高考数学 专题辅导与训练 2.4《导数的综合应用》课件 文.ppt

热点考向1利用导数解决不等式恒成立问题 例1 15分 2011 浙江高考 设函数f x a2lnx x2 ax a 0 1 求f x 的单调区间 2 求所有的实数a 使e 1 f x e2对x 1 e 恒成立 注 e为自然对数的底数 解题指导 1 先求f x 再解不等式f x 0 f x 0 所以 3分由于a 0 所以f x 的增区间为 0 a 6分减区间为 a 8分 2 由题意得f 1 a 1 e 1 即a e 由 1 知f x 在 1 e 内单调递增 10分要使e 1 f x e2对x 1 e 恒成立 只要 14分解得a e 15分 利用导数解决不等式恒成立问题的常用思想方法及步骤 1 分离参数法 第一步 将原不等式分离参数 转化为不含参数的函数的最值问题 第二步 利用导数求该函数的最值 第三步 根据要求得所求范围 2 函数思想法 第一步 将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题 第二步 利用导数求该函数的极值 最值 第三步 构建不等式求解 已知函数 1 求函数的单调递增区间 2 若不等式f x g x 在区间 0 上恒成立 求k的取值范围 解析 1 令g x 0 得0 x e 故函数的单调递增区间为 0 e 2 由得则问题转化为k大于等于h x 的最大值 又令h x 0时 当x在区间 0 内变化时 h x h x 变化情况如下表 由表知当时 函数h x 有最大值 且最大值为因此 热点考向2利用导数证明与函数相关的不等式问题 例2 12分 2011 济南模拟 已知函数f x alnx ax 3 a r 1 求函数f x 的单调区间 2 当a 1时 证明在 1 上f x 2 0 3 求证 解题指导 1 先求f x 再根据a的取值范围 求出f x 的单调区间 2 由a 1 得到f x 再由 1 中f x 在 1 上的单调性证明 3 由 2 得到关于x的不等式变形作为依据进而证明 规范解答 1 根据题意知 1分当a 0时 f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 2分 当af 1 即f x 2 f x 2 0 3 由 2 得 lnx x 3 2 0 即 lnx x 1 0 lnx x 1对一切x 1 恒成立 8分 n 2 n n 则有0 lnn n 1 10分 12分 变式备选 若将本例 3 中不等式变为 试证明 证明 由例2 3 知lnx x 1 对一切x 1 恒成立 令即所以 相加得 ln2 ln1 ln3 ln2 ln n 1 lnn 即 利用导数证明与分式 指数式 对数式 函数等相关的不等式的步骤 第一步 根据待证不等式的结构特征 定义域以及不等式的性质 将待证不等式化为简单的不等式 第二步 构造函数 第三步 利用导数研究该函数的单调性或最值 第四步 根据单调性或极值得到待证不等式 设常数a 0 函数f x x ln2x 2alnx 1 x 0 1 令g x xf x x 0 求g x 的最小值 并比较g x 的最小值与零的大小 2 求证 f x 在 0 上是增函数 3 求证 当x 1时 恒有x ln2x 2alnx 1 解析 1 f x x lnx lnx 2alnx 1 x 0 g x xf x x 2lnx 2a x 0 令g x 0 得x 2 列表如下 g x 在x 2处取得极小值g 2 2 2ln2 2a 即g x 的最小值为g 2 2 2ln2 2a g 2 2 1 ln2 2a ln20 又a 0 g 2 0 2 由 1 知 g x 的最小值是正数 对一切x 0 恒有g x xf x 0 从而当x 0时 恒有f x 0 故f x 在 0 上是增函数 3 由 2 知 f x 在 0 上是增函数 当x 1时 f x f 1 又f 1 1 ln21 2aln1 1 0 f x 0 即x 1 ln2x 2alnx 0 x ln2x 2alnx 1 故当x 1时 恒有x ln2x 2alnx 1 热点考向3利用导数解决与函数有关的方程解的问题 例3 2011 皖南八校联考 已知f x x2 3x 1 1 a 2时 求y f x 和y g x 的公共点个数 2 a为何值时 y f x 和y g x 的公共点个数恰为两个 解题指导 先将两图象公共点问题转化为方程组的解的个数问题 再转化为关于x的方程的解的个数问题 进而构建函数 利用导数研究其极值 单调性 进而作出其图象 从而数形结合求解 规范解答 1 当a 2时 联立得整理得x3 x2 x 2 0 x 1 即联立求导得y 3x2 2x 1 0得x1 1 得到极值点分别在 1和处 且极大值 极小值都是负值 图象如图1 故交点只有一个 2 联立得整理得a x3 x2 x x 1 即联立对h x 求导可以得到极值点分别在 1和处 画出草图2 当a h 1 1时 y a与y h x 仅有一个公共点 因为 1 1 点不在y h x 曲线上 故时恰有两个公共点 互动探究 若本例 2 中 公共点个数恰为3个 则实数a的取值范围如何 解析 由例3中图2知 当时 恰有3个公共点 1 利用导数研究高次式 分式 指数式 对数式方程解的个数问题的一般思路 1 将问题转化为函数的零点问题 进而转化为函数的图象与x轴 或直线y k 在该区间上交点问题 2 利用导数研究出该函数在该区间上单调性 极值 最值 端点值等性质 进而画出其图象 3 结合图象求解 2 证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤 第一步 利用导数证明该函数在该区间上单调 第二步 证明端点值异号 设函数f x x3 ax2 a2x 5 a 0 当函数f x 有两个零点时 求a的值 解析 由f x 0得x a或由f x 0得 所以函数f x 的增区间为 a 减区间为即当x a时 函数取极大值f a a3 5 当时 函数取极小值又所以函数f x 有两个零点 当且仅当f a 0或注意到a 0 所以即a 3为所求 转化与化归思想 解决分式 高次式 指数式 对数式不等式与方程问题 利用导数解决分式 高次式 指数式 对数式不等式 方程问题类型 1 与分式 高次式 指数式 对数式函数有关的不等式恒成立问题 2 与分式 高次式 指数式 对数式函数有关的不等式的证明问题 3 与分式 高次式 指数式 对数式函数有关的函数图象交点问题 4 与分式 高次式 指数式 对数式函数有关的函数的零点问题 5 与分式 高次式 指数式 对数式函数有关的方程的解的个数问题 求解时注意的问题 1 以上问题在求解时 要根据待解决问题的特点 不管转化为函数的单调性 最值问题 还是转化为画函数的图象的问题 最终转化为利用导数研究函数的单调性 极值 最值 问题而求解 2 转化过程中要注意转化的等价性 对含参数的不等式 方程求解过程中注意分离参数及分类讨论 画函数的草图时 注意端点及与轴的交点的位置 典例 12分 2011 辽宁高考 设函数f x x ax2 blnx 曲线y f x 过p 1 0 且在p点处的切线斜率为2 1 求a b的值 2 证明 f x 2x 2 解题指导 1 先求导 再代入进行计算 2 构造函数g x f x 2x