内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《空间中的垂直关系》课件.ppt

第四十三讲空间中的垂直关系 走进高考第一关考点关回归教材 1 直线与平面垂直 1 定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直 那么称这条直线和这个平面垂直 记作l 直线l叫做平面 的垂线 平面 叫做直线l的垂面 直线与平面垂直时 它们唯一的公共点p叫做垂足 2 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么该直线与此平面垂直 符号表示 若直线a 平面 直线b 直线l a l b a b a 则l 图形表示 3 重要的真命题 过一点有且只有一条直线与一个平面垂直 过一点有且只有一个平面与一条直线垂直 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 2 平面与平面垂直 1 定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 记作 2 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 符号表示 若直线ab 平面 ab 平面 则 如图所示 3 直线与平面垂直的性质 1 由线面垂直的定义可知 若直线a b 则a b 2 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 符号表示 若a b a 则b 4 平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 符号表示 cd ab ab cd ab cd b 则ab 线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 5 直线与平面所成的角 1 斜线在平面内的射影从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的射影 2 斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 说明 1 一条直线和平面平行或在平面内 我们说它们所成的角是0 的角 2 一条直线垂直于平面 我们说它们所成的角是直角 3 斜线和平面所成的角的范围是 0 90 6 二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫作二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 以直线ab为棱 半平面 为面的二面角 记作 ab 也可记作 ab 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 如图 cod为二面角的平面角 说明 1 二面角的平面角 cod的大小与点o在l上的位置无关 2 构成二面角的平面角的条件 二面角的顶点必须在棱上 角的两边必须分别在两个半平面内 角的两边必须都与棱垂直 这三个条件缺一不可 3 一个二面角的平面角的大小是唯一确定的 考点训练 1 2009 山东 已知 表示两个不同的平面 m为平面 内的一条直线 则 是 m 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 由平面与平面垂直的判定定理知 如果m为平面 内的一条直线 m 则 反过来则不一定 所以 是 m 的必要不充分条件 答案 b 2 给出下列四个命题 若直线l 平面 l 平面 则 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面 则这两个二面角的平面角相等或互为补角 过空间任意一点p一定可以作一个和两条异面直线 点p不在此两条异面直线上 都平行的平面 其中不正确的命题的个数有 a 1b 2c 3d 4 答案 d 解析 命题 是错误的 由l 平面 l 平面 则 与 可能相交 命题 是错误的 各侧面都是正方形 底面是菱形且不为正方形的棱柱不是正棱柱 命题 是错误的 例如正方体abcd a1b1c1d1中 将二面角a1 ad b固定 另一个二面角a bb1 c中 如图所示 将面abb1a1固定 另一个面bcc1b1是绕bb1运动的 始终有面abb1a1 面add1a1 面bcc1b1 面abcd 所以两个二面角的平面角不一定相等或互为补角 命题 是错误的 设两条异面直线为a b 在直线a上任取一点a 过点a作直线b 使 b b 设b 与a确定平面 在 内取不在直线a上的一点p 则过点p是不可能作一个与两异面直线都平行的平面 故选d 3 如图所示 棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 e f是侧面对角线bc1 ad1上一点 若bed1f是菱形 则bed1f在底面abcd上投影四边形的面积是 答案 b 4 2009 江西 如图 正四面体abcd的顶点a b c分别在两两垂直的三条射线ox oy oz上 则在下列命题中 错误的为 a o abc是正三棱锥b 直线ob 平面acdc 直线ad与ob所成的角是45 d 二面角d ob a为45 答案 b 解析 设oa a ob b oc c 由题意 a2 b2 a2 c2 b2 c2 a b c o abc为正三棱锥 故a正确 o在正三角形abc上的射影为它的中心 由a的结论正确 可知od 平面abc交 abc的中心于e 连结be并延长交ac于f 则f为ac的中点 连结df 若ob 解读高考第二关热点关 题型一垂直关系的考查例1已知a b是两条直线 是两个平面 给出下列命题 若直线a垂直于 内两条相交直线 则a 若直线b垂直于平面 内的无数条直线 则b 若a b 则a b 若a b a b 则 其中正确的命题是 答案 解析 由线面垂直的判定定理可知 正确 错误 当直线b与平面 内的无数条直线垂直 而这无数条直线是相互平行的直线时 b与 不一定垂直 由a a 又b a b 故 正确 若a a b 则b 又b 故 正确 点评 解决这类问题的关键就是分清线面位置关系的判定定理和性质定理的条件 并结合长方体模型或实际空间位置作出正确的判断 变式1 1 对于直线m n和平面 能得出 的一个条件是 a m n m n b m n m n c m n n m d m n m n 答案 c 解析 1 如图所示 选一个正方体abcd a1b1c1d1 把ad看做直线m bb1看做直线n 把平面bb1c1c作为平面 平面aa1c1c作为平面 a虽然满足m n m n 但 不垂直于 从而否定a 类似地可否定b和d 因此选c 题型二垂直关系的证明例2 2009 海南宁夏 如图所示 在三棱锥p abc中 pab是等边三角形 pac pbc 90 1 证明 ab pc 2 若pc 4 且平面pac 平面pbc 求三棱锥p abc的体积 解 1 证明 因为 pab是等边三角形 pac pbc 90 所以rt pbc rt pac 可得ac bc 如图 取ab中点d 连结pd cd 则pd ab cd ab 又pd dc d 所以ab 平面pdc 所以ab pc 2 解 作be pc 垂足为e 连结ae 因为rt pbc rt pac 所以ae pc ae be 由已知平面pac 平面pbc aeb 90 因为rt aeb rt peb 所以 aeb peb ceb都是等腰直角三角形 由已知pc 4 得ae be 2 aeb的面积s 2 因为pc 平面aeb 点评 在证明垂直关系时 要利用转化思想 依据垂直的判定定理 性质定理等 将线与线 线与面 面与面之间的垂直与平行相互转化 例3如图 在三棱柱abc a1b1c1中 ab bc bc bc1 ab bc1 e f g分别为线段ac1 a1c1 bb1的中点 求证 1 平面abc 平面abc1 2 ef 平面bcc1b1 3 fg 平面ab1c1 解 1 ab bc bc bc1 ab bc1 b bc 平面abc1 又 bc 平面abc 平面abc 平面abc1 2 在 aa1c1中 e f分别为ac1 a1c1的中点 ef aa1 几何体abc a1b1c1为三棱柱 bb1 aa1 ef bb1 bb1 平面bcc1b1 ef 平面bcc1b1 ef 平面bcc1b1 3 在 aa1c1中 e f分别为ac1 a1c1的中点 变式2 2010 安徽模拟 已知p在矩形abcd边cd上 ab 2 bc 1 f在ab上且df ap 垂足为e 将 adp沿ap折起 使点d位于d 位置 连d b d c得四棱锥d abcp 1 求证d f ap 2 若pd 1并且平面d ap 平面abcp 求四棱锥d abcp的体积 证明 1 ap d e ap ef 又 d e ef是面d ef内两相交直线 ap 平面d ef ap d f 2 pd 1 四边形adpf是边长为1的正方形 题型三垂直关系的综合应用例4 2009 浙江 如图 平面pac 平面abc abc是以ac为斜边的等腰直角三角形 e f o分别为pa pb ac的中点 ac 16 pa pc 10 1 设g是oc的中点 证明 fg 平面boe 2 证明 在 abo内存在一点m 使fm 平面boe 并求点m到oa ob的距离 解 1 证明 如图所示 设pe的中点为h 连结hg hf 因为点e o g h分别是pa ac oc pe的中点 所以hg oe hf eb 因此平面fgh 平面boe 因为fg在平面fgh内 所以fg 平面boe 2 解 在平面oap内 过点p作pn oe 交oa于点n 交oe于点q 如图所示 连结bn 过点f作fm pn 交bn于点m 下证fm 平面boe 由题意 得ob 平面pac 所以ob pn 又pn oe 所以pn 平面boe 因此fm 平面boe 所以点n在线段oa上 因为f是pb的中点 所以m是bn的中点 因此点m在 aob内 点m到oa ob的距离分别为 点评 在应用线面关系的定理过程中要学会找平面做媒介 注意线面 面面的相互转化 1 证明 ab a1c 2 求二面角a a1c b的正切值 解 1 证明 三棱柱abc a1b1c1为直三棱柱 ab aa1 在 abc中 ab 1 ac abc 60 由正弦定理得 acb 30 bac 90 即ab ac ab 平面acc1a1 又a1c 平面acc1a1 ab a1c 2 解 如图所示 作ad a1c交a1c于d点 连结bd 又ab a1c a1c 平面abd bd a1c adb为二面角a a1c b的平面角 在rt aa1c中 点评 计算二面角的关键是准确作出二面角的平面角 从分析构成二面角的图形结构入手 从中发现一些线 面 体的特殊位置关系 找到二面角的平面角 变式3 如图 四棱锥p abcd的底面为正方形 pa 平面abcd pa ab f为pa上的点 1 求证 无论点f在pa上如何移动 都有bd fc 2 若pc 平面fbd 求二面角f bd a的余弦值 解 1 设ac bd o 底面abcd为正方形 ac bd 又 pa 平面abcd pa bd 又pa ac a bd 平面pac 由于f为pa上的点 fc 平面pac bd fc 即无论点f在pa上如何移动 都有bd fc 2 由条件pc 平面fbd f点即为pa的中点 又由 得 bd 平面pac bd ao bd fo foa为二面角p bd a的平面角 不妨设正方形的边长为1 笑对高考第三关技巧关考向精测 1 已知直线l 平面 直线m 平面 有下面四个命题 l m l m l m l m 其中正确的是 a b c d 答案 d 2 如图 四棱台abcd a1b1c1d1的直视图和三视图 底面abcd是边长为2的形 bad 60 a1a d1d a1d1 1 m n分别为a1d1 ad的中点 1 由三视图判断平面aa1d1d与平面abcd的位置关系 只须作出判断 2 求证 bc 平面mnbb1 3 求二面角a1 ab d的余弦值 解 1 平面aa1d1d 平面abcd 2 由条件知四边形aa1d1d为等腰梯形 m n为上下底边的中点 mn ad 又an ab 1 bad 60 abn为直角三角形 bn ad 又mn bn n ad 平面mnbb1 ad bc bc 平面mnbb1 3 如图作a1h ad于点h 在底面abcd上作he ab于点e 连接a1e 平面aa1d1d 平面abcd a1h 平面abcd he ab a1e ab a1eh为二面角a1 ab d的平面角 课时作业 四十三 空间中的垂直关系 一 选择题1 已知平面 平面 c 直线a 直线b a c不垂直 且a b c交于同一点p 则 b c 是 b a 的 a 既不充分也不必要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 充要条件 答案 d 解析 b c b b 又a b a 反之如图 在a上取一点a 作ab c 则有ab ab b 又b a a ab a b b c 即这是一个充要条件 2 已知两条不同的直线m n 两个不同的平面 则下列命题中正确的是 a 若m n 则m nb 若m n 则m nc 若m n 则m nd 若m n 则m n 答案 a 3 如图 正三棱柱abc a1b1c1的各棱长都是2 e f分别是ab a1c1的中点 则ef与平面abc所成角的正弦值为 解析 如图所示 取ac的中点g 连结eg fg 则易得fg 平面abc feg即为直线ef与平面abc所成的角 易知fg 2 eg 1 答案 c 4 若平面 平面 a 平面 平面 平面 平面 则a在平面 内的射影是 a 一条线段b 一条直线c 一个点d 不能确定 答案 c 解析 如图 在 内取一点o a b c 过o作直线oa b ob c 又 oa ob oa a ob a a 故a在平面 内的射影是一个点 5 在正四面体p abc中 d e f分别是ab bc ca的中点 下列结论不成立的是 a bc 平面pdfb df 平面paec 平面pde 平面abcd 平面pdf 平面pae 答案 c 解析 如图 df bc df 平面pdf bc 平面pdf a正确 pb pc ab ac pe bc ae bc 则bc 平面pae 又df bc df 平面pae b正确 df 面pdf 平面pdf 平面pae d正确 故选c 6 在四面体p abc中 若pa pb pc 则点p在平面abc内的射影是 abc的 a 外心b 内心c 垂心d 重心 答案 a 解析 p在平面abc内的射影为o 由pa pb pc 则对应的射影oa ob oc 故o为 abc的外心 选a 二 填空题7 在正方体abcd a1b1c1d1中 二面角c1 ab c的平面角等于 答案 45 解析 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 ab 平面bcc1 bc ab bc1 ab 则 c1bc是二面角c1 ab c的平面角 又 bcc1是等腰直角三角形 则 c1bc 45 8 四边形abcd是正方形 pa 平面abcd 在平面pab pbc pcd pda和abcd中 互相垂直的平面一共有 对 答案 5 解析 如图 已知pa 平面abcd pa 面pab pa 面pda 平面pab 平面abcd 平面pda 平面abcd 又bc ab bc 面pab ad ab ad 面pab 面pad 面pab 面pbc 面pab 又cd ad cd pa cd 面pad 平面pcd 平面pda 故共有5对互相垂直的平面 9 已知直线l 平面 直线m 平面 有下面四个命题 l m l m l m l m 其中正确的命题是 答案 解析 l l 又m l m 故 对 中l有可能平行于m 也可能与m异面 中l l m m 又m 故 对 l l m m 错 正确的命题是 10 已知正三角形abc的边长为10 以过 abc的中心且平行于bc的直线ef为棱 将三角形折成直二面角a ef b 折起后a b间的距离是 三 解答题11 2009 山东 如图 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd为等腰梯形 ab cd ab 4 bc cd 2 aa1 2 e e1分别是棱ad aa1的中点 1 设f是棱ab的中点 证明 ee1 平面fcc1 2 证明 平面d1ac 平面bb