高三数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和课件 理.ppt

理数课标版 第二节等差数列及其前n项和 1 等差数列的有关概念 1 定义 如果一个数列从 第2项起 每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 符号表示为 an 1 an d n n d为常数 教材研读 2 等差中项 数列a a b成等差数列的充要条件是 a 其中a叫做a b的 等差中项 2 等差数列的有关公式 1 通项公式 an a1 n 1 d 2 前n项和公式 sn na1 d 3 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m d n m n 2 若 an 为等差数列 且k l m n k l m n n 则 ak al am an 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为2d 4 若 an bn 项数相同 是等差数列 则 pan qbn 也是等差数列 5 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m n 是公差为md的等差数列 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 数列 an n n 为等差数列的充要条件是对任意n n 都有2an 1 an an 2 2 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 3 等差数列的前n项和公式可看作常数项为0的二次函数 4 在等差数列 an 中 若am an ap aq 则一定有m n p q 5 数列 an bn 项数相同 都是等差数列 则数列 an bn 也一定是等差数列 6 等差数列 an 的首项为a1 公差为d 取出数列中的所有奇数项 使其按原顺序组成一个新的数列 则此新数列一定是等差数列 1 若等差数列 an 的前5项之和s5 25 且a2 3 则a7 a 12b 13c 14d 15答案b由s5 25 a4 7 所以7 3 2d d 2 所以a7 a4 3d 7 3 2 13 故选b 2 2016课标全国 3 5分 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 a 100b 99c 98d 97答案c设 an 的公差为d 由等差数列前n项和公式及通项公式 得解得an a1 n 1 d n 2 a100 100 2 98 故选c 3 2015广东 10 5分 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 答案10解析利用等差数列的性质可得a3 a7 a4 a6 2a5 从而a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 故a5 5 所以a2 a8 2a5 10 4 2016北京 12 5分 已知 an 为等差数列 sn为其前n项和 若a1 6 a3 a5 0 则s6 答案6解析设等差数列 an 的公差为d a1 6 a3 a5 0 6 2d 6 4d 0 d 2 s6 6 6 2 6 考点一等差数列的基本运算 考点突破 典例1 1 2015课标 7 5分 已知 an 是公差为1的等差数列 sn为 an 的前n项和 若s8 4s4 则a10 a b c 10d 12 2 等差数列 an 的前n项和为sn 已知a5 8 s3 6 则s10 s7的值是 a 24b 48c 60d 72 答案 1 b 2 b解析 1 由s8 4s4得8a1 1 4 解得a1 a10 a1 9d 故选b 2 设等差数列 an 的公差为d 由题意可得解得则 s10 s7 a8 a9 a10 3a1 24d 48 方法技巧解决等差数列运算问题的思想方法 1 方程思想 等差数列的基本量为首项a1和公差d 通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程 组 求解 2 整体思想 当所给条件只有一个时 可将已知和所求都用a1 d表示 寻求两者间的联系 整体代换即可求解 3 利用性质 运用等差数列性质可以化繁为简 优化解题过程 1 1设sn为等差数列 an 的前n项和 a12 8 s9 9 则s16 答案 72解析设等差数列 an 的公差为d 由已知 得解得 s16 16 3 1 72 1 2已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 的前k项和sk 35 求k的值 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d 因为a1 1 a3 3 所以1 2d 3 解得d 2 则an 1 n 1 2 3 2n n n 2 由 1 知an 3 2n 则sn 2n n2 由sk 35 得2k k2 35 即k2 2k 35 0 解得k 7或k 5 又k n 所以k 7 考点二等差数列的判断与证明典例2 2016天津 18改编 已知 an 是各项均为正数的等差数列 公差为d 对任意的n n bn是an和an 1的等比中项 1 设cn n n 求证 数列 cn 是等差数列 2 设a1 d tn 1 k n n 求tn 解析 1 证明 由题意得 anan 1 有cn an 1 an 2 anan 1 2dan 1 因此cn 1 cn 2d an 2 an 1 2d2 所以 cn 是等差数列 2 tn 2d a2 a4 a2n 2d 2d2n n 1 方法技巧1 等差数列的识别依据 1 若数列 an 是等差数列 则数列 an b 仍为等差数列 公差为 d 2 若 bn an 项数相同 都是等差数列 则 an bn 仍为等差数列 3 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 数列 an 的前n项和sn an2 bn a b为常数 an 是等差数列 2 证明等差数列的两种基本方法 1 定义法 证明an an 1 d n 2 d为常数 2 等差中项法 证明2an an 1 an 1 n 2 2 1 2016东营模拟 已知数列 an 的前n项和为sn 且满足an 2 2an 1 an a5 4 a3 则s7 a 7b 12c 14d 21答案c由an 2 2an 1 an 得an 2 an 2an 1 即数列 an 为等差数列 由a5 4 a3 得a5 a3 4 则s7 14 2 2已知公差大于零的等差数列 an 的前n项和为sn 且满足a3 a4 117 a2 a5 22 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足bn 是否存在非零实数c使得 bn 为等差数列 若存在 求出c的值 若不存在 请说明理由 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 则d 0 由等差数列的性质 得a3 a4 a2 a5 22 所以a3 a4是关于x的方程x2 22x 117 0的解 所以a3 9 a4 13 易得a1 1 d 4 故an 1 n 1 4 4n 3 2 解法一 存在 由 1 知sn 2n2 n 所以bn c 0 所以b1 b2 b3 令2b2 b1 b3 解得c 当c 时 bn 2n 此时 bn bn 1 2 n 2 故存在c 使数列 bn 为等差数列 解法二 存在 bn c 0 要满足题意 需c 得到bn 2n 此时bn 1 bn 2 n 1 2n 2 n n 即数列 bn 是公差为2的等差数列 存在c 使数列 bn 为等差数列 考点三等差数列的性质及最值典例3 1 在等差数列 an 中 a1 29 s10 s20 则数列 an 的前n项和中最大的为 a s15b s16c s15和s16d s17 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知前6项和为36 最后6项的和为180 sn 324 n 6 则n 3 等差数列 an 的前m项和为30 前3m项和为90 则它的前2m项和为 答案 1 a 2 18 3 60解析 1 s10 s20 10a1 d 20a1 d 又a1 29 d 2 sn 29n 2 n2 30n n 15 2 225 当n 15时 sn取得最大值 2 由题意知a1 a2 a6 36 an an 1 an 2 an 5 180 得 a1 an a2 an 1 a6 an 5 6 a1 an 216 a1 an 36 又sn 324 18n 324 n 18 3 由sm s2m sm s3m s2m成等差数列 可得2 s2m sm sm s3m s2m 即s2m 60 方法技巧1 等差数列和的性质 1 s2n n a1 a2n n an an 1 2 s2n 1 2n 1 an 3 当项数为偶数2n时 s偶 s奇 nd 项数为奇数2n 1时 s奇 s偶 an s奇 s偶 n n 1 2 求等差数列前n项和sn最值的两种方法 1 函数法 等差数列前n项和sn an2 bn 通过配方 借助求二次函数最值的方法求解 2 邻项变号法 a1 0 d0时 满足的项数m使得sn取得最小值sm 3 1设sn是等差数列 an 的前n项和 若 则 a 1b 1c 2d 答案a 1 变式3 2若将本例 1 中的条件 a1 29 s10 s20 改为 a1 0 s5 s12 如何求解 解析解法一 由s5 s12得5a1 10d 12a1 66d 则d a1 0 所以sn na1 d na1 a1 n2 17n a1 a1 因为a1 0 n n 所以当n 8或n 9时 sn有最大值 解法二 同解法一得d