2019-2020学年重庆市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】化简集合，按照并集的定义，即可求解.【详解】， .故选:D【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2已知函数，在下列区间中，函数一定有零点的是（ ）ABCD【答案】B【解析】判断选项中区间端点的函数值是否异号，即可得出结论.【详解】在是连续的增函数， 函数一定有零点,且在区间上.故选:B【点睛】本题考查零点的存在性定理，属于基础题.3计算的结果是（ ）ABCD【答案】B【解析】化简，再用二倍角公式，即可求解.【详解】.故选:B【点睛】本题考查三角函数化简求值，属于基础题.4下列函数为奇函数的是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据奇函数的定义逐项检验即可.【详解】A选项中故不是奇函数，B选项中故不是奇函数, C选项中故不是奇函数, D选项中，是奇函数，故选D.【点睛】本题主要考查了奇函数的判定，属于中档题.5要得到函数的图像，只需将函数的图象（ ）A把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位B把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位C把各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位D把各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位【答案】A【解析】根据三角函数图像伸缩、平移关系，即可求解.【详解】函数的图象各点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图像，再将图像再向右平移个单位，得到函数的图像.故选:A【点睛】本题考查三角函数图像间的变换关系，属于基础题.6已知函数的部分图像如图所示，则的解析式是（）ABCD【答案】B【解析】根据图像的最大值和最小值得到，根据图像得到周期，从而求出，再代入点得到的值.【详解】由图像可得函数的最大值为2，最小值为-2，故根据图像可知，所以，代入点得所以，因为，所以 所以，故选B.【点睛】本题考查根据正弦型函数的图像求函数的解析式，属于简单题.7已知，则，的大小关系是（ ）ABCD【答案】A【解析】利用换底公式化简，而，利用在单调性比较与的大小关系，即可求解.【详解】，.故选:A【点睛】本题考查比较数的大小关系，涉及到对数换底公式、对数函数和正弦函数的单调性，属于中档题.8已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】问题转化为，求出在上的最小值，而为或，解不等式组，即可求解.【详解】，当时最小值为-1对任意，总存在，使得成立，只需，即，而为或，只需，解得.故选:A【点睛】本题考查不等式存在成立和恒成立问题，转化为函数的最值是解题的关键，属于中档题.9已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】令，要使已知函数的值域为，需 值域包含，对二次项系数分类讨论，结合二次函数图像，即可求解.【详解】，当时，不合题意；当时，此时，满足题意；当时，要使函数的值域为，则函数值域包含，解得，综上实数的取值范围是.故选:C【点睛】本题考查复合函数的值域，属于中档题.10函数在区间上的图像大致为（ ）ABCD【答案】B【解析】结合选项对和函数分类讨论去绝对值，即可求解.【详解】.故选:B【点睛】本题考查已知函数求图像，化简函数是解题的关键，属于中档题.11已知函数，给出以下四个命题：的最小正周期为；在上的值域为；的图像关于点中心对称；的图像关于直线对称其中正确命题的个数是（ ）ABCD【答案】D【解析】化简，根据函数的周期，值域，对称性逐项验证，即可求得结论.【详解】周期为，正确； 的值域为，正确；，正确；为的最大值，正确.故选:D【点睛】本题考查三角函数的化简，以及三角函数的性质，属于中档题.12已知函数，若存在实数，使得且，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】做出函数图像，寻求，关系，关系，以及，的范围，把转化为关于或的函数，即可求解.【详解】做出函数图像如下图所示：， 根据三角函数的对称性，+=12，且，=,.故选:D【点睛】本题考查函数有关零点关系式的取值范围，解题关键要确定零点间的关系，转化为求函数的取值范围，属于较难题.二、填空题13已知，则_；【答案】【解析】根据二倍角公式，先求出，再根据的范围，判断符号，即可求解.【详解】，.故答案为:【点睛】本题考查三角函数求值问题，熟记公式是解题关键，属于基础题。14已知，则的值为 【答案】3【解析】【详解】，故答案为3.15若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“阶马格丁香小花花”函数给出下列四个函数：；其中是“阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是_；【答案】【解析】判断函数是否为 “阶马格丁香小花花”，只需判断方程是否有实数解，逐个函数代入验证，即可求解.【详解】，方程为，整理得，无实根，不是“阶马格丁香小花花”函数；，方程为，整理得解得，是“阶马格丁香小花花”函数； ，方程为，整理得，方程无实根，不是“阶马格丁香小花花”函数；，方程为，整理得， 是“阶马格丁香小花花”函数.故答案为:【点睛】本题考查新定义问题，要认真审题，转化为判断方程是否有实数解，属于中档题.16定义在上的函数满足是偶函数，且对任意恒有，又，则_.【答案】1【解析】根据已知条件推导出是周期函数，即可求解.【详解】是偶函数，所以，,的周期为12，.故答案为:1【点睛】本题考查函数的性质，涉及函数的对称性和周期性，属于较难题.三、解答题17（1）若，求值：；（2）计算：.【答案】（1）（2）0【解析】（1）根据诱导公式，化为齐次分式，即可求解；（2）根据对数运算法则、换底公式、对数恒等式即可求解.【详解】解：（1）原式；（2）原式【点睛】（1）考查三角函数的求值，化弦为切是解题的关键，属于基本运算；（2）考查对数计算，熟记有关对数计算公式，属于基础题.18已知集合，集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1）化简集合，即求函数的定义域，化简集合，即解一元二次不等式，按交集定义即可求解；（2）由可得，对集合一元二次不等式分类讨论，即可求解.【详解】解：（1），当时，因此；（2）而，故：1当时，因此满足题意；2当时；3当时；综上的取值范围【点睛】本题考查集合间的关系，考查函数的定义域，和一元二次不等式的解法，属于中档题.19已知函数.（1）求；（2）求的单调递增区间.【答案】（1）（2），【解析】（1）利用两角和正弦公式，降幂公式，辅助角公式化简，即可求解；（2）运用整体思想结合正弦函数的单调递增区间，即可得出结论.【详解】解：（1），因此；（2）令，由，即的单调递增区间为，【点睛】本题考查三角函数的化简求值，以及函数的性质，熟记公式是解题的关键，属于中档题.20已知函数的相邻两对称轴间的距离为，若将的图像先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的函数为奇函数（1）求的解析式；（2）若关于的方程在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1）根据相邻两对称轴间的距离求出值，由函数图像的变换关系，求出函数，再结合是奇函数，即可求出参数；（2）设，原方程在区间上有两个不等实根，转化为方程在内仅有一个根，且另一个根，转化一元二次方程根的分布求参数，或分离参数转化为对勾函数与直线交点横坐标范围，即可求解.【详解】解：（1）由题意知的周期，故，而为奇函数，则，且，而，故，因此；（2）由（1）知，题意等价于在区间上有两个不等实根，令，则题意方程在内仅有一个根，且另一个根法一：令，则题意或；法二：显然不是该方程的根，题意与的图像在内仅有一个交点且另一个交点不为，由于对勾函数在上单减，在上单增，故有或，因此【点睛】本题考查三角函数图像的变换关系，考查函数的零点分布常用的方法，一是直接研究函数与轴交点范围，结合零点存在性定理求出参数范围；二是转化为两个函数交点横坐标的范围.21定义二元函数，如已知二次函数过点，且对恒成立（1）求的值，并求函数的解析式；（2）若函数，求在上的值域【答案】（1）-4，（2）【解析】（1）根据已知设，由新定义得，已知不等式转化为，恒成立，得出，求出关系，结合已知转化的不等式恒成立，求出值，即可求解； （2）求出，利用换元转化为求二次函数的值域.【详解】解：（1）设，由，令，得，由得，于是，由题：，检验知此时满足，故；（2）由题知，令，显然在上单增，故当时，则，因此也即在上的值域为【点睛】本题考查新定义函数，认真审题领会题意，考查一元二次不等式恒成立求参数，考查换元法等价转化求二次函数的值域，属于较难题.22已知定义在的奇函数满足：；对任意均有；对任意，均有.（1）求的值；（2）利用定义法证明在上单调递减；（3）若对任意，恒有，求实数的取值范围.【答案】（1）0（2）见解析（3）【解析】（1）用赋值法令，即可求解；（2）根据函数的单调性定义，设，比较大小，做差，利用条件等式转化为一个函数值，或对按已知等式赋值将函数值的差转化为一个函数值，判断该函数值的正负，即可得出结论；（3）根据已知条件求出或，利用函数的单调性，不等式转化为对任意,不等式或者恒成立，令，则，则不等式等价于或对任意恒成立，转化二次函数最值的不等量关系，即可求解.【详解】解：（1）在中，令；（2）由题知：对任意都有，且对任意均有证一：任取，则，因为，所以，所以，即即，也即在单调递减；证二：任取，设，则，因为，所以，即，也即在单调递减；（3）在中令，令，而为奇函数，故，又在及上均单调递减，因此原不等式等价于对任意，不等式或者恒成立，令，则，则不等式等价于或对任意恒成立，法一：令，立