暑期三升四基础班 教师版

第一讲 速算与巧算1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变.2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变.3. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变， 即ab=ba,其中a，b为任意数.4. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变，即abc=(ab)c=a(bc).习 能凑整的数，一般找能凑整的数看个位就可以了。1. 计算：378+26+609分析：原式=（378+22）+（600+9）+（26-22）=400+600+9+4=1013.拓展 计算：1998+198+18分析：原式=（2000-2）+（200-2）+（20-2） =2220-6 =2214.2. 计算：1000-90-80-20-10分析：原式 =1000-（90802010）=1000-200=800.3. 计算：1）6311 ； 2） 85211分析：在这个数的首尾之间添上相邻两数依次相加的和（和满10要进1）.即“两边一拉，中间相加”.1）6311=693 （其中9是6+3），2）85211=9372（7=5+2 3=5+8末尾 9=8+1）.4. 计算 ：1515 ；2525 ；3535分析：建议教师先介绍个位数字为5的数的平方速算规律：首数加1的和乘以首数，尾数相乘，两积连起来即为所求的积.1515=225 ；2525=625 ；3535=1225.1. 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变.在连除时，可以交换除数的位置，商不变，即abc=acb2. 乘除法混合运算的性质（1）在乘除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同数字前面的运算符号一起交换位置，例如abc=acb=bca(2)在乘除混合运算中，去掉括号的规则以及去括号的情形 a(bc)=abc a(bc)=abc a(bc)=abc(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即 (ab)(cd)=(ac)(bd)=(ad)(bc).在乘除运算中，要做到既正确又迅速，首先要熟练地掌握乘除的各种运算定律，性质和运算中积商的变化规律，其次要了解题目的特点，创造条件，选用合理，灵活的计算方法，下面我们通过一些例题介绍一些运算的速算和巧算的方法.【例1】 计算：456212525548分析：解题关键是观察题目可以发现254得100，1258得1000，将它们分别合并便可达到速算原式=456（25）（254）（1258）=456101001000=456000000.巩固 计算：192564125分析：原式=（254）（1258）（192） = 100100038 =3800000.【例2】 计算：5400254分析：根据除法性质知一个数分别除以两个数，等于除以这两个数的积.原式=5400（254）=5400100=54.【例3】 计算：5(711) (1115) (1521) 分析：原式=571111151521=5（1111）（1515）（217）=53=15.【例4】 计算：333333373-3625125+12550分析：运用abc=a(bc) .原式=333333（373）-29+6250=333333111+（6250-29）=3003+6221=9224.【例5】 5346+7154+8254分析：可以把53，199拆分.原式=（54-1）46+7154+8254=5446+7154+8254-46=54（46+71+82）-46=54199-46=54（200-1）-46=54200=54-46=10800-100=10700.【例6】 （873477-198）（476874+199）分析：观察到873与874，476与477的关系，可以考虑把整数进行拆分.原式=873（476+1）-198 476（873+1）+199=873476+873-198 476873+476+199=873476+675 476873+675=1.【例7】 11111111119999999999分析：原式=1111111111（10000000000-1）=11111111110000000000-1111111111=11111111108888888889.【例8】 9999926+3333324分析：原式=9999926+3333338=9999926+999998=99999（26+8）=（100000-1）34=3399966.【例9】 计算：1+122+l233+l2344+l23455分析：原式=1(2-1)+l2(3-1)+123(4-1)+1234(5-1)+l2345(6-1)=l2-1+l23-12+l234-123+l2345-1234+l23456-l2345=l23456-l=720-l=719【例10】 计算：2006+2005-2004-2003+2002+2001-2000-1999+1998+5-4-3+2+1分析：（法1）我们观察可以发现，题目中每4个数一组可以相互抵消，将这些数先分组，简化计算.原式=2006+（2005-2004-2003+2002）+（2001-2000-1999+1998）+（5-4-3+2）+1=2006+0+0+0+1=2007.（法2）根据符号规律，可以4个数一组.原式=（2006+2005-2004-2003）+（6+5-4-3）+2+1=4（20044）+3=2007.拓展 计算：1992-1-2+3+4-5-6+7+8-1989-1990+1991分析：原式=（1992+1991-1990-1989）+（4+3-2-1） =4（19924） =1992.【例11】 计算：917+9117-517+4517分析：前铺分配律的逆运算是个难点，建议教师先从简单题讲清楚再讲本题.计算1： 3619+6419=（36+64）19=1900.计算2： 3619+64144=3619+64（19+125）=（36+64）19+64125=1900+88125=1900+8000=9900.例题原式=917-517+9117+4517=（9-5）17+（91+45）17=417+13617=68+8=76. 【例12】 计算：76521327+76532727分析：原式=765（213+327）27=76554027=76520=15300.【例13】 计算：（123456+234561+345612+456123+561234+612345）7分析：前铺建议教师先讲解拆数法：123456=1100000+210000+31000+4100+510+61，234561=2100000+310000+41000+5100+610+11，或者观察竖式发现：每个数位上的和=（1+2+3+4+5+6）相应的数量单位.讲清楚拆数这个问题，题目就迎刃而解了.原式=（1+2+3+4+5+6）(100000+10000+1000+100+10+1) 7=211111117=3111111=333333.【例14】 计算：252626-262525分析：前铺建议教师先给学生讲清楚周期性数字的规律.如123123=1231001，123123123=1231001001，原式=2526101-2625101 =0.拓展1 计算：121212123030303分析：原式 =121010101（31010101）=（123）（10101011010101）=41=4.拓展2 计算：（4545+5353）4949分析：原式=（45101+53101）（49101） =（45+53）10149101 =（45+53）49 =2.第二讲 应用题综合（一）1. 三年级二班共有42名同学，全班平均身高为132厘米，其中女生有18人，平均身高为136厘米.问：男生平均身高是多少？分析：全班身高的总数为132425544(厘米)，女生身高总数为136182448(厘米)，男生有42-1824(人)，身高总数为5544-24483096(厘米)，男生平均身高为309624129(厘米).综合列式：(13242-13618)(42-18)129(厘米).2. 小明家先后买了两批小猪，养到今年10月.第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千克.小明家养的猪平均多重？分析：两批猪的总重量为663425408(千克).两批猪的头数为358(头)，故平均每头猪重408851(千克).3. 甲乙两地相距240千米，一辆汽车从甲地往乙地送货，去时以每小时40千米的速度行驶.返回时由于空载，以每小时60千米的速度行驶.这辆汽车往返的平均速度是每小时多少千米？分析：2402=480（千米），24040=6（小时），24060=4（小时），6+4=10（小时），48010=48（千米）.4. 小强为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周(一周为7天)平均每天做4道数学竞赛训练题.星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做了13道.那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？分析：要先求出每周规定做的题目总数，然后求出星期一至星期六已做的题目数.两者相减就是星期日要完成的题目数.每周要完成的题目总数是47=28(道)星期一至星期六已做题目331322(道)，所以，星期日要完成28-226(道).综合列式为47-(3313)6(道).【例1】 某一幢居民楼里原有3户安装空调，后来又增加一户.这4台空调全部打开时就会烧断保险丝，因此最多同时使用3台空调这样，在24小时内平均每户最多可使用空调几小时？分析：平均每户最多可用空调2434=18（小时）.【例2】 一个房间里有9个人，平均年龄是25岁；另一个房间里有11个人，平均年龄是45岁两个房间的人合在一起，他们的平均年龄是几岁？分析：（259+4511）（9+11）=36（岁）.【例3】 仁华三升四竞赛班50人考试，全班平均分为85分，其中有40的人及格，及格人的平均分是93分，那么不及格人的平均分是多少分？ 分析：不及格人的平均分是（8550-9340）（50-40）=53（分）.【例4】 甲班51人，乙班49人，某次考试2个班全体同学的平均成绩是81分，乙班平均分比甲班高7分，那么乙班的平均成绩是多少分？分析：甲、乙2班总分为81（51+49）=8100（分），由于乙班平均分比甲班高7 分，如果甲班每人提高7分，那么2班平均分即为乙班现在的平均分（8100+751）（51+49）=84.57（分）.下面我们要学习一类新的应用题盈亏问题. 盈亏问题就是把一定数量的物品分给若干对象，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求被分配的物品数与分配的对象数.解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额(盈数+亏数)，由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额两次分配数之差.需要注意的是，两种分配方案的结果会出现一盈一亏、两盈、两亏等情况，所以我们要灵活把握.【例5】 六一儿童节到了，李老师给同学们准备了一些漂亮的贴画作礼物，如果每人分3张就会多出29张，如果每人分5张则少19张，那么李老师给几个学生发礼物呢？ 分析：学生的人数：(29+19)(5-3)=24(个).【例6】 杨老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少1.8元这本书的单价是多少？顾老师共带了多少元钱？分析；买5本多3元，买7本少1.8元.盈亏总额为31.8=4.8（元），这4.8元刚好可以买7-52（本）书，因此每本书4.82=2.4（元），顾老师共带钱2.45315（元）.【例7】 学校组织四年级师生去参观清华、北大，原计划租用45个座位的客车，但这样有5人没座，如果租用同样数量的55个座位的客车，则正好多出1辆车.那么，原计划租用45座客车几辆？分析：租55个座位的客车，正好多出1辆车，也就是少了一车的人，即55人，所以，原计划租用的客车数量(55+5)(55-45)=6(辆).【例8】 兰兰参加暑假的英语夏令营，老师为她们安排住宿，如果每个房间住5人，则多出18人，如果每个房间住7人，则有2个房间空着.那么，参加英语夏令营的同学有几人？分析：房间数量：(18+72)(75)=16(个)，参加夏令营的人数：165+18=98(人).【例9】 海尔兄弟约好在动物园门口见面，弟弟从家去动物园，如果每分钟走30米，就要迟到5分钟，如果每分钟走40米，可以提前2分钟到动物园，那么，海尔兄弟家到动物园的距离是几米？分析：迟到5分钟相当于少走了：305=150(米)，提前2分钟到相当于多走了：40 2=80(米)，所以，如果不迟到也不早到，弟弟走的时间为：(150+80)(40-30)= 23(分钟)，家到学校的距离为：30(23+5)=840(米).【例10】 早晨陈奶奶去超市买菜，如果她买6千克鱼肉则还差10元如果买8千克猪肉则还剩2元已知每千克鱼肉比猪肉贵5元那么陈奶奶带了多少钱?分析：由于每千克鱼肉比猪肉贵5元，6千克鱼肉应该比6千克猪肉贵：65=30(元)，这时，买6千克猪肉应该剩下：3010=20(元)，所以，每千克猪肉的价钱为：(202)(86)=9(元)，陈奶奶所带钱数：89+2=74(元).【例11】 百货商店委托搬运站运送100只花瓶双方商定每只运费1元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1元，结果搬运站共得运费92元问：搬运过程中共打破了几只花瓶?分析：假设100只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费1100=100(元)实际上只得到92元，少得100-92=8(元)搬运站每打破一只花瓶要损失1+1=2(元)因此共打破花瓶82=4(只)练习1. 暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离作了记录如果他在暑假的最后一天游670米，则平均每天游495米；如果最后一天游778米，则平均每天游498米；如果他想平均每天游500米，那么最后一天应游多少米？分析：（778-670）（498-495）=1083=36（天），说明小强一共游了36天.要想平均游500米的话，他最后一天应该游670+36（500-495）=670+180=850米.2. 五个同学期末考试的数学成绩平均94分，而其中有三个同学的平均成绩为92分，另两个同学的平均成绩是多少？分析：（945-923）2=97（分）.3. 用绳子量一口井的深度，把绳子折两折来量，多50厘米；折三折来量，还差30厘米，求绳长和井深各是多少？ 分析：根据题意，（502+303）（3-2）=190（厘米）.（190+50）2=480（厘米）或（190-30）30=480（厘米）.4. 王老师带班里的学生去颐和园春游，他们租了一些船在昆明湖上划船，如果增加1条船，正好每条船坐4人，如果减少1条船，正好每条船坐6人，那么，他们总共有几人去了颐和园？分析：这道题也可以理解为：原来每条船坐4人正好，后来减少了2条船，每条船坐6人所以，租的船的数量为：6(1+1)(64)=6(条)，去颐和园的总人数为：64=24(人).第三讲 应用题综合（二）1. 三年前爸爸的年龄正好是儿子小刚年龄的6倍，今年父子年龄和是55岁，小刚今年多少岁？ 分析：三年前父子的年龄和是小刚年龄的6+1=7倍，所以三年前小刚的年龄是（55-32）（6+1）=7（岁），那么小刚今年的年龄是：7+3=10（岁）2. 兄弟二人今年相差9岁，14年前兄的年龄为弟的4倍求今年兄弟各自的年龄分析：兄弟年龄之差不随年份变化所以可求出14年前的年龄之后，再求今年年龄而14年前相差的9岁，相当于那年弟年龄的413(倍)，14年前，弟的年龄9(4-1)93=3(岁)，所以今年弟的年龄：31417(岁)，兄：179=26(岁) 3. 小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123正确的答案是多少? 分析：（倒推法）把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去所以正确的和是123+50- 4=169即：123+(80-30)- (9-5)=169. 4. 大虎做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，这题的正确答案应该是多少?分析：（倒推法）被减数十位上的6错写成9，使被减数增加90- 60=30，差也增加了30；减数个位上的9错写成6，使减数减少了9-6=3，这样差又增加了3因此这题的差加上30又加上3得577得正确的差，即577- (9-6)- (90- 60)= 544.【例1】 姐姐对妹妹说：“当我是你今年的岁数时，你才6岁”妹妹对姐姐说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将2l岁”求姐姐和妹妹今年各几岁?分析：姐姐和妹妹的年龄差为(216)3=5(岁)妹妹今年的年龄为6+5=11(岁)姐姐今年的年龄为11+5=16(岁)【例2】 小明一家有4人：爷爷、爸爸、妈妈和小明爷爷比爸爸大26岁，妈妈比小明也大26岁已知这家人今年的年龄之和为126岁，而5年前的年龄之和为107岁，那么小明与他爷爷的年龄之差是几岁？分析：5年来，小明家的年龄之和增加了126-107=19岁这家现有4口人，而1945，这说明小明还不满5岁，他今年只有19-35=4岁于是今年妈妈4+26=30岁，爷爷和爸爸的年龄之和为126-4-30=92岁又爷爷比爸爸大26岁，因此今年爷爷(92+26)2=59岁，他比小明大59-4=55岁【例3】 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是78岁.问：母亲今年多少岁？分析： 母子今年年龄和： 78-6 2=66（岁），母子6年前年龄和： 66-62=54（岁），母亲6年前的年龄：54（5+1）5=45（岁），母亲今年的年龄：45+6=51（岁）【例4】 王老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是20岁，李老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是18岁王老师今年32岁，李老师今年多少岁?分析：王老师比李老师大203183=6(岁)故李老师今年的年龄为326=26(岁)【例5】 甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是64岁，甲21岁，乙17岁甲18岁时，丙的年龄是丁的3倍丁现在的年龄是多少岁?分析：（法1）当甲18岁时，乙的年龄为173=14(岁)丁现在的年龄为(641814)(1+3)=324=8(岁)（法2）甲18岁是3年前，所以4人总年龄是64-34=52（岁），所以丙丁年龄和为52-18-14=20（岁），丁就是20（1+3）=5（岁），现在的年龄是5+3=8（岁）.【例6】 一个箱子里放着乒乓球一个小朋友往外拿乒乓球，拿的规则是：每次总是拿出箱中所有乒乓球的一半然后再放回去1个按此规则拿了597次之后，箱子里还剩2个乒乓球箱子里原有乒乓球多少个？分析：前一次的一半是2-1=1（个），依次倒推，原有2个.【例7】 新天地广场运进一批新款式彩色电视机，第一天售出总数的一半多10台，第二天售出剩下的一半多20台，还剩95台这批新款彩电有多少台?分析：根据题意可画出线段示意图进行倒推还原由示意图可知：95台加上20台正好是剩下的一半，所以用(95+20)2=剩下的台数；剩下的台数加上10台，正好是总数的一半，于是可求出这批彩电的台数(95+20)2+102=480（台）. 【例8】 村姑卖蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二个；第三次卖出再剩下的一半又二个，这时篮里只剩下二十个蛋这篮鸡蛋有多少个?从上面线段图可以看出：最后剩下20个再加上第三次卖出的再余下的一半以外的2个，就是再余下的一半，由此可求出再余下的是：(20+2)2=44(个)44个再加上第二次卖出余下的一半以外的2个就是余下的一半，因此可求出余下的是：(44+2)2=92(个)92个再加上第一次卖出一篮的一半以外的2个就是全篮的一半，因此可求出全篮鸡蛋的个数是(92+2)2=188(个)【例9】 A，B，C三位小朋友都有若干本图书，如果A将自己的书给B，C，使B，C的书各增加一倍i然后B又将现有的图书给A，C，使A，C现有的图书各增加一倍；最后C再将自己已有的图书给A，B，使A，B的图书各增加一倍，这时三人的图书都是240本A，B，C三位小朋友原来各有图书多少本?ABC第一次390210120第二次60420240第三次120120480240240240分析：如图：【例10】 三人存款不等，只知如果甲给乙40元，乙又给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这时三人都有240元三人原来各有存款多少元？分析：甲原有：240-20+40=260（元）；乙原有：240-70+30-40=160（元）；丙原有：240+20+70-30=300（元）.练习1. 小樱今年16岁，小桃今年11岁，几年后，小樱和小桃的年龄之和是45岁?分析：小樱和小桃今年年龄和为16+11=27(岁)小樱和小桃经过4527=18(年) 两人的年龄之和是45岁时 这时，小樱和小桃每人经过的年数都为：182=9(年) 2. 已知明明今年2岁，爸爸今年28岁，那么请问11年后爸爸的年龄是小明的年龄的多少倍?分析：(28+11)(2+11)=3913=3（倍）3. 小龟问老龟：“老爷爷，您今年多少岁?”老龟说：“把我的年龄加上20，再缩小2倍之后减去15，再扩大3倍，正好是105岁你能算出我今年多少岁吗?”分析：（法1）根据题意，从最后一个条件105岁开始倒推：最后的数扩大3倍是105岁，如果没扩大3倍，应该是1053=35(岁)；这个35岁是减去15得到的，如果没减去15，应该是35+15=50(岁)；这个50岁是缩小2倍后得到的，如果没有缩小2倍，应该是502=100(岁)；这个100岁是老龟的年龄加上20后得到的，那么老龟的年龄应该是80岁（法2）设老龟今年x岁依题意有(x+20)2153=105解得x=804. 小红、小芳、小明三人分苹果，小红得的比总数的一半多1个，小芳得的比剩下的一半多1个，小明得8个问原来共有苹果多少个?分析：小明得8个是因为小芳得到剩下的一半多1个，如果小芳只得了剩下的一半，那么小明应得8+1=9(个)，也就是得了剩下的另一半，这样也就说明了小芳得了10个，因此可以算出小红取去后剩下的是92=18.根据同样的道理，如果小红得的是总数的一半，那么剩下的应该有18+1=19(个).那么苹果总数应该是192=38(个)即(8+1)2+12=38(个).第四讲 计数问题今天我们要学习的计数问题，包括图形计数和数字计数等.计数问题，尤其是图形计数看起来不难，但大多数同学一做就错，通过今天的学习，相信你一定能有所收获！暑假精讲【例1】 数一数：右图中线段的总条数分析：（法1）我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条 由2个基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF 4条由3个基本线段构成的线段有：AD、BE、CF 3条由4个基本线段构成的线段有：AE、BF 2条由5个基本线段构成的线段有：AF 1条总数5+4+3+2+115条 （法2）按线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条以E点为共同左端点的线段有： EF 1条 总数5+4+3+2+115条【例2】 数一数，右图中共有多少个角?你能用两种方法解答这个问题么？分析：（法1）我们规定：把相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们可以这样分类数：由1个基本角构成的角有：AOB、BOC、COD、DOE、EOF共5个由2个基本角构成的角有：AOC、BOD、COE、DOF共4个由3个基本角构成的角有：AOD、BOE、COF共3个由4个基本角构成的角有：AOE、BOF共2个由5个基本角构成的角有：AOF共1个角总数5+4+3+2+1=15(个)（法2）以角的起始边分类（注意保持方向的一致）：以OA边为公共边的角有：AOB、AOC、AOD、AOE、AOF共5个以OB边为公共边的角有：BOC、BOD、BOE、BOF共4个以OC边为公共边的角有：COD、COE、COF共3个以OD边为公共边的角有：DOE、DOF共2个以OE边为公共边的角有：EOF只1个角总数5+4+3+2+1=15(个)【例3】 数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？ 分析：（法1）1个三角形组成的：AOB、BOC、COD、DOE、EOF共5个；2个三角形组成的：AOC、BOD、COE、DOF共4个；3个三角形组成的：AOD、BOE、COF共3个；4个三角形组成的：AOE、BOF共2个；5个三角形组成的：AOF共1个；共有5+4+3+2+1=15（个）.（法2）我们先数下面的这条线有多少个线段，也就是有多少个三角形以A点为共同左端点的线段有5条，即有AOB、BOC、COD、DOE、EOF共5个三角形；以B点为共同左端点的线段有4条，即有AOC、BOD、COE、DOF共4个三角形；以C点为共同左端点的线段有3条，即有AOD、BOE、COF共3个三角形；以D点为共同左端点的线段有2条，即有AOE、BOF共2个三角形；以E点为共同左端点的线段有1条，即有AOF共1个三角形；共有5+4+3+2+115（个）【例4】 数一数：下面三个图中长方形分别有多少个？ 分析：（法1）以1个长方形组成的；以2个长方形组成的教师可参看数线段、角、三角形的方法1（法2）先数一数AB边上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的长，再数一数AD上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的宽，每一条长与一条宽搭配，就确定了一个长方形，这样就容易得出一共有多少个长方形了 先来看图(1)，AB边上包含着的10条线段中的每一条(想一想为什么)，都可与线段AD对应，惟一确定一个长方形，所以图(1)中共有101=lO个长方形 再来看图(2)，与图(1)不同的是在AD上增加了一个分点，这样就有3条线段时，这3条线段分别与AB边上不同的线段构成长方形，所以图(2)中共有103=30个长方形最后看图(3)，与上面的思路相同，由于AD边上有3+2+1=6条线段，所以图(3)中共有106=60个长方形即：(1)(4+3+2+1)1=10(个)；(2)(4+3+2+1)(2+1)=30(个)；(3)(4+3+2+1)(3+2+1)=60(个)【例5】 数一数：右图中有几个正方形？分析：（法1）边长为1的正方形有12个，边长为2的正方形有6个，边长为3的正方形有2个，共20个即43+32+21=20（法2）请教师参看数长方形的法2【例6】 数一数，右图中共有多少条线段？分析：“个人”：BF、CG ；“集体1”：EH 系列，共3+2+1=6 （条）；“集体2”：AD 系列，共3+2+1=6 （条）；所以共14条【例7】 数一数，右图中三角形共有几个？ 分析：27个【例8】 从1-10里取2个不同的数，使得这2个数的和大于10，请问有多少种不同的取法？分析：（法1）按较小的数来分类，1） 若较小的数是1，则较大的数必须是10有1种取法2） 若较小的数是2，则较大的数是9或10有2种取法3） 若较小的数是3，则较大的数是8，9，10有3种取法4） 若较小的数是4，则较大的数是7，8，9，10有4种取法5） 若较小的数是5，则较大的数是6，7，8，9，10有5种取法6） 若较小的数是6，则较大的数是7，8，9，10有4种取法7） 若较小的数是7，则较大的数是8，9，10有3种取法8） 若较小的数是8，则较大的数是9，10有2种取法9） 若较小的数是9，则较大的数是10 有1种取法综上所述，共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种不同取法分析：（法2）若从大的开始考虑：先取10，那么另一个数就有19总共9个数字可以取，再取 9，那么另一个数就有28总共7个数字可以取，这样就是一个等差数列，所以总共就是9+7+5+3+1=25种【例9】 一个两位数的两个数字之和是7的倍数，这样的两位数有几个？分析：数字之和是7的倍数有2种可能，要么是7要么是14，因此我们要分2类来枚举第一类：数字和是7，那么这样的两位数有70 61 52 43 34 25 16 共7个；第二类：数字和是14，那么这样的两位数有95 86 77 68 59共5个，综上所述，这样的两位数有12个.【例10】 一个两位数的数字之差是4的倍数，那么这样的两位数有几个？分析: 这里要注意数字之差是4的倍数，那么这个差不仅可能是4和8，还可能是0,因此本题我们要分3类:第一类：数字之差为8,那么这样的两位数有19 91 80 共3个;第二类：数字之差为4,那么这样的两位数有95 59 84 48 73 37 62 26 51 15 40 共11个;第三类：数字之差为0,那么这样的两位数有11 22 33 44 55 66 77 88 99共9个,综上所述，满足条件的两位数有3+11+9=23个.【例11】 商店里有100克的茶叶3包 300克的茶叶2包，400克的茶叶一包 500克的茶叶2包，小明要到商店给爷爷买1千克茶叶，在不打开包装的情况下，请问售货员阿姨有多少种不同的方法把茶叶交给小明？分析：要凑1000克茶叶不难，关键是要做到不重复不遗漏，因此我们按一定的次数来凑.1）500+500，2）500+400+100， 500+300+100+100，3）400+300+300， 400+300+100+100+100，得到共有5种方法.附加内容【附1】 如图，有多少个三角形？ 分析：分类法，15个.【附2】 如图，有多少个正方形？ 分析：27个.练习1数一数，图4中共有多少条线段?分析：10条2数一数，图中有多少个三角形? 分析：（1）5 （2）6 （3）6 （4）53分别数出图中各图形里长方形的个数分析：（1）6 （2）104.图中有多少个正方形? 分析：（1）5 （2）17第五讲简单的抽屉原理抽屉原理( 也叫鸽笼原理) : 如果把n+1个东西任意放在n只抽屉里，那么必有一只抽屉里至少有两个东西.1. 把3个苹果放到2个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？这些方法有什么相同之处？ 分析：我们可以一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或者3个苹果都放在一个抽屉里，另一个抽屉不放.相同之处：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.2. 如果要把4个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉里面都必须有苹果，会出现什么情况？ 分析：把4个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉装1个，还剩下1个苹果剩下的这1个可以任意放在其中的一个抽屉里面，这样有两个抽屉放了1个苹果，还有1个抽屉放了2个苹果也就是说要把4个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉里面都必须有苹果，一定有1个抽屉里面有2个苹果3. 如果要把5个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉里面都必须有苹果，又会出现什么情况呢？分析：把5个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉装1个，还剩下2个苹果剩下的这2个可以分开任意放在其中的一个抽屉里面，这样有1个抽屉放了1个苹果，还有2个抽屉放了2个苹果也可以把剩下的这2个放在其中的一个抽屉里面，这样有2个抽屉放了1个苹果，还有1个抽屉放了3个苹果就是我们还是发现把5个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉里面都必须有苹果，一定有1个抽屉里面至少有2个苹果【附1】 请你说明：13人必有2人属相相同.分析：属相共12个，其中12个人可以互不相同，但第13人会在十二个属相中的任意一个，所以13人必有2人属相相同.【附2】 幼儿园有366名2007年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？分析：把365天看作365个抽屉，将366名小朋友看作366个物品这样，把366个物品放进365个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品因此至少有2名小朋友的生日相同【附3】 用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同分析：五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五种颜色中的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有个面颜色相同，这样就有2个面会被涂上相同的颜色所以这句话是正确的【附4】 把十只小兔放进至多几个笼里，仍能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔分析：把十只小兔放进9个笼里，仍能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔【附5】 班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？分析：根据抽屉原理，至少要拿51本书【附6】 幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？分析：小汽车小火车小飞机第一个小朋友第二个小朋友第三个小朋友第四个小朋友有3个小朋友就有三种不同的选择方法，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以跟前面三个同学其中的一个选法相同所以至少要有4个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的.【附7】 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩分析：（法1）情况1：这三个小朋友,可能全部是男的, 那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的情况2：这三个小朋友,可能全部是女的, 那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的 情况3：这三个小朋友, 可能其中1男2女, 那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的 情况4：这三个小朋友,可能其中2男1女, 那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的（法2）三个人只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩【附8】 学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了2本请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗?分析：每个小朋友都借2本有三种可能：数数，英英，数英第4个小朋友无论借什么书，都可能是这三种情况中的一种，这样就有两个同学借得是同一类书，所以可以保证，至少有2位小朋友，他们所借阅的两本书属于同类【附9】 在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？分析：把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉现在将这11个点放到这10个抽屉中去根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米【附10】 用红、蓝两种颜色将一个25方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？分析：用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：将上面的四种情形看成四个“抽屉”根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同【附11】 将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色（每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？ 分析：这道题是上一题的拓展提高，通过列举我们发现给这些方格涂色，要使每列的颜色不同，最多有6种不同的涂法，涂到第六列以后，就会跟前面的重复所以不论如何涂色，其中至少有两列它们的涂色方式相同练习1. 将8朵花插入7只花瓶中，至少有1只花瓶中有2朵花，对吗？分析：有7只花瓶，如果每个花瓶插1只花，那么就是7朵8朵中还剩下的这一朵，会插在这7只瓶子的任意一只中，这样就有1只瓶子会插上2朵花，因此这句话是正确的2. 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼分析：在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条会任意放在这8个鱼缸其中的一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼3. 班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书?分析：老师至少拿29本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书4. 有10只鸽笼，为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子请问：至少需要有几只鸽子?分析：有10只鸽笼，每个笼子住1只鸽子，一共就是10只要保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以