教A版选修44.ppt

第二节参数方程 1 参数方程的概念一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值 由这个方程组所确定的点m x y 都在这条曲线上 那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程f x y 0叫做普通方程 2 直线 圆锥曲线的普通方程和参数方程 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 曲线的参数方程中的参数都有实际意义 2 参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的 3 圆的参数方程中的参数 与椭圆的参数方程中的参数 的几何意义相同 4 普通方程化为参数方程 参数方程的形式不惟一 解析 1 错误 曲线的参数方程中的参数 可以具有物理意义 可以具有几何意义 也可以没有明显的实际意义 2 错误 把普通方程化为参数方程后 很容易改变变量的取值范围 从而使得两种方程所表示的曲线不一致 3 错误 圆的参数方程中的参数 表示半径的旋转角 而椭圆的参数方程中的参数 表示对应的大圆或小圆半径的旋转角 即离心角 4 正确 用参数方程解决转迹问题 若选用的参数不同 那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同 答案 1 2 3 4 考向1直线的参数方程与应用 典例1 直线 t为参数 的倾斜角为 思路点拨 将直线的参数方程化为普通方程 利用直线的斜率求倾斜角 也可以将直线的参数方程化为标准形式再确定倾斜角 规范解答 方法一 直线 t为参数 的普通方程为斜率即又 0 故直线的倾斜角为方法二 直线 t为参数 即直线 t为参数 令t 2t 得故直线的倾斜角为答案 互动探究 本例中条件不变 m0 1 2 当参数t 1时对应直线上的点为m 则 mm0 解析 本例中 m0 1 2 为直线上的点 当参数t 1时对应直线上的点为则 mm0 2 答案 2 拓展提升 直线的参数方程的标准形式的应用设过点m0 x0 y0 倾斜角为 的直线l的参数方程是 t是参数 若m1 m2是l上的两点 其对应参数分别为t1 t2 则 1 m1 m2两点的坐标分别是 x0 t1cos y0 t1sin x0 t2cos y0 t2sin 2 m1m2 t1 t2 3 若线段m1m2的中点m所对应的参数为t 则中点m到定点m0的距离 4 若m0为线段m1m2的中点 则t1 t2 0 变式备选 直线l过点p 1 2 其参数方程为 t是参数 直线l与直线2x y 2 0交于点q 则 pq 解析 方法一 将直线l的参数方程化为普通方程为y 3 x 与方程2x y 2 0联立解得点q的坐标为 1 4 方法二 将直线l的参数方程化为标准形式为代入2x y 2 0得 答案 考向2圆的参数方程与应用 典例2 1 已知曲线c的参数方程为 为参数 则曲线c上的点到直线3x 4y 4 0的距离的最大值为 2 2013 湛江模拟 设p x y 是曲线c 为参数 上任意一点 则的取值范围是 思路点拨 1 将曲线的参数方程化为普通方程 利用直线与曲线的位置关系解决 2 将参数方程代入转化为三角函数求取值范围 也可以利用曲线的普通方程以及判别式法解决 规范解答 1 曲线c的普通方程为 x 2 2 y2 1 这是圆心为 2 0 半径为1的圆 圆心到直线3x 4y 4 0的距离是故直线与圆相离 所以圆c上的点到直线3x 4y 4 0的距离的最大值为3 答案 3 2 方法一 由p x y 是曲线c 为参数 上任意一点 则即sin kcos 2k 得所以解得所以的取值范围是 方法二 由曲线c 为参数 得 x 2 2 y2 1 令即y kx 代入圆的方程 得 x 2 2 kx 2 1 即 1 k2 x2 4x 3 0 由题意 得 42 3 4 1 k2 0 即解得所以的取值范围是答案 拓展提升 直线与圆的位置关系 1 设圆的半径为r 圆心到直线的距离为d 直线与圆的普通方程联立所求得的一元二次方程的根的判别式为 则 2 当直线与圆相离时 圆上的点到直线的距离的最大值为d r 最小值为d r 提醒 判断直线与圆的位置关系有几何法和解析法 即判别式法 两种 解题时要灵活选取不同的方法 变式训练 1 若p 2 1 为曲线 0 2 的弦的中点 则该弦所在直线的普通方程为 解析 曲线 0 2 的普通方程为 x 1 2 y2 25 表示圆心为c 1 0 半径为5的圆 直线cp的斜率弦所在直线的斜率为1 所以弦所在直线的普通方程为y 1 x 2 即x y 3 0 答案 x y 3 0 2 若直线l 与曲线c 为参数 a 0 有两个公共点a b 且 ab 2 则实数a的值为 解析 曲线c 为参数 a 0 的普通方程为 x a 2 y2 2 表示圆心为 a 0 半径为的圆 由 ab 2 得圆心到直线的距离为1 即得 a 2 a 0 a 2 答案 2 考向3圆锥曲线的参数方程与应用 典例3 1 若点p x y 是曲线x2 3y2 3上一点 则x y的取值范围是 2 2012 广东高考 在平面直角坐标系xoy中 曲线c1和c2的参数方程分别为 t为参数 和 为参数 则曲线c1与c2的交点坐标为 思路点拨 1 由椭圆的参数方程化为求三角函数的取值范围 2 将曲线的参数方程化为普通方程联立方程组解得交点坐标 规范解答 1 曲线x2 3y2 3即由椭圆的参数方程 为参数 r 得则x y的取值范围是 2 2 答案 2 2 2 曲线c1和c2的普通方程分别为y2 x y 0 和x2 y2 2 联立方程组 解得x 1 y 1 所以曲线c1与c2的交点坐标为 1 1 答案 1 1 拓展提升 圆锥曲线的参数方程的特点 1 椭圆 双曲线的参数方程与三角函数的关系密切 解题时要注意角的取值范围 抛物线的参数方程与一次函数和二次函数有关 解题时注意二次方程的性质及其应用 2 一般地说 如果题目中涉及圆锥曲线上的动点 应考虑用参数方程来表示点的坐标 可使解题目标明确 过程表达清晰 求解方便 变式训练 1 椭圆 a b 0 与x轴正方向交于点a o为原点 若椭圆上存在点p 使op ap 则椭圆离心率e的取值范围是 解析 设椭圆 a b 0 上的点p的坐标为 acos bsin o 0 0 a a 0 由op ap 得即 acos bsin acos a bsin 0 得a2cos2 a2cos b2sin2 0 整理 得得即所以椭圆离心率的取值范围是答案 2 2012 湖南高考 在直角坐标系xoy中 已知曲线c1 t为参数 与曲线c2 为参数 a 0 有一个公共点在x轴上 则a 解析 曲线c1 t为参数 的普通方程为y 3 2x 与x轴的交点为曲线c2 为参数 的普通方程为其与x轴交点为 a 0 a 0 由a 0 曲线c1与曲线c2有一个公共点在x轴上 知答案 考向4极坐标方程与参数方程的综合题 典例4 1 2013 珠海模拟 直角坐标系xoy中 以原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 设点a b分别在曲线 为参数 和曲线c2 1上 则 ab 的最小值为 2 已知极点在直角坐标系的原点o处 极轴与x轴的正半轴重合 曲线c的极坐标方程为 2cos 直线l的参数方程为 t为参数 则曲线c上的点到直线l的最短距离为 思路点拨 1 将曲线的极坐标方程和参数方程化为普通方程 利用曲线的位置关系以及几何性质求解 2 将曲线 含直线 的极坐标方程和参数方程化为直角坐标方程 利用直线和曲线的位置关系以及几何性质求解 规范解答 1 曲线c1 为参数 的普通方程为 x 3 2 y 4 2 1 曲线c2 1的直角坐标方程为x2 y2 1 两圆的圆心距为 c1c2 所以两圆外离 依题意 ab 的最小值为答案 3 2 将曲线c的极坐标方程 2cos 化为直角坐标方程 得x2 y2 2x 0 即 x 1 2 y2 1 这是圆心为c 1 0 半径为1的圆 将直线l的参数方程 t为参数 化为普通方程 得4x 3y 3 0 则圆心到直线的距离为故直线与圆相离 所以圆c上的点到直线l的最短距离为答案 互动探究 本例 1 2 中条件不变 则 1 ab 的最大值为 2 曲线c上的点到直线l的最远距离为 解析 1 由于两圆外离 点a b分别在两个圆上 则 ab 的最大值为 c1c2 r1 r2 5 2 7 答案 7 2 由于直线与圆相离 则圆上的点到直线l的最远距离为答案 拓展提升 圆与圆的位置关系以及应用 1 两圆的位置关系以及意义 两圆半径分别为r r 且r r d为圆心距 2 若圆c1与圆c2外离 圆心距为d 两圆的半径分别为r r 动点a在圆c1上 动点b在圆c2上 则a b之间距离的最小值为d r r 最大值为d r r 变式备选 1 2012 湖北高考 在直角坐标系xoy中 以原点o为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知射线与曲线 t为参数 相交于a b两点 则线段ab的中点的直角坐标为 解析 射线在直角坐标系下的直角坐标方程为y x x 0 将参数方程 t为参数 转化为直角坐标系下的普通方程为y t 1 2 x 1 1 2 x 2 2 表示一条抛物线 联立上面两个方程 消去y有x2 5x 4 0 设a b两点及其中点p的横坐标分别为xa xb x0 则由根与系数的关系 得又由于点p在直线y x上 因此线段ab的中点坐标为答案 2 2013 湖南师大附中模拟 在极坐标系中 圆c1的方程为以极点为坐标原点 极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系 圆c2的参数方程为 为参数 若圆c1与圆c2外切 则实数a 解析 圆c1的方程化为即x2 y2 4x 4y 0 其圆心c1 2 2 半径 圆c2的参数方程化为普通方程为 x 1 2 y 1 2 a2 其圆心c2 1 1 半径r2 a 因为两圆外切 所以解得 答案 1 2013 广州模拟 化参数方程 t为参数 t 0 2 为普通方程为 解析 将参数方程 t为参数 两式相加 得x y cos2t sin2t 1 由于t 0 2 所以0 x cos2t 1 所以普通方程为x y 1 0 x 1 答案 x y 1 0 x 1 2 曲线 t为参数 的普通方程为 解析 由参数方程得当t 0时 当t 0时 所以曲线的普通方程为x2 y2 4 答案 x2 y2 4 3 2012 北京高考 直线 t为参数 与曲线 为参数 的交点个数为 解析 方法一 由直线 t为参数 与曲线 为参数 的参数方程得 2 t 2 1 t 2 9 整理 得t2 3t 2 0 方程有两个不相等的实数根 所以直线与曲线的交点个数有2个 方法二 将直线 t为参数 与曲线 为参数 的参数方程分别化为直角坐标方程 得x y 1 0 x2 y2 9 原点 圆心 到直线的距离为所以直线与圆相交 交点个数为2 答案 2 4 曲线 为参数 的焦点坐标为 解析 曲线 为参数 的普通方程为这是焦点在纵轴上的椭圆 c2 a2 b2 92 焦点坐标为 0 9 答案 0 9 5 参数方程 为参数 表示的曲线上的点到原点的最大距离为 解析 参数方程 为参数 表示的曲线是圆心为c 3 4 半径为1的圆 故圆上的点到原点o的最大距离为 oc 1 6 答案 6 6 直线3x 4y 1 0被曲线 为参数 所截得的弦长为 解析 曲线的普通方程为x2 y 1 2 4 圆心 0 1 到直线3x 4y 1 0的距离为所以直线被曲线所截得的弦长为答案 7 已知p为正的常数 曲线 t为参数 上的两点m n对应的参数分别为t1和t2 且t1 t2 0 那么 mn 解析 曲线 t为参数 的普通方程为y2 2px 这是开口向右的抛物线 显然线段mn垂直于抛物线的对称轴 即x轴 mn 2p t1 t2 2p 2t1 4p t1 答案 4p t1 8 椭圆上的一点p与点q 1 0 之间距离的最小值为 解析 设p 3cos 2sin 由q 1 0 得 pq 当时 答案 9 直线l的参数方程为 t为参数 则直线l的斜率为 解析 由可得直线l的斜率为答案 10 点p 1 0 与曲线 其中参数t r 上的点的最短距离为 解析 设q t2 2t 为曲线上任意一点 点p 1 0 则答案 1 11 直线 t为参数 与圆 为参数 相切 则此直线的倾斜角 解析 将直线 t为参数 与圆 为参数 分别化为普通方程 得由于直线与圆相切 则圆心到直线的距离d r 即 又 0 答案 12 参数方程 t为参数 的普通方程为 解析 答案 13 已知两曲线的参数方程分别为和则它们的交点坐标为 解析 两曲线的普通方程分别为联立两曲线的普通方程 得x2 4x 5 0 解得x 1或x 5 舍 所以所以它们的交点坐标为答案 14 抛物线y2 x上的点到直线x y 1 0的距离的最小值为 解析 方法一 设y t 则抛物线y2 x的参数方程为点 t2 t 到直线x y 1 0的距离为当且仅当t 时 所以抛物线y2 x上的点到直线x y 1 0的距离的最小值为 方法二 设与直线x y 1 0平行的直线簇为x y c 0 将抛物线方程y2 x代入 得y2 y c 0 令 1 4c 0 解得故直线与抛物线相切 由平行线间的距离公式 得所以抛物线y2 x上的点到直线x y 1 0的距离的最小值为答案 15 2013 肇庆模拟 若曲线 为参数 与直线y a有两个公共点 则实数a的取值范围是 解析 曲线 为参数 的普通方程为y x2 1 x 1 曲线与直线y a有两个公共点 则实数a的取值范围是0 a 1 答案 0 a 1 16 2013 揭阳模拟 已知曲线c的参数方程为 为参数 则曲线c上的点到直线2x y 2 0的距离的最大值为 解析 将曲线c的参数方程 为参数 化为直角坐标方程 得 x 1 2 y2 1 这是圆心为 1 0 半径为1的圆 圆心到直线2x y 2 0的距离为故直线与圆相离 所以圆c上的点到直线的距离的最大值为答案 17 在平面直角坐标系下 曲线 t为参数 曲线c2 为参数 若曲线c1 c2有公共点 则实数a的取值范围是 解析 曲线 t为参数 的普通方程为x 2y 2a 0 曲线 为参数 的普通方程为x2 y 2 2 4 由于曲线c1 c2有公共点 则圆心 0 2 到直线的距离满足d r 即解得所以实数a的取值范围是答案 18 2013 中山模拟 已知曲线c的极坐标方程是 2sin 直线l的参数方程是 t为参数 设直线l与x轴的交点是m n是曲线c上一动点 则 mn 的最大值为 解析 曲线c 2sin 的直角坐标方程为x2 y 1 2 1 直线l t为参数 的普通方程是4x 3y 8 0 直线l与x轴的交点m 2 0 n是圆c上一动点 则m与圆心c 0 1 之间的距离为所以 mn 的最大值为答案 19 2013 南昌模拟 已知抛物线c1的参数方程为 t为参数 圆c2的极坐标方程为 r r 0 若斜率为1的直线经过抛物线c1的焦点 且与圆c2相切 则r 解析 抛物线c1 t为参数 的普通方程为y2 8x 焦点坐标为f 2 0 圆c2 r r 0 的直角坐标方程为x2 y2 r2 斜率为1且经过抛物线c1的焦点f的直线方程为y x 2 直线与圆c2相切 则答案 20 2012 天津高考 已知抛物线的参数方程为 t为参数 其中p 0 焦点为f 准线为l 过抛物线上一点m作l的垂线 垂足为e 若 ef mf 点m的横坐标是3 则p 解析 消去参数t得抛物线的普通方程为y2 2px 准线方程为因为m为抛物线上一点 所以有 mf me 又 mf ef 所以三角形mef为等边三角形 则 ef mf 2p 解得p 2 答案 2 21 已知圆c的参数方程 为参数