数形结合与不等式.doc

数形结合与不等式在不等式的题目中有一些题目专门考查同学们的数形结合能力，而且有些题目我们必须得用数形结合才能解，这些题目都有一些比较明显的特征，所以我们给大家展示出这些题目的特点，然后告诉大家如何用数形结合的方法进行求解。应用数形结合的典型问题有三大类： 一,解不等式，二.已知不等式组求参数的范围. 三 求参数的取值范围使不等式（能、恰、恒）成立 一.解不等式 这一类题目的特征就是不等式两边的表达式不能转化成我们所熟悉的形式，它一般是结合了指数和对数的形式，然后与一般的一次或二次函数比较大小，这时候我们只能用数形结合的方法进行求解。同学们可能觉得直观的作出函数图形并得不出准确的解，但是这类题一般都是以选择题的形式出现，所以我们可以判断出解的大致范围就可以找出正确答案了。思路是这样的：第一步：确定我们要做的是哪些函数的图像，然后写出这些函数表达式。既然是比较两个表达式的大小，我们就把不等式左边写成y=f(x)，右边写成y=g(x)的形式第二步：做出和的函数图像第三步：根据不等式的条件判断满足不等式的区域，这个区域就是不等式的解集，我们要求的就是的图像在的上方时 x的取值范围 例1设函数f(x)，若f(x0)1，则x0的取值范围是（ ）(A) (1，1) (B) (1，)(C)(，2)(0，) (D) (，1)(1，)解：画出分段函数f(x)及直线y1的图象，如图(图1)，可知当x01或x01时，有f(x0)1，而选(D)例2使log2(x)x1成立的x的取值范围是_解：在同一坐标系作出ylog2(x)及yx1，由图象(图2)知1x0，故填(1，0)例3不等式x的解集是 解：在同一坐标系中，作出y，yx的图象，由图(如图3)知2x4，故应填(2，4 例4 解不等式|x23x|4 解：在直角坐标系中作出y|x23x|与y4图象，如图(如图4)A(，0 B(，1 C2,1 D2,0可知，原不等式的解集是x|x1或x4二.已知不等式组求参数的范围.第二类题目有一个很明显的特征，那就是给出一个不等式组，根据不等式组我们可以求出x,y的取值范围，在这个区域内让你求一个表达式的最值或范围 这类题目的思路是这样的：第一步：由给定的不等式条件求出x,y所在的区域第二步：把要求的表达式转化成y=f(x)的形式，并把这个所求的量看成是一个参数第三步：在这个区域内作出f(x)的图像第四步：求出这个参数的最值例5:若x, y满足条件，则的最大值是多少？第一步：在根据已知的条件，我们知道x,y的范围是在y轴的右侧，根据 我们可知x,y应该在直线的下方，再由第三个条件知道x,y应该在直线的上方，由这三个已知条件我们可以求出x,y的区域，如图所示的阴影部分：第二步：我们把要求的表达式：转化成y=f(x)的形式，即： ，这时候就是直线在y轴上的2倍截距，Z最大也就是直线的截距最大。第三步：在阴影部分内作出函数的图像第四步：当直线过直线与直线的交点A(1,1)时截距最大，最大值为2.5，所以Zmax=5。例6：实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：（1）点（a,b）对应的区域的面积；（2）的取值范围；（3）(a-1)2+(b-2)2的值域思路精析：列出a,b满足的条件画出点(a,b)对应的区域求面积根据的几何意义求范围根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内，由此可得不等式组 由，解得A（-3，1）由，解得C（-1，0）在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为ABC（不包括边界）（1）ABC的面积为（h为A到Oa轴的距离）（2）几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率由图可知（3）(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方，注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（1）连线的斜率；（2）之间的距离；（3）ax+by对应直线的斜率只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法三 求参数的取值范围使不等式（能、恰、恒）成立已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是 () A(，0 B(，1 C2,1 D2,0解析函数y|f(x)|的图象如图当a0时，|f(x)|ax显然成立当a0时，只需在x0时，ln(x1)ax成立比较对数函数与一次函数yax的增长速度 显然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立当a0时，只需在x0时，x22xax成立即ax2成立，a2.综上所述：2a0.故选D. f(x)=(x2)2例7.已知函数f(x)=x2+2x+1，若存在实数t，当x1，m时，f(x+t)x恒成立，则实数m的最大值是（ ） 解： f(x)=(x+1)2，令y=x，依题意，则在区间1，m上f(x+t)的图象在直线y=x下方 ， 由图形可知，当f(x+t)=(x2)2时，实数m的值最大， 解方称(x2)2=x，得x=1，4 即m的最大值4，故选C y=x f(x)=(x+1)2 例8. 已知，欲使不等式恒成立，求实数c的取值范围。 分析：欲使恒成立， 即 恒成立， 故 。 于是问题转化为求知，当直线图2 故 。例9：设函数f(x)=exex（）求证：f(x)的导数f(x)2；（） 若对所有x0都有f(x)ax，求a的取值范围）：利用导数研究f(x)的性状， f(x)=exexf(x)= ex+ex0，函数f(x)当x0时单调递增，Y=ax又函数f(x)当x0时也单调递增