高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第六节 双曲线课件 文.ppt

文数课标版 第六节双曲线 1 双曲线的定义平面内与两个定点f1 f2的 距离的差的绝对值等于常数 小于 f1f2 且不等于零 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做 双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做 双曲线的焦距 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a c为常数且a 0 c 0 教材研读 1 当 2a f1f2 时 p点不存在 2 双曲线的标准方程和几何性质 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 平面内到点f1 0 4 f2 0 4 距离之差等于8的点的轨迹是双曲线 2 平面内到点f1 0 4 f2 0 4 距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双曲线 3 方程 1 mn 0 表示焦点在x轴上的双曲线 4 等轴双曲线的渐近线互相垂直 离心率等于 5 双曲线方程 m 0 n 0 0 的渐近线方程是 0 即 0 1 双曲线2x2 y2 8的实轴长是 a 2b 2c 4d 4答案c双曲线2x2 y2 8的标准方程为 1 故实轴长为4 2 双曲线方程为x2 2y2 1 则它的右焦点坐标为 a b c d 0 答案c 原方程可化为 1 a2 1 b2 c2 a2 b2 右焦点坐标为 3 若双曲线e 1的左 右焦点分别为f1 f2 点p在双曲线e上 且 pf1 3 则 pf2 等于 a 11b 9c 5d 3答案b pf1 3 a c 8 故点p在双曲线的左支上 由双曲线的定义得 pf2 pf1 2a 6 所以 pf2 9 故选b 4 ab0和a 0 b0时 方程 1表示焦点在y轴上的双曲线 当a 0 b0 b 0 则ab 0 由此可得 ab 0 是 方程 1表示焦点在x轴上的双曲线 的必要而不充分条件 故选b 5 若点p 2 0 到双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线的距离为 则双曲线的离心率为 a b c 2d 2答案a双曲线的渐近线方程为bx ay 0 点p 2 0 到渐近线的距离为 所以a2 b2 所以c2 2a2 所以双曲线的离心率为 故选a 6 设中心在原点的双曲线与椭圆 y2 1有公共的焦点 且它们的离心率互为倒数 则该双曲线的方程是 答案2x2 2y2 1解析 椭圆的焦点为 1 0 双曲线的焦点为 1 0 椭圆的离心率e 双曲线的离心率e 双曲线中c2 2a2 1 2a2 a2 又双曲线中b2 c2 a2 b2 所求双曲线的方程为2x2 2y2 1 考点一双曲线的定义及标准方程典例1 1 已知f1 f2为双曲线c x2 y2 2的左 右焦点 点p在c上 pf1 2 pf2 则cos f1pf2 a b c d 2 已知双曲线 1 a 0 b 0 和椭圆 1有相同的焦点 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍 则双曲线的方程为 答案 1 c 2 1解析 1 双曲线方程可化为 1 a b c 2 由 考点突破 得 pf1 4 pf2 2 由余弦定理得cos f1pf2 故选c 2 由题易得椭圆焦点为 0 离心率为 在双曲线中有a2 b2 7且e 结合a2 b2 c2解得a2 4 b2 3 双曲线的方程为 1 方法技巧 1 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点 动点 具备的几何条件 即 到两定点 焦点 的距离之差的绝对值为一个常数 且该常数必须小于两定点间的距离 若去掉定义中的 绝对值 则点的轨迹是双曲线的一支 同时注意定义的转化应用 2 求双曲线方程时 一是注意标准形式的判断 二是注意a b c的关系 变式1 1若将本例 1 中的条件 pf1 2 pf2 改为 f1pf2 60 则 f1pf2的面积是多少 解析不妨设点p在双曲线的右支上 则 pf1 pf2 2a 2 在 f1pf2中 由余弦定理 得cos f1pf2 所以 pf1 pf2 8 所以 pf1 pf2 sin60 2 1 2过双曲线c 1的右顶点作x轴的垂线 与c的一条渐近线相交于点a 若以c的右焦点为圆心 4为半径的圆经过a o两点 o为坐标原点 则双曲线c的方程为 a 1b 1c 1d 1 答案a由双曲线方程知右顶点为 a 0 不妨设其中一条渐近线方程为y x 因此可设点a的坐标为 a b 设右焦点为f c 0 由已知可知c 4 且 af 4 即 c a 2 b2 16 所以有 c a 2 b2 c2 得a2 2ac b2 0 又知c2 a2 b2 所以得a2 2ac c2 a2 0 即a 2 所以b2 c2 a2 42 22 12 故双曲线的方程为 1 故选a 考点二双曲线的几何性质命题角度一双曲线的离心率问题典例2 2016山东 14 5分 已知双曲线e 1 a 0 b 0 矩形abcd的四个顶点在e上 ab cd的中点为e的两个焦点 且2 ab 3 bc 则e的离心率是 答案2 解析由已知得 ab cd bc ad f1f2 2c 因为2 ab 3 bc 所以 6c 2b2 3ac 3e 2 e2 1 3e 2e2 3e 2 0 解得e 2 或e 舍去 典例3 1 已知双曲线的渐近线方程为y x 且经过点a 2 3 则双曲线的标准方程为 a 1b 1c 1d 1 2 过双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点f作圆o x2 y2 a2的两条切线 切点为a b 双曲线左顶点为c 若 acb 120 则双曲线的渐近线方程为 a y xb y xc y xd y x 命题角度二双曲线的渐近线问题 答案 1 b 2 a 解析 1 由题意设双曲线的方程为x2 4y2 0 因为点a 2 3 在双曲线上 所以4 4 3 2 解得 32 故双曲线的方程为 1 2 如图所示 c a 0 连接oa ob 设双曲线 1 a 0 b 0 的焦距为2c c 0 则f c 0 由双曲线和圆的对称性知 点a与点b关于x轴对称 则 aco bco acb 120 60 因为 oa oc a 所以 aco为等边三角形 所以 aoc 60 因为fa与圆o切于点a 所以oa fa 在rt aof中 afo 90 aof 90 60 30 所以 of 2 oa 即c 2a 所以b a 故双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程为y x x 典例4 1 中心在原点 焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点 4 2 则它的离心率为 a b c d 2 过双曲线c 1 a 0 b 0 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线 交c于点p 若点p的横坐标为2a 则c的离心率为 答案 1 d 2 2 解析 1 设双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 所以其渐近线方程为y x 因为点 4 2 在渐近线上 所以 根据c2 a2 b2 可得 e2 即e 命题角度三离心率与渐近线的综合问题 2 如图所示 不妨令与渐近线平行的直线的斜率为 又直线过右焦点 c 0 则直线的方程为y x c 把点p的横坐标2a代入双曲线方程得 1 解得y b或y b 点p在x轴下方 故舍去 故点p的坐标为 2a b 代入直线方程得 b 2a c 化简可得离心率e 2 典例5 2015课标全国 5 5分 已知m x0 y0 是双曲线c y2 1上的一点 f1 f2是c的两个焦点 若 0 则y0的取值范围是 a b c d 答案a解析若 0 则点m在以原点为圆心 半焦距c 为半径的圆上 则解得 可知 0 点m在圆x2 y2 3的内部 y0 故选a 命题角度四求参数或变量的取值范围 规律总结 1 求双曲线离心率或离心率范围的方法 一种是直接建立e的关系式求e或e的范围 另一种是建立a b c的齐次关系式 将b用a c表示 令两边同除以a或a2化为e的关系式 进而求解 2 方程 1与 1 当a1 b1 a2 b2时焦距相等 当 时渐近线相同 3 双曲线 1的渐近线方程为 0 2 1已知f是双曲线c 1 a 0 b 0 的右焦点 o是双曲线c的中心 直线y x是双曲线c的一条渐近线 以线段of为边作正三角形aof 若点a在双曲线c上 则m的值为 a 3 2b 3 2c 3 d 3 答案a由题意知 m a在双曲线上 故 1 得m 3 2 舍负 故选a 2 2已知p是双曲线 1右支上任意一点 m是圆 x 5 2 y2 1上任意一点 设p到双曲线的渐近线的距离为d 则d pm 的最小值为 答案9解析设双曲线的左 右焦点分别为f1 f2 根据题意可得d pm d pf1 1 d 6 pf2 1 d pf2 5 结合图象 图略 可知d pf2 的最小值为f2到渐近线的距离 因为f2到渐近线的距离为4 所以d pm 的最小值为9 考点三直线与双曲线的位置关系典例6已知中心在原点的双曲线c的右焦点为 2 0 右顶点为 0 1 求该双曲线c的方程 2 若直线l y kx 与双曲线c左支有两个不同的交点a b 求k的取值范围 解析 1 由题意设双曲线方程为 1 a 0 b 0 由已知得a c 2 再由a2 b2 c2 得b2 1 故双曲线c的方程为 y2 1 2 设a xa ya b xb yb 将y kx 代入 y2 1 得 1 3k2 x2 6kx 9 0 由题意知解得 k 1 k的取值范围为 k 1 方法技巧 1 研究直线与双曲线位置关系问题的方法 将直线方程代入双曲线方程 消元 得关于x或y的方程 当二