高一数学必修一易错题集锦答案

高一数学必修一易错题集锦答案高一数学必修一易错题集锦答案 1 1 已知集合 M y y x2 1 x R R N y y x 1 x R R 则 M N 解解 M y y x2 1 x R y y 1 N y y x 1 x R y y R M N y y 1 y y R y y 1 注注 集合是由元素构成的 认识集合要从认识元素开始 要注意区分 x y x2 1 y y x2 1 x R x y y x2 1 x R 这三个集合是不同的 2 2 已知 A x x2 3x 2 0 B x ax 2 0 且 A B A 求实数a组成的集合 C 解解 A B A BA 又 A x x2 3x 2 0 1 2 B 或 C 0 1 2 21或 3 3 已知mA nB 且集合 A B 又 C Zaaxx 2 Zaaxx 12 则有 m n 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 填 A B C 中的一个 Zaaxx 14 解解 mA 设m 2a1 a1Z 又 n n 2a2 1 a2 Z B m n 2 a1 a2 1 而a1 a2 Z m nB 4 4 已知集合 A x x2 3x 10 0 集合 B x p 1 x 2p 1 若 BA 求实数 p 的取值范围 解解 当 B 时 即 p 1 2p 1p 2 由 BA 得 2 p 1 且 2p 1 5 由 3 p 3 2 p 3 当 B 时 即 p 1 2p 1p 2 由 得 p 3 点评点评 从以上解答应看到 解决有关 A B A B AB 等集合问题易忽视空集 的情况而出现漏解 这需要在解题过程中要全方位 多角度审视问题 5 5 已知集合 A a a b a 2b B a ac ac2 若 A B 求 c 的值 分析分析 要解决 c 的求值问题 关键是要有方程的数学思想 此题应根据相等的两个集 合元素完全相同及集合中元素的确定性 互异性 无序性建立关系式 解解 分两种情况进行讨论 1 若 a b ac 且 a 2b ac2 消去 b 得 a ac2 2ac 0 a 0 时 集合 B 中的三元素均为零 和元素的互异性相矛盾 故 a 0 c2 2c 1 0 即 c 1 但 c 1 时 B 中的三元素又相同 此时无解 2 若 a b ac2且 a 2b ac 消去 b 得 2ac2 ac a 0 a 0 2c2 c 1 0 即 c 1 2c 1 0 又 c 1 故 c 2 1 点评点评 解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解 这需要解题后进行检验 6 6 设 A 是实数集 满足若 a A 则A 且 1 A a 1 1 1 a 若 2 A 则 A 中至少还有几个元素 求出这几个元素 A 能否为单元素集合 请说 明理由 若 a A 证明 1 A 求证 集合 A 中至少含有三个不同的元素 a 1 解解 2 A 1 A A 2 A 2 1 A 中至少还有两个元素 1 和 2 1 如果 A 为单元素集合 则 a 即 0 a 1 1 1 2 aa 该方程无实数解 故在实数范围内 A 不可能是单元素集 a A A A A 即 1 A a 1 1 a 1 1 1 1 11 1 a a a 1 由 知 a A 时 A 1 A 现在证明 a 1 三数互不相等 a 1 1 a 1 a 1 a 1 1 若 a 即 a2 a 1 0 方程无解 a a 1 1 a 1 1 若 a 1 即 a2 a 1 0 方程无解 a 1 a 1 a 1 若 1 即 a2 a 1 0 方程无解 1 a 1 a 1 1 a 1 a 1 1 综上所述 集合 A 中至少有三个不同的元素 点评点评 的证明中要说明三个数互不相等 否则证明欠严谨 7 7 设 M a b c N 2 0 2 求 1 从 M 到 N 的映射种数 2 从 M 到 N 的映射满足 a b f c 试确定这样的映射的种数 fff 解解 1 由于 M a b c N 2 0 2 结合映射的概念 有 一共有 27 个映射 2 符合条件的映射共有 4 个 0222 2 2 0 0 2220 aaaa bbbb cccc 8 8 已知函数的定义域为 0 1 求函数的定义域 f x 1 f x 解解 由于函数的定义域为 0 1 即 满足 f x01x 1 f x 011x 的定义域是 1 0 10 x 1 f x 9 9 根据条件求下列各函数的解析式 1 已知是二次函数 若 求 f x 0 0 1 1ff xf xx f x 2 已知 求 1 2fxxx f x 3 若满足求 f x 1 2 f xfax x f x 解解 1 本题知道函数的类型 可采用待定系数法求解 设 由于得 f x 2 0 axbxca 0 0f 2 f xaxbx 又由 1 1f xf xx 22 1 1 1a xb xaxbxx 即 22 2 1 1axab xabaxbx 因此 21 1 0 2 1 abb aab ab f x 2 11 22 xx 2 本题属于复合函数解析式问题 可采用换元法求解 设 22 1 2 1 1 1 f uuuuu f x 2 1x 1x 3 由于为抽象函数 可以用消参法求解 f x 用代可得 与 1 x x 11 2 ff xa xx 1 2 f xfax x 联列可消去得 1 f x f x 2 33 aax x 点评点评 求函数解析式 1 若已知函数的类型 常采用待定系数法 2 若已知 f x 表达式 常采用换元法或采用凑合法 3 若为抽象函数 常采用代换后消参法 f g x 1010 已知 试求的最大值 xyx623 22 22 yx 分析分析 要求的最大值 由已知条件很快将变为一元二次函数 22 yx 22 yx 然后求极值点的值 联系到 这一条件 既快又准地求 2 9 3 2 1 2 xxfx0 2 y 出最大值 解 由 得xyx623 22 2 0 03 2 3 0 3 2 3 22 22 xxxy xxy 又 2 9 3 2 1 3 2 3 22222 xxxxyx 当时 有最大值 最大值为 2 x 22 yx 4 2 9 32 2 1 2 1 0 1 1 uxxxuu 点评点评 上述解法观察到了隐蔽条件 体现了思维的深刻性 大部分学生的作法如下 由 得 xyx623 22 3 2 3 22 xxy 2 9 3 2 1 3 2 3 22222 xxxxyx 当时 取最大值 最大值为 3 x 22 yx 2 9 这种解法由于忽略了这一条件 致使计算结果出现错误 因此 要注意审题 不仅0 2 y 能从表面形式上发现特点 而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件 既要注意主要的已知 条件 又要注意次要条件 甚至有些问题的观察要从相应的图像着手 这样才能正确地解 题 1111 设是 R 上的函数 且满足并且对任意的实数都有 f x 0 1 f x y 求的表达式 21 f xyf xyxy f x 解法一解法一 由 设 0 1 f 21 f xyf xyxy xy 得 所以 0 21 ff xxxx f x 2 1xx 解法二解法二 令 得即0 x 0 0 1 fyfyy 1 1 fyyy 又将用代换到上式中得 y x f x 2 1xx 点评点评 所给函数中含有两个变量时 可对这两个变量交替用特殊值代入 或使这两个变量 相等代入 再用已知条件 可求出未知的函数 具体取什么特殊值 根据题目特征而定 1212 判断函数的奇偶性 1 1 1 x f xx x 解解 有意义时必须满足 1 1 1 x f xx x 1 011 1 x x x 即函数的定义域是 由于定义域不关于原点对称 所以该函数既不是奇x11x 函数也不是偶函数 13 判断的奇偶性 2 2 log 1 f xxx 正解正解 方法一 1 log 1 log 2 2 2 2 xxxxxf 是奇函数 1 1 log 2 2 xx 1 log 2 2 xx xf xf 方法二 1 log 1 log 2 2 2 2 xxxxxfxf 01log 1 1 log 2 22 2 xxxx 是奇函数 xfxf xf 1414 函数 y 的单调增区间是 2 45xx 解解 y 的定义域是 又在区间上增函数 2 45xx 5 1 2 54g xxx 5 2 在区间是减函数 所以 y 的增区间是 2 1 2 45xx 5 2 1515 已知奇函数f x 是定义在 3 3 上的减函数 且满足不等式f x 3 f x2 3 0 求 x的取值范围 解解 由 故 0 x 66 60 333 333 2 x x x x 得6 又 f x 是奇函数 f x 3 3 x2 即x2 x 6 0 解得x 2 或x 3 综上得 2 x 即A x 2 x 66 1616 作出下列函数的图像 1 y x 2 x 1 2 lg 10 x y 分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难 除去对其函数性质分析外 我们 还应想到对已知解析式进行等价变形 在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思 想 解 1 当 x 2 时 即 x 2 0 时 当 x 2 时 即 x 2 0 时 所以 2 4 9 2 1 2 4 9 2 1 2 2 xx xx y 这是分段函数 每段函数图像可根据二次函数图像作出 见图 2 当 x 1 时 lgx 0 y 10lgx x 当 0 x 1 时 lgx 0 所以 这是分段函数 每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出 见图 点评 作不熟悉的函数图像 可以变形成基本函数再作图 但要注意变形过程是否等价 要特别注意 x y 的变化范围 因此必须熟记基本函数的图像 例如 一次函数 反比例函数 二次函数 指数函数 对数函数 及三角函数 反三角函数的图像 1717 若 f x 在区间 2 上是增函数 求 a 的取值范围 2 1 x ax 解解 设 12 1212 12 11 2 22 axax xxf xf x xx 1221 12 12121221 12 112212 1212 1 2 1 2 2 2 22 22 2 2 22 21 2 2 2 2 axxaxx xx ax xaxxax xaxx xx axxaxxaxx xxxx 由f x 在区间 2 上是增函数得 2 1 x ax a 12 0f xf x 210a 2 1 点评点评 有关于单调性的问题 当我们感觉陌生 不熟悉或走投无路时 回到单调性的定义 上去 往往给我们带来 柳暗花明又一村 的感觉 1818 已知函数f x 在 1 1 上有定义 f 1 当且仅当 0 x 1 时f x 0 且对任意 2 1 x y 1 1 都有f x f y f 试证明 xy yx 1 1 f x 为奇函数 2 f x 在 1 1 上单调递减 解解 证明 1 由f x f y f 令x y 0 得f 0 0 令y x 得f x f x f xy yx 1 f 0 0 f x f x f x 为奇函数 2 1x xx 2 先证f x 在 0 1 上单调递减 令 0 x1 x2 1 则f x2 f x1 f x2 f x1 f 21 12 1xx xx 0 x1 x20 1 x1x2 0 0 21 12 1xx xx 又 x2 x1 1 x2x1 x2 1 x1 1 0 x2 x1 1 x2x1 0 1 由题意知f 0 12 12 1xx xx 21 12 1xx xx 即f x2 0 且a2 a 1 a 2 0 1 421 2 aa a xx 2 1 4 3 1 2x 4x a 0 a 2 1 4 1 xx 当x 1 时 y 与y 都是减函数 x 4 1 x 2 1 y 在 1 上是增函数 max 2 1 4 1 xx 2 1 4 1 xx 4 3 a 故a的取值范围是 4 3 4 3 点评 点评 发掘 提炼多变元问题中变元间的相互依存 相互制约的关系 反客为主 主客换 位 创设新的函数 并利用新函数的性质创造性地使原问题获解 是解题人思维品质高的 表现 本题主客换位后 利用新建函数y 的单调性转换为函数最值巧妙地求出 2 1 4 1 xx 了实数a的取值范围 此法也叫主元法 2323 若 试求的取值范围 11 33 1 32 aa a 解解 幂函数有两个单调区间 1 3 yx 根据和的正 负情况 有以下关系 1a 32a 10 320 132 a a aa 10 320 132 a a aa 10 320 a a 解三个不等式组 得 无解 1 2 3 a 3 2 a 的取值范围是 1 a 2 3 3 2 点评点评 幂函数有两个单调区间 在本题中相当重要 不少学生可能在解题中误认 1 3 yx 为 从而导致解题错误 132aa 2424 已知 a 0 且 a 1 f log a x x 1 2 a a x 1 1 求 f x 2 判断 f x 的奇偶性与单调性 3 对于 f x 当 x 1 1 时 有 f 1 m f 1 m2 0 求 m 的集合 M 分析分析 先用换元法求出 f x 的表达式 再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性 然 后利用以上结论解第三问 解 1 令 t logax t R 则 1 1 22 Rxaa a a xfaa a a tfax xxttt 101 10 0 1 1 1 2 22 aaxfaaaxu a a axfRxxfaa a a xf xx xx 或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数 时当为奇函数且 f x 在 R 上都是增函数 1 1 1 1 0 1 1 3 22 x mfmfRxfmfmf 又上是增函数是奇函数且在 21 11 111 111 2 2 m mm m m 点评点评 对含字母指数的单调性 要对字母进行讨论 对本例的 不需要代入 f x 的表达 式可求出 m 的取值范围 请同学们细心体会 2525 已知函数若时 0 恒成立 求的取值范围 2 3f xxaxa 2 2 x f xa 解解 设的最小值为 f x g a 1 当即 4 时 7 3 0 得故此时不存在 2 2 a a g a 2 f a 7 3 a a 2 当即 4 4 时 3 0 得 6 2 2 2 2 a a g aa 2 4 a a 又 4 4 故 4 2 aa 3 即 4 时 7 0 得 7 又 42 2 a a g a 2 faaa 故 7 4a 综上 得 7 2a 2626 已知有且只有一根在区间 0 1 内 求的取值范围 2 10mxx m 解解 设 1 当 0 时方程的根为 1 不满足条件 2 1f xmxx m 2 当 0 有且只有一根在区间 0 1 内m 2 10mxx 又 1 0 0 f 有两种可能情形 得 2 1 0f m 或者 得不存在 1 1 0 2 f m 且0 0 即 21 xxxxaxxfxF xfx 1 1 21 21111 axxx axaxxxxFxxxFxxxfx 0 21 xxx a 1 01 0 21 axxx 0 1 xfx 综合得 1 xxfx 2 依题意知 又 a b x 2 0 a b xx 1 21 a axax a xxa a b x 2 1 2 1 2 2121 0 01 2 ax 22 11 0 x a ax x 点评点评 解决本题的关健有三 一是用作差比较法证明不等式 二是正确选择二次函数的表 达式 即本题选用两根式表示 三要知道二次函数的图像关于直线对称 此直线为二次函 数的对称轴 即 a b x 2 0 3131 已知函数 且方程有实根 0 1 1 2 2 fbccbxxxf01 xf 1 求证 3 c 1 b 0 2 若 m 是方程的一个实根 判断的正负并加以证明01 xf 4 mf 分析 1 题中条件涉及不等关系的有和方程有实根 1 bc01 xf 及一个等式 通过适当代换及不等式性质可解得 2 本小题只要判断0 1 f 的符号 因而只要研究出值的范围即可定出符号 4 mf4 m 4 mf 1 证明 由 得 1 2b c 0 解得 又 0 1 f 2 1 c b1 bc 1c c 2 1 解得 3 1 3 c 又由于方程有实根 即有实根 01 xf012 2 cbxx 故即解得或0 1 44 2 cb0 1 4 1 2 cc3 c1 c 由 得 0 13 c 2 1 c bb 2 cbxxxf 2 2 1 1 2 xcxcxcx c m 1 如图 01 mf c 4 m 4 3 c 的符号为正 4 mf 点评点评 二次函数值的符号 可以求出其值判断 也可以灵活运 用二次函数的图像及性质解题 3232 定义在R上的函数 f x满足 对任意实数 总有 f mnf mf n 且 m n 当时 0 x 01f x 1 试求的值 0f 2 判断 f x的单调性并证明你的结论 3 设 若 22 1 21 Ax yf xfyfBx yf axyaR 试确定a的取值范围 AB 4 试举出一个满足条件的函数 f x 解解 1 在 f mnf mf n 中 令1 0mn 得 110fff 因为 所以 10f 01f 2 要判断 f x的单调性 可任取 且设 12 x xR 12 xx 在已知条件 f mnf mf n 中 若取 21 mnx mx 则已知条件可化为 2121 f xf xf xx 由于 所以 21 0 xx 21 10f xx 为比较的大小 只需考虑的正负即可 21 f xf x 1 f x 在中 令 则得 f mnf mf n mx nx 1f xfx 时 0 x 01f x 当时 0 x 1 10f x fx 又 所以 综上 可知 对于任意 均有 01f 1 xR 1 0f x 21121 10f xf xf xf xx 函数 f x在 R 上单调递减 3 首先利用的单调性 将有关函数值的不等式转化为不含的式子 f xf 2222 11f xfyfxy 即 即 210f axyf 20axy 由 所以 直线与圆面 22 1xy 无公共点 所以 AB 20axy 2 2 1 1a 解得 11a 4 如 1 2 x f x 点评点评 根据题意 将一般问题特殊化 也即选取适当的特值 如本题中令 以1 0mn 及等 是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段 另外 如果能找到 21 mnx mx 一个适合题目条件的函数 则有助于问题的思考和解决 3333 设为实数 函数 a1 2 axxxfRx 1 讨论的奇偶性 xf 2 求的最小值 xf 解解 1 当时 函数0 a 1 2 xfxxxf 此时 为偶函数 xf 当时 0 a1 2 aaf1 2 2 aaaf afaf afaf 此时既不是奇函数 也不是偶函数 xf 2 i 当时 ax 4 3 2 1 1 22 axaxxxf 当 则函数在上单调递减 从而函数在上的最小值为 2 1 a xf a xf a 1 2 aaf 若 则函数在上的最小值为 且 2 1 a xf a af 4 3 2 1 2 1 aff ii 当时 函数ax 4 3 2 1 1 22 axaxxxf 若 则函数在上的最小值为 且 2 1 a xf a af 4 3 2 1 2 1 aff 若 则函数在上单调递增 从而函数在上的最小值为 2 1 a xf a xf a 1 2 aaf 综上 当时 函数的最小值为 2 1 a xfa 4 3 当时 函数的最小值为 2 1 2 1 a xf1 2 a 当时 函数的最小值为 2 1 a xfa 4 3 点评点评 1 探索函数的奇偶性 可依据定义 通过代入有 xfxf 即 1 1 22 axxaxx axax 可得 当时 函数函数为偶函数 0 a axax xfxf 通过可得 xfxf 1 1 22 axxaxx 化得 此式不管还是都不恒成立 22 2 axaxx 0 a0 a 所以函数不可能是奇函数 2 由于本题中含有绝对值 需要去掉 故分类讨论 既要对二次函数值域的研究方法熟 练掌握 又要将结论综合 对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查 3434 某公司为帮助尚有 26 8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店 借出 20 万元将该商店改 建成经营状况良好的某种消费品专卖店 并约定用该店经营的利润逐步偿还债务 所有债务 均不计利息 已知该种消费品的进价为每件 40 元 该店每月销 售量 q 百件 与销售价 p 元 件 之间的关系用右 图中的一条折线