辽宁省丹东市2020届高三线上教学质量监测 数学（理）试卷（PDF版）

理科数学试题 第 1 页 共 4 页 丹东市 2020 年高三线上教学质量监测 理科数学 本试卷共 23 题 共 150 分 共 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 1 答题前 考生先将自己的姓名 准考证号码填写清楚 将条形码准确粘贴 在条形码区域内 2 选择题必须使用 2B 铅笔填涂 非选择题必须使用 0 5 毫米黑色字迹的签 字笔书写 字体工整 笔迹清楚 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答 超出答题区域书写的答案无 效 在草稿纸 试题卷上答题无效 4 作图可先使用铅笔画出 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑 5 保持卡面清洁 不要折叠 不要弄破 弄皱 不准使用涂改液 修正带 刮纸刀 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设全集 U 0 1 2 3 4 若 A 0 2 3 B 2 3 4 则 UA UB A B 1 C 0 2 D 1 4 2 已知 i 是虚数单位 a b R 则 a b 1 是 a bi 2 2i 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 若 AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线 AB 2 4 AC 1 3 则 AD A 3 7 B 3 7 C 1 1 D 1 1 4 设 a log2e b ln2 c log1 2 1 3 则 A a b c B b a c C b c a D c b a 5 如图所示 是一个空间几何体的三视图 且这个空间几何 体的所有顶点都在同一个球面上 则这个球的表面积是 A 4 B 7 C 16 D 28 2 2 3 3 3 理科数学试题 第 2 页 共 4 页 6 中国古代 易经 一书中记载 远古时期 人们通过在绳子上打 结来记录数量 即 结绳计数 如图 一位古人在从右到左依次 排列的绳子上打结 满五进一 用来记录捕鱼条数 由图可知 这位古人共捕鱼 A 89 条 B 113 条 C 324 条 D 445 条 7 同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币 4 次 设 2 枚硬币均正面向上的次数为 X 则 X 的数学 方差是 A 1 2 B 3 4 C 1 D 3 2 8 已知 m n 表示两条不同直线 表示平面 下列说法正确的是 A 若 m n 则 m n B 若 m m n 则 n C 若 m n 则 m n D 若 m m n 则 n 9 已知 tan 4 1 7 则 cos2 A 7 25 B 7 25 C 24 25 D 24 25 10 将函数 y cos 2x 2 2 的图象向右平移 3 8 个单位长度单位后得函数 f x 图 象 若 f x 为偶函数 则 A f x 在区间 4 2 上单调递减 B f x 在区间 4 2 上单调递增 C f x 在区间 4 2 上单调递减 D f x 在区间 4 2 上单调递增 11 已知直线 l x ay 1 0 是圆 C x2 y2 4x 2y 1 0 的对称轴 过点 A 4 a 作圆 C 的一条切线 切点为 B 则 AB A 4 B 4 2 C 6 D 6 2 12 定义在 R 上的奇函数 f x 又是周期为 4 的周期函数 已知在区间 2 0 0 2 上 f x ax b 2 x 0 ax 1 0 x 2 则 f 2019 f 2020 A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 一个口袋内装有一些大小相同的红球 白球和黑球 从中摸出 1 个球 摸出红球的 概率是 0 3 摸出白球的概率是 0 2 那么摸出黑球的概率是 14 已知 ABC 内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 a b sinA sinB c b sinC 则 A 15 设函数 f x x3 ax2 3 2a x 1 若 f x 在 x 1 处取得极大值 那么实数 a 的取 值范围为 理科数学试题 第 3 页 共 4 页 16 在平面直角坐标系 xOy 中 设双曲线 C 与椭圆 D 的中心都是坐标原点 O 焦点都在 x 轴上 已知 C 的两条渐近线与 D 相交于 M N P Q 四点 F1 F2是 D 的两个焦 点 若 M N P Q F1 F2恰好是一个正六边形的顶点 则的 C 离心率为 D 离心率为 本题第一空 2 分 第二空 3 分 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必 考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 平面 ABCD 点 E 在 PD 上 1 若 E 为 PD 的中点 证明 PB 平面 AEC 2 若 PA 1 PD 2 AB 3 2 三棱锥 E ACD 的体积为 3 8 求二面角 D AE C 的正弦值 18 12 分 2014 年 中央和国务院办公厅印发 关于引导农村土地经营权有序流转发展农业适 度规模经营的意见 要求大力发展土地流转和适度规模经营 某种粮大户 2015 年开始 承包了一地区的大规模水田种植水稻 购买了一种水稻收割机若干台 这种水稻收割机 随着使用年限的增加 每年的养护费也相应增加 这批水稻收割机自购买使用之日起 5 年以来平均每台水稻收割机的养护费用数据统计如下 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 x 1 2 3 4 5 养护费用 y 万元 1 1 1 6 2 2 5 2 8 1 从这 5 年中随机抽取 2 年 求平均每台水稻收割机每年的养护费用至少有 1 年 多于 2 万元的概率 2 求 y 关于 x 的线性回归方程 3 若该水稻收割机的购买价格是每台 16 万元 由 2 中的回归方程 从每台水 稻收割机的年平均费用角度 你认为一台该水稻收割机是使用满 5 年就淘汰 还是继续 使用到满 8 年再淘汰 附 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 b i 1 n xiyi n x y i 1 n xi2 n x2 a y b x A B P E C D 理科数学试题 第 4 页 共 4 页 19 12 分 设 an 是正数组成的数列 其前 n 项和为 Sn 并且对于所有的自然数 n an与 2 的等 差中项等于 Sn与 2 的等比中项 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 8 anan 1 数列 bn 的前 n 项和为 Tn 证明 2 3 Tn 1 20 12 分 已知 A x1 y1 B x2 y2 是抛物线 C y2 2px p 0 上的两点 1 若 y1y2 p2 证明 直线 AB 经过 C 的焦点 F 2 经过点 A B 分别作 C 的两条切线 l1 l2 若 l1与 l2的交点 M 在 C 的准线 l 上 证明 i 直线 AB 经过 C 的焦点 F ii l1 l2 21 12 分 已知函数 f x lnx ax a 1 讨论 f x 的单调性 2 证明 ex sinx xlnx 1 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做 的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为 x m 2t y 5 2t 其中 t 为参数 m 0 以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方 程为 2 5sin l 被 C 截得的弦长为 2 1 求实数 m 的值 2 设 l 与 C 交于点 A B 若点 P 的坐标为 m 5 求 PA PB 的值 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 设函数 f x 1 3 x a 1 若 a 2 解关于 x 的 x 1 3 f x 1 不等式 2 当1 3 x 1 2时 x 1 3 f x x 求实数 a 的取值范围 理科数学答案 第 1 页 共 7 页 丹东市 2020 年高三线上教学质量监测 理科数学答案与评分参考理科数学答案与评分参考 一 选择题 1 B 2 A 3 D 4 B 5 C 6 A 7 B 8 C 9 A 10 D 11 C 12 A 二 填空题 13 0 5 14 2 3 15 3 16 2 3 1 题目详解 1 解 因为全集 U 0 1 2 3 4 A 0 2 3 B 2 3 4 所以 UA 1 4 UB 0 1 因此 UA UB 1 选 B 2 解 当 a b 1 时 a bi 2 1 i 2 2i 反之 若 a bi 2 2i 则有 a b 1 或 a b 1 因此选 A 3 解 由题意可得 AD BC AC AB 1 3 2 4 1 1 选 D 4 解 设 a log2e 1 b ln2 1 c log1 2 1 3 log23 log2e 所以 b a c 选 B 5 解 该空间几何体是底面边长为 3 高为 2 的正三棱柱 它的底面外接圆半径 r 3 球心 到底面距离 d 1 由球截面性质有 R2 r2 d2 4 这个球的表面积是 4 R2 16 选 C 6 解 该图示为五进制数为 324 依题意满五进一 化为十进制数为 4 2 5 3 52 89 选 A 7 解 一次同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币 恰好出现 2 枚正面向上的概率为1 2 1 2 1 4 X 服从二项分布 B 4 1 4 DX 4 1 4 1 1 4 3 4 选 B 8 解 对于选项 A 若 m n 则 m 与 n 可能相交 平行或异面 A 错误 对于选项 B 若 m m n 则 n 或 n 或 n 与 相交 含垂直 都有 可能 B 错误 对于选项 C 根据线面垂直定义 C 正确 对于选项 D 若 m m n 则 n 或 n D 错误 综上答案选 C 9 解 理科数学答案 第 2 页 共 7 页 由题设 tan tan 4 1 tan tan 4 1 7 因为 tan 4 1 所以 tan 4 3 cos2 cos2 sin2 cos 2 sin2 cos2 sin2 1 tan2 1 tan2 7 25 选 A 10 解 由题设 f x cos 2x 3 4 因为 f x 为偶函数 所以 f 0 1 cos 3 4 1 所以 3 4 k 整理得 k 3 4 k Z 因为 2 2 所以 4 从而 f x cos 2x cos2x f x 最小正周期为 区间 4 2 长度为 3 4 大于半个周期 所以 AB 错误 如果 x 4 2 那么 2x 2 cos 2x 单调递减 cos2x 单调递增 C 错误 D 正 确 综上答案选 D 11 解 由于直线 x ay 1 0 是圆 C x2 y2 4x 2y 1 0 的对称轴 所以圆心 C 2 1 在直线 x ay 1 0 上 所以 2 a 1 0 所以 a 1 所以 A 4 1 所以 AC 2 36 4 40 又 r 2 所以 AB 2 40 4 36 所以 AB 6 选 C 12 解 因为 f x 的周期为 4 所以 f 4 x f x 所以 f 4 2 f 2 即 f 2 f 2 因 为 f x 是奇函数 所以 f 2 f 2 f 2 0 从而 f 2 0 所以 2a 1 0 2a b 0 解得 a 1 2 b 1 因为 f x 的周期为 4 所以 f 2019 f 1 1 2 因为 f x 是定义在 R 上的奇函数 所以 f 0 f 0 故 f 0 0 因为 f x 的周期 为 4 所以 f 2020 f 0 0 于是 f 2019 f 2020 1 2 选 A 13 解 在口袋中摸球 摸到红球 摸到黑球 摸到白球这三个事件是互斥的 因为摸出红球的 概率是 0 3 摸出白球的概率是 0 2 且摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件 所以摸 出黑球的概率是 1 0 3 0 2 0 5 14 解 因为 a b sinA sinB c b sinC 由正弦定理 a b a b c b c 化简得 理科数学答案 第 3 页 共 7 页 b2 c2 a2 bc 由余弦定理 cosA b 2 c2 a2 2bc 1 2 因为 0 A 所以 A 2 3 15 解 f x 3x2 2ax 3 2a f 1 0 f x 一个零点为 x1 1 由韦达定理 f x 另一个零点为 x2 1 2a 3 因为 f x 在 x 1 处取得极大值 所以 x 1 时 f x 0 x 1 时 f x 0 因为二次函数 f x 图象是开口向上的抛物线 所以 x1 x2 即 1 1 2a 3 得 a 3 选 A 注 1 应该熟练一元三次函数的图象特点 上面的小题一元三次函数解析式的最高 次项系数为正 可以直接由小根是极大值点即可 因此 1 1 2a 3 得 a 3 选 A 这 个方法仅仅适用于不要解题过程的小题 2 如果知道 可导函数的极大值点的二阶导数小于零 极小值的二阶导数大于零 小题也可用 f x 6x 2a f 1 6 2a 因为 f x 在 x 1 处取得极大值 所以 f 1 0 得 a 3 选 A 这个方法超纲 16 解 双曲线 C 与椭圆 D 中心都是坐标原点 O 焦点都在 x 轴上 由题设 如图可知 C 的一条渐近线倾斜角为 60 斜率为 3 所以 的 C 离心率为1 3 2 2 椭圆 D 的长半轴为 a 半焦距为 b F1F2 c 易知 NF2 c NF1 3c 由 NF1 NF2 2a 得 3 1 c 2a 于是 D 离心率 为c a 2 3 1 3 1 17 解法 1 1 连接 BD 交 AC 于点 O 连接 EO 因为 ABCD 为矩形 所以 O 为 BD 的中点 又 E 为 PD 的中点 所以 EO PB EO 平面 AEC PB 面 AEC 所以 PB 平面 AEC 6 分 2 由题设 AD 3 CD 3 2 所以 ADC 的面积为3 3 4 因为棱锥 E ACD 的体积为 3 8 所以 E 到平面 ABCD 的距离为1 2 因为 PA 平面 ABCD PA 1 所以 E 为 PD 的中点 因为 CD AD CD PA 所以 CD 平面 PAD 在平面 PAD 内过 D 作 DF AE 垂足 是 F 连结 CF 由三垂线定理 CF AE 所以 CFD 是二面角 D AE C 的平面角 在直角 AFD 中 FD 3 2 因为 CD 3 2 所以在直角 CFD 中 CFD 60 于是 O A B P E C D F 理科数学答案 第 4 页 共 7 页 二面角 D AE C 的正弦值为 3 2 12 分 解法 2 1 同解法 1 2 因为 PA 平面 ABCD ABCD 为矩形 所以 AB AD AP 两两垂直 如图 以 A 为坐标原点 AB 的方向 为 x 轴的正方向 建立空间直角坐标系 A xyz 由题设 AD 3 CD 3 2 所以 ADC 的面积为 3 3 4 因为棱锥 E ACD 的体积为 3 8 所以 E 到平面 ABCD 的距 离为1 2 因为 PA 平面 ABCD PA 1 所以 E 为 PD 的中 点 则 A 0 0 0 B 1 0 0 C 3 2 3 0 D 0 3 0 P 0 0 1 E 0 3 2 1 2 AC 3 2 3 0 AE 0 3 2 1 2 设 n x0 y0 z0 为平面 ACE 的法向量 则 n AC 0 n AE 0 即 3 2x0 3y0 0 3 2 y0 1 2z0 0 可取 n 2 3 3 1 3 平面 DAE 的法向量是 AB 1 0 0 于是 cos n AB 1 2 3 3 2 3 3 2 1 2 3 2 1 2 02 02 1 2 所以二面角 D AE C 的正弦值为 3 2 12 分 18 解 1 用 A 表示 抽取的 2 年中平均每台水稻收割机每年的养护费用至少有 1 年多于 2 万元 则基本事件的出现是等可能的 根据古典概型公式得那么 P A C 2 2 C 1 2C 1 3 C2 5 7 10 4 分 2 由题设 x 3 y 2 i 1 5 xiyi 34 3 i 1 5 xi2 55 所以 b 34 3 5 3 2 55 5 32 0 43 a 2 0 43 3 0 71 A B P E C D x y z 理科数学答案 第 5 页 共 7 页 y 关于 x 的线性回归方程为 y 0 43x 0 71 8 分 3 若满 5 年就淘汰 则每台水稻收割机的年平均费用为10 16 5 5 2 万元 若满 8 年就淘汰 则每台水稻收割机的年平均费用为 10 16 0 43 6 7 8 3 0 71 8 37 16 8 4 645 万元 所以使用到满 8 年的年平均费用低于使用到满 5 年的年平均费 因此建议继续使用到满 8 年再淘汰 12 分 19 解 1 由题意an 2 2 2Sn 两边平方整理得 an2 4an 4 8Sn 可知 an 12 4an 1 4 8Sn 1 可得 an 12 an2 4 an 1 an 8an 1 整理得 an 1 an an 1 an 4 0 由 an 0 可得 an 1 an 4 又a1 2 2 2a1 得 a1 2 所以 an 是首项为 2 公差为 4 的等差数列 通项公式为 an 4n 2 6 分 2 由 1 得 bn 8 anan 1 2 2n 1 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 则 Tn b1 b2 b3 bn 1 1 3 1 3 1 5 1 2n 1 1 2n 1 1 1 3 1 2n 1 1 3 1 5 1 2n 1 1 1 2n 1 因为 n N 所以 0 1 2n 1 1 3 2 3 1 1 2n 1 1 于是2 3 Tn 1 12 分 20 解 1 由题设 y1 y2 可设 AB x my a 代入 y2 2px 得 y2 2pmy 2pa 0 当 4m2p2 8pa 0 时 有 y1y2 2pa 因为 y1y2 p2 所以 2pa p2 a p 2 于是直线 AB x my p 2经过 C 的焦点 F p 2 0 6 分 2 i 由题设 l1 l2的斜率存在 分别设为 k1 k2 理科数学答案 第 6 页 共 7 页 则 l1方程为 y y1 k1 x y1 2 2p 将 x y2 2p代入得 k1 2py 2 y k1y1 2 2p y1 0 由 0 得 1 k1y1 p 2 0 k1 p y1 同理 k2 p y2 所以 l1方程可化为 y p y1x y1 2 同理 l2 方程为 y p y2x y2 2 两方程联立得 p y2 y1 y2y1 x y2 y1 2 由题设 y1 y2 所以 x y1y2 2p 因为 M 在 C 的准线 l x p 2上 所以 y1y2 2p p 2 y1y2 p 2 由 1 可知直线 AB 经过 C 的焦点 F ii 因为 k1k2 p2 y1y2 1 所以 l1 l2 12 分 21 解法 1 1 f x 的定义域为 x 0 f x 1 ax x 当 a 0 时 f x 0 f x 在 0 单调递增 当 a 0 时 若 0 x 1 a f x 0 若 x 1 a f x 0 所以 f x 在 0 1 a 单调递增 在 1 a 单调递减 6 分 2 当 a 1 时 由 1 可知 f x f 1 0 得 lnx x 1 所以 xlnx 1 x2 x 1 下面我们证明 ex sinx x2 x 1 设 g x ex sinx x2 x 1 那么 g x ex cosx 2x 1 由 lnx x 1 得 ex 1 x 从而 ex ex 所以 g x e 2 x cosx 1 0 g x 在 0 单调递增 所以 g x g 0 0 于 是 ex sinx x2 x 1 因此 ex sinx xlnx 1 12 分 解法 2 1 同解法 1 2 当 a 1 时 由 1 可知 f x f 1 0 得 lnx x 1 所以 xlnx 1 x2 x 1 设 g x ex x2 1 则 g x ex 2x g x ex 2 当 0 x ln2 时 g x 0 当 x ln2 时 g x 0 所以 g x 在 0 ln2 单调递减 在 ln2 单调递增 所以 g x g ln2 2 1 ln2 0 g x 在 0 单调递增 所以 g x g 0 0 于是 ex x2 1 设 h x sinx x 则 h x cosx 1 0 h x 在 0 单调递增 所以 h x h 0 0 故 sinx x 所以 ex sinx x2 x 1 由 可得因此 ex sinx xlnx 1 12 分 22 解 1 在 x m 2t y 5 2t 中消去 t 得 l 的普通方程为 x y m 5 0 理科数学答案 第 7 页 共 7 页 由 2 5sin 得 x2 y2 2 5y 0 即 x2 y 5 2 5 表示为 0 5 圆心 5为半径 的圆 因为 l 被 C 截得的弦长为 2 由垂径定理得圆心到直线距离为3 2 2 所以3 2 2 0 5 m 5 2 因为 m 0 所以 m 3 5 分 2 直线 l 的参数方程化为 x 3 2 2 t y 5 2 2 t t 为参数 代入 x2 y2 2 5y 0 得 t2 3 2t 4 0 因为 2 0 P 3 5 设 A B 对应的参数分别为 t1 t2 则 t1 t2 3 2 0 t1t2 4 0 所以 PA PB t1 t2 3 2 10 分 23 解 1 当时 a 2 不等式 x 1 3 1 3 x 2 1 的解集是以下三个不等式组解集的并集 x 2 x 1 3 1 3x