《等腰直角三角形在相似中的应用》教学案例

等腰直角三角形在相似中的应用等腰直角三角形在相似中的应用 教教 材 材 人教版义务教育课程标准实验教科书 数学 九年级下 册 授课教师 授课教师 东湖开发区花山中学 李丽 教材地位 分析 教材地位 分析 本节课是第 27 章相似三角形的判定的综合课程 其研究的主要内容是 在等腰直角三角形的组合变化中 借助等腰 直角三角形边的比例关系构造一般三角形相似的模型 它是对相似 三角形的定义 特征 判定的综合利用 与相似三角形相关的几何 问题灵活多变 本节课选取特殊多边形 等腰直角三角形 与相似 三角形的结合的综合几何问题入手 本节内容是学生运用推理能力 数学建模思想的良好素材 也培养了学生的合作精神和探究精神 教学目标 教学目标 1 复习巩固相似三角形的判定及等腰直角三角形的特殊性 2 通过观察 推理等腰直角三角形的组合变化 发展学生演绎推 理能力 提高数学模型思想 3 学生在充分经历观察 猜想 推理 验证 交流等活动中 获 得成功的体验 调动主动学习的积极性 感受数学学习的乐趣 在小组交流活动中 培养学生的合作精神 探索精神 教学重难点 教学重难点 重点 通过观察 猜想等腰直角三角形的组合变化 建立数学模型 难点 灵活利用数学模型 解决问题 教学过程 问题与情境师生活动设计意图 情境引入 情境引入 利用幻灯片展示两个等腰直角 三角形的旋转变化 任务一任务一 1 如图 ABC 和 ADE 是 等腰直角三角形 CBA ADE 90 1 证明 ABC ADE 2 求出 BD CE 2 ABC 固定不动 将 ADE 绕 A 点顺时针旋转得到如图所 示 判断的值是否发生变化 BD CE 教师提醒 请注意观察图 中两个阴影三角形 并猜 想线段 BD 与 CE 的数量关 系 学生观察 猜想 1 分钟小组交流 全班共同交流猜想 教师提出问题 学生口头 回答 1 学生大胆猜想 BD CE 2 2 学生推理验证 利用 旋转角相等 BAD CAE 利用 SAS 证明 BAD CAE 3 教师提问 观察 BAD 与 CAE 的边 有什 么特点吗 4 引导学生归纳 BAD 的边 AB AD 分别是 为 任务一任务一 做准备 本 节课直接导入 简洁明快 使学生更容易进入学习状态 先自主思考 再小组合 作探究 复习巩固 1 三角形相似的三种判 定方法 AA SAS SSS 2 等腰直角三角形三边 之比为 1 1 2 通过任务一引出本节课 的内容 为学生能够积 极主动投入到探索活动 作铺垫 此题可以很直观的观察 到 BAD CAE 要求学生独立学习 获 得由两个等腰直角三角 形的边的比例关系构造 的一般三角形相似的初 步认识 为学生建立模 型打下基础 归纳归纳 由由 任务一任务一 你得到你得到 了什么启发 了什么启发 3 当 ADE 继续旋转 结论 会发生变化吗 任务二任务二 如图 ABC 为等腰三角形 点 D 为斜边上一点连 CD DE CD DE CD 连 AE 求证 AE BC 等腰 Rt ABC 与等腰 Rt ADE 的直角边 ACE 的边 AC AE 分别是 等腰 Rt ABC 与等腰 Rt ADE 的斜边 小组讨论 1 分钟 学生小组讨论探究后 全 体同学与教师共同完善解 题过程和结论 学生进行小组交流与探究 进一步论证自己的猜想 教师深入小组参与活动 引导学生建立数学模型 利用等腰直角三角形边的利用等腰直角三角形边的 比例关系构造一般三角形比例关系构造一般三角形 相似 相似 大直 小直 大斜 小斜 利用同类型边同类型边的比值相等 构造一般相似三角形 引导学生思考 若证明 AE BC 一般有两种常见思 路 证明 EAB 45 证明 EAC 90 思路 1 中利用基本相似模 型 8 字形构造二次相 似 证明 EAD ECD 45 思路 2 中 EAC 所在三 角形为 ACE 其中 AC CE 分别为 ABC CDE 的直角边 斜边 将其统一变成斜边 或者直角边 即 1 过 C 点作 AB 的垂线 使 通过问题的探究让学生 加深对构造一般三角形 相似的本质特征的理解 鼓励学生积极参与 合 作交流 用自己的语言 表达所建数学模型 培 养学生归纳 总结能力 及建模能力 建模能力 让学生体会 由不同等 腰直角三角形的同类型 边构造的两个一般三角 形相似 利用 任务一任务一 所建模型 拓展应用 实现模型应用 环环相扣 利用等腰直角三角形角 与边的特殊性 从不同 观点出发 得到多种解 题思路 一题多解 从多角度作辅助线分析 任务三任务三 如图 分别以锐角 ABC 的边 AB BC CA 为斜边向外做等腰 直角三角形 DAB EBC FAC 连接 AE DF 探究 AE 与 DF 的关系 并证 明 AC 由 直角边直角边 变成变成 斜边斜边 构造新的等腰 直角三角形 2 过 E 点作 CE 的垂线 使 CE 由 斜边斜边 变成变成 直角边直角边 构造新的等 腰直角三角形 利用幻灯片展示模型 学生猜想 AE DF 且 AE DF 思路一 证明 AE DF 即证 明两条线段所在三角形全等 由于 ABC 的任意性 要找 到相等的边只能在同一个等 腰直角三角形中 因此思路 一行不通 思路二 利用三角形相似 AE 所在的三角形 ACE ABE 不可能与 DF 所在的三 角形 ADF 相似 考虑构造 中间桥梁线段 不妨以 ACE 为目标三角 形进行线段的转换 ACE 的边 CE 是等腰直角 BCE 的直角边 AC 是等腰直角 ACF 的斜边 要构造同类型 边的比值 即将 CE 由直 角边变为斜边 过 E 点作 BC 的垂线 此时构造的三角 形与 ADF 没有关联 将 AC 由斜边变为直角边 过 A 点作 AC 的垂线交 CF 的延 长线与 G 点 此时构造的三 角形 ACG 正好与 ADF 关 联 小组类比思路二 合作思考 是否有其他解题思路 还可以以 ABE 为目标三 优化解题思路 巩固数学模型 拓展思 路 多角度分析 优化学生 解题思路 通过不断分析自我的思 考过程 结论 让学生 从事归纳 类比的学习 活动 提高学生合情的 推理能力 小结小结 师生共同小结 主要围绕下列 几个问题 1 等腰直角三角形的边与角 有什么特殊性 2 由等腰直角三角形的组合 变化 可得到怎样的数学 模型 3 课后作业课后作业 已知点 P 是正方形 ABCD 边 BC 上一点 连 AP 作 PE AP 且 PE AP 连 CE AE AE 交 CD 于 F 1 必做题 如图 求 ECF 的度数 2 选做题 如图 连 AC 求证 AC CE PC 2 角形进行线段的转换 还可以以 ADF 为目标三 角形进行线段的转换 学生独立思考 自我 反思与小组合作交流 教 师适时点拨总结并布置分 层作业 对