高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第六节 双曲线课件 理.ppt

理数课标版 第六节双曲线 1 双曲线的定义平面内与两个定点f1 f2的 距离的差的绝对值等于常数 小于 f1f2 且不等于零 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做 双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做 双曲线的焦距 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a c为常数且a 0 c 0 教材研读 1 当 2a f1f2 时 p点不存在 2 双曲线的标准方程和几何性质 1 双曲线的方程为x2 2y2 1 则它的右焦点的坐标为 a b c d 0 答案c 原方程可化为 1 a2 1 b2 c2 a2 b2 右焦点的坐标为 2 2015福建 3 5分 若双曲线e 1的左 右焦点分别为f1 f2 点p在双曲线e上 且 pf1 3 则 pf2 等于 a 11b 9c 5d 3答案b pf1 3 a c 8 故点p在双曲线的左支上 由双曲线的定义得 pf2 pf1 2a 6 所以 pf2 9 故选b 3 2016天津 4 5分 已知双曲线 1 a 0 b 0 的焦距为2 且双曲线的一条渐近线与直线2x y 0垂直 则双曲线的方程为 a y2 1b x2 1c 1d 1答案a由题意可得解得a 2 则b 1 所以双曲线的方程为 y2 1 故选a 4 若双曲线 1的离心率e 1 2 则m的取值范围为 答案 0 15 解析 e 1 2 即5 5 m 20 故0 m 15 5 2014北京 11 5分 设双曲线c经过点 2 2 且与 x2 1具有相同渐近线 则c的方程为 渐近线方程为 答案 1 y 2x解析根据题意 可设双曲线c x2 0 将 2 2 代入双曲线c的方程得 3 c的方程为 1 渐近线方程为y 2x 考点一双曲线的定义及标准方程典例1 1 已知f1 f2为双曲线c x2 y2 2的左 右焦点 点p在c上 pf1 2 pf2 则cos f1pf2 a b c d 2 已知双曲线 1 a 0 b 0 和椭圆 1有相同的焦点 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍 则双曲线的方程为 考点突破 答案 1 c 2 1解析 1 双曲线方程可化为 1 a b c 2 由得 pf1 4 pf2 2 由余弦定理得cos f1pf2 故选c 2 由题意易得椭圆焦点为 0 离心率为 在双曲线中 有a2 b2 7且e 结合a2 b2 c2 解得a2 4 b2 3 双曲线的方程为 1 方法技巧 1 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点 动点 具备的几何条件 即 到两定点 焦点 的距离之差的绝对值为一个常数 且该常数必须小于两定点间的距离 若去掉定义中的 绝对值 则点的轨迹是双曲线的一支 同时注意定义的转化应用 2 求双曲线方程时 一是注意标准形式的判断 二是注意a b c的关系 1 1 2016课标全国 5 5分 已知方程 1表示双曲线 且该双曲线两焦点间的距离为4 则n的取值范围是 a 1 3 b 1 c 0 3 d 0 答案a 原方程表示双曲线 且焦距为4 或 由 得m2 1 n 1 3 无解 故选a 1 2 2016河北唐山统一考试 焦点在x轴上 焦距为10 且与双曲线 x2 1有相同渐近线的双曲线的标准方程是 答案 1解析设所求双曲线的标准方程为 x2 0 即 1 则有4 25 解得 5 所以所求双曲线的标准方程为 1 变式1 3若将本例 1 中的条件 pf1 2 pf2 改为 f1pf2 60 则 f1pf2的面积是多少 解析不妨设点p在双曲线的右支上 则 pf1 pf2 2a 2 在 f1pf2中 由余弦定理 得cos f1pf2 所以 pf1 pf2 8 所以 pf1 pf2 sin60 2 考点二双曲线的几何性质命题角度一双曲线的离心率问题典例2 2016课标全国 11 5分 已知f1 f2是双曲线e 1的左 右焦点 点m在e上 mf1与x轴垂直 sin mf2f1 则e的离心率为 a b c d 2答案a解析解法一 由mf1 x轴 可得m mf1 由sin mf2f1 可得cos mf2f1 又tan mf2f1 b2 ac c2 a2 b2 b2 c2 a2 c2 a2 ac 0 e2 e 1 0 e 故选a 解法二 由mf1 x轴 得m mf1 由双曲线的定义可得 mf2 2a mf1 2a 又sin mf2f1 a2 b2 a b e 故选a 命题角度二双曲线的渐近线问题典例3 2016广东广州模拟 已知双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍 则其渐近线方程为 a 2x y 0b x 2y 0c 4x 3y 0d 3x 4y 0答案c解析设右焦点为f c 0 且f与双曲线一条渐近线y x的距离为d 则d b 易知右焦点到左顶点的距离为a c 又右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍 所以a c 2b 平方得 a c 2 4b2 4 c2 a2 则a c b c 双曲线的渐近线方程为y x x 即4x 3y 0 故选c 命题角度三离心率与渐近线的综合问题典例4设双曲线的一个焦点为f 虚轴的一个端点为b 如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 a b c d 答案d解析设双曲线的方程为 1 a 0 b 0 设f c 0 b 0 b 则kbf 又双曲线渐近线的斜率k 直线bf与一条渐近线垂直 1 b2 ac 又a2 b2 c2 c2 ac a2 0 e2 e 1 0 e 又 e 1 e 故选d 规律总结 1 求双曲线离心率或离心率范围的两种方法 一种是直接建立e的关系式求e或e的范围 另一种是建立a b c的齐次关系式 将b用a c表示 令两边同除以a或a2化为e的关系式 进而求解 2 方程 1与 1 当a1 b1 a2 b2时焦距相等 当 时渐近线相同 3 双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程为 0 2 1点f是双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 点e是该双曲线的右顶点 过f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a b两点 若 abe是锐角三角形 则该双曲线的离心率e的取值范围是 a 1 b 1 2 c 1 1 d 2 1 答案b不妨设点a在x轴上方 如图 由题意知a点的纵坐标为 若 abe是锐角三角形 则必有 aef1 1 e 2 2 2 2015天津 5 5分 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点为f 2 0 且双曲线的渐近线与圆 x 2 2 y2 3相切 则双曲线的方程为 a 1b 1c y2 1d x2 1答案d由题意知 双曲线的渐近线方程为y x 即bx ay 0 因为双曲线的渐近线与圆 x 2 2 y2 3相切 所以 由双曲线的一个焦点为f 2 0 可得a2 b2 4 所以 b 所以b2 3 所以a2 1 故双曲线的方程为x2 1 故选d 2 3若双曲线 1的离心率为 则其渐近线方程为 a y 2xb y xc y xd y x答案b由离心率为 可知 c2 a2 b2 b a 因此双曲线的渐近线方程为y x x 故选b 考点三直线与双曲线的位置关系典例5已知中心在原点的双曲线c的右焦点为 2 0 右顶点为 0 1 求该双曲线c的方程 2 若直线l y kx 与双曲线c左支有两个不同的交点a b 求k的取值范围 解析 1 由题意设双曲线方程为 1 a 0 b 0 由已知得a c 2 再由a2 b2 c2 得b2 1 故双曲线c的方程为 y2 1 2 设a xa ya b xb yb 将y kx 代入 y2 1 得 1 3k2 x2 6kx 9 0 由题意知解得 k 1 k的取值范围为 k 1 方法技巧 1 研究直线与双曲线位置关系问题的方法 将直线方程代入双曲线方程 消元 得关于x或y的方程 当二次项系数等于0时 直线与双曲线相交于某支上一点 当二次项系数不等于0时 用判别式 来判定 2 用 点差法 可以解决弦中点和弦所在直线斜率的有关问题 3 1设a b分别为双曲线 1 a 0 b 0 的左 右顶点 双曲线的实轴长为4 焦点到渐近线的距离为 1 求双曲线的方程 2 已知直线y x 2与双曲线的右支交于m n两点 且在双曲线的右支上存在点d 使 t 求t的值及点d的坐标 解析 1 由题意知