§3 分式线性映射.doc

订装 教 案3 分式线性映射(分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射)1、 定义：由分式线性函数 (为复常数且) (6.4)构成的映射，称为分式线性映射。注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合：，,因为：当时,(6.4)式变为 ,可以看做和的复合.当时，(6.4)式变为它可以看作，,参与的复合。(由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点)(1) 平移映射：, ( b为复数) (从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释)bwCz作用：将点z沿向量b的方向平行移动距离就得到w.(注意：点即向量)同样可以将曲线C上沿b的方向平行移动距离| b|zwC(2) 旋转映射： (为实数) 设,则有,因此只需将点z的绕原点旋转角度即可得到w.同样将曲线C进行旋转角度。(3) 相似映射：zwC设,则,因此只需将点z的模伸长或缩短r倍即可得到w，而辐角不变.，也可以将曲线放大或缩小(4) 反演映射：当点z在单位圆外部时，此时，故,即w位于单位圆内部。当点z在单位圆内部时，此时，故,即w位于单位圆外部。所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。规定：反演映射将映射成,将映射成。2、 分式线性映射的性质1）保形性定理6.5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射。也就是说，分式线性函数在扩充复平面上既是保角的，也具有伸缩率不变性。2）保圆性约定：直线是作为圆的一个特例，即直线是半径为无限的圆。定理6.6 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。(这里的圆包括直线和一般所指的半径为有限的圆周)注意：（1）如何判断分式线性映射将圆映射成圆还是直线呢？在分式线性映射下，当z平面上的圆C上有一点被映射成无穷远点，即这个圆经过无穷远点，那么这条曲线C就被映射成直线。如果圆C上没有点被映射成无穷远点，那么圆C就被映射成半径为有限的圆。补充：区域D的边界的方向规定：当一个人沿着区域D的边界行走时，区域D始终在这个人的左手边，那么这个人行走的方向为边界的方向。例：求实轴在映射下的像曲线;(由于实轴过无穷远点，所以实轴可以看做是半径为无限大的圆)解：在实轴上取三点：,则对应的三个像点为：.实轴的像经过,且为圆，因此像曲线为.xyuv1O2O1由于实轴的方向是自左向右，那么它的像曲线的方向如何确定呢？显然，当是沿着实轴的正方向取值的，所以在圆周上的排列顺序就是的方向：即顺时针方向。或者用下面的方法：当取上半平面点时,因此上半平面被映射为圆：的内部。实轴作为上半平面的边界，上半平面在实轴的左手边，所以圆：的内部应在圆周的左手边，这样圆周：的方向为顺时针方向。例：求区域在映射下的像。解：（解题思路：考虑区域D的边界在映射w的像，其次再考虑区域D的像）11iC1C2iAB(首先，画出区域D)区域D如图所示：首先映射w将i,i分别变成0和，所以w将C1,C2分别映射成过原点的两条射线，方向为从原点指向无穷远点，的方向为从无穷原点指向原点。由于C1,C2在z=i处的夹角为,所以根据分式线性映射的保角性，在w=0处的夹角为。映射w将z=0映射成w=1,所以将过三点的线段AB映射成过的左半实轴。方向为自右向左。由于C1和AB的夹角为135度，所以和左半实轴的夹角为135度。同样C2和AB的夹角为135度，所以和左半实轴的夹角为45度。综合上述讨论，可以画处区域D的像区域。3）保对称点性定义：设某圆的半径为R，A、B两点再从圆心出发的射线上且则称A和B是关于圆周对称的。定理6.7 设关于圆C对称，则在分式线性映射下，它们的像点关于C的像曲线对称。注：圆C可以为直线。三、惟一决定分式线性映射的条件定理6.8 在z平面上任给三个不同的点,在w平面上也任给三个不同的点,，则存在惟一的分式线性映射，把分别依次地映射为,，并且 (6.10)推论6.1 如果或中有一个为，则只须将对应点公式中含有的项换为1.例：求将对应地变成的线性变换。解：设,对应的点为则所求线性变换为即为 整理得推论6.2 设是一分式线性映射，且有以及，则它可表示为 (k为复常数) 特别地，当时，有 (6.11)注意：这个公式能把过点的弧映射成过原点的直线,即将映射成原点，映射成。说明：在处理边界由圆周、圆弧、直线、直线段所围成的区域的共形映射问题时，分式线性变换起着十分重要的作用。例：将区域映射为第一象限，求映射函数。解：（解题思路：考虑区域D的边界在映射w的像，其次再考虑区域D的像）xy11 D区域D的边界为，其方向如图所示，是过1和1的两个弧。而第一象限的边界为两条射线：实半轴和虚半轴。这两条射线的交点分别为0和。所以我们可以考虑应用推论6.2，先构造一个分式线性函数使1变为0，使1变为，从而将映射为从原点出发的两条射线，由公式(6.11)，有 由于是沿实轴从1到1，所以它被映射为负实半轴，方向为从0到沿负实半轴到。由保角性可知，被映射为下半虚轴，方向为从到0。由于D在的左方，所以同时在、的左方的区域应为第三象限。即将区域D映射成平面的第三象限。将第三象限逆时针旋转180度，即得结果： 四、两个典型区域间的映射这里的两个典型区域是指上半平面和单位圆域；1）能将上半平面映射为单位圆内部；它的反函数就将单位圆内部映射成上半平面。 说明：它同时也将下半平面映射为单位圆外部。判断方法：当取上半平面点时，的值为单位圆内部。2）一般地， （其中为上半平面任一点）能将上半平面映射为单位圆内部。它的反函数就将单位圆内部映射成上半平面。说明：上半平面的边界为实轴，被映射为单位圆。被映射为，被映射为。由于与关于实轴对称，根据保对称点定理6.7,与关于单位圆对称。3) （其中为单位圆内任一点）把单位圆内部映射为单位圆内部。说明：映射将单位圆映射为单位圆。被映射为。被映射为。与关于单位圆对称，所以根据保对称点定理6.7，与关于单位圆注意：上面三种映射是比较重要的，在将一些其他区域映射成单位圆的内部时，常常先将其映射成上半平面，然后在变为单位圆内部。例：求一分式线性映射，将区域映射为区域,并满足.解：(分析：我们已经知道上