利用导数处理函数单调性与不等式的证明

试卷第 1 页 总 7 页 1 已知函数 2 x x f x e 求函数的单调区间 f x 设 若在上至少存在一点 使得 2 1 x g xxmx h xe 0 0 x 成立 求的范围 00 g xh x m 2 已知函数 为自然对数的底数 2 1 2lnf xa xx 1 x g xxeaR e 当时 求的单调区间 1a f x 若函数在上无零点 求最小值 f x 1 0 2 a 若对任意给定的 在上总存在两个不同的 使 0 0 xe 0 e i x 1 2 i 成立 求的取值范围 0 i f xg x a 3 已知函数 exf x 点 0 A a为一定点 直线 xt ta 分别与函数 f x的图象和 x轴交于点M N 记AMN 的面积为 S t I 当0a 时 求函数 S t的单调区间 II 当2a 时 若 0 0 2 t 使得 0 eS t 求实数a的取值范围 4 已知 P x y 为函数 1ln x y x 图象上一点 O 为坐标原点 记直线OP的斜率 kf x 1 若函数 f x 在区间 1 3 m m 0m 上存在极值 求实数 m 的取值范围 2 当 1x 时 不等式 1 t f x x 恒成立 求实数t的取值范围 3 求证 1 ln 1 2 n i iinnN 5 已知函数 1ln ax f x x 0a 求的极值 f x 当时 若不等式在上恒成立 求的取值范围 1a 0f xk 0 k 试卷第 2 页 总 7 页 6 设函数 2ln a f xaxx x 若 f x在2x 时有极值 求实数a的值和 f x的单调区间 若 f x在定义域上是增函数 求实数a的取值范围 7 已知函数 2ln b f xaxx x I 若在处取得极值 xf 2 1 1 xx 求 的值 存在 使得不等式成立 求的最小值 ab 2 4 1 0 x0 0 cxfc II 当时 若在上是单调函数 求的取值范围 参考数据ab xf 0 a 08 20 389 7 32 ee 8 已知函数 ln3 f xaxaxaR 若 求函数的单调区间 1a f x 若函数的图象在点 2 f 2 处的切线的倾斜角为 对于任意的 yf x 45 函数 是的导函数 在区间上 1 2 t 32 2 m g xxxfx fx f x 3 t 总不是单调函数 求的取值范围 m 求证 ln2ln3ln4ln1 2 234 n nnN nn 9 已知函数 x k xxf ln Rk 1 若 求函数的单调区间 1 k xf 2 若恒成立 求实数的取值范围 x e xf 1 2 k 3 设 若对任意的两个实数满足 总存在 kxxfxg 21 x x 21 0 xx 0 0 x 使得成立 证明 0 xg 21 21 xx xgxg 10 xx 10 已知函数 1ln mx f xm x R I 若 判断函数在定义域内的单调性 1m II 若函数在内存在极值 求实数 m 的取值范围 1 e 11 已知函数在处取得极值 2 lnf xxaxx 0 x 1 求实数的值 a 试卷第 3 页 总 7 页 2 若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根 求实数的x 5 2 f xxb 0 2b 取值范围 3 证明 对任意的正整数 不等式都成立 n 2 341 2ln1 49 n n n 12 已知函数 2 ln 0 1 x f xaxxa aa 当时 求证 函数在上单调递增 1a f x 0 若函数有三个零点 求 的值 1yf xt t 13 已知函数 32 115 4 0 333 f xxxxx 1 求的极值 f x 2 当时 求的值域 0 1 x f x 3 设 函数 若对于任意 总存1a 32 32 0 1 g xxa xax 1 0 1 x 在 使得成立 求的取值范围 0 0 1 x 01 g xf x a 14 已知函数 1 求函数的单调区间 1 2ln f xa xx a x R f x 2 设函数 若至少存在一个 使得成立 求实数 a g x x 0 1 4 x 00 f xg x 的取值范围 a 15 已知函数 ln 1 f xxx 1 求函数的单调递减区间 xf 2 若 证明 1x 1 1ln 1 1 xx x 16 已知 0 a x a xxf 2lng xx 1 若对内的一切实数 不等式恒成立 求实数的取值范围 1 x xgxf a 2 当时 求最大的正整数 使得对 是自然对数的底1 ak 3 e2 71828e 数 内的任意个实数都有成k k xxx 21 16 121kk xgxfxfxf 立 3 求证 12ln 14 4 1 2 n i i n i Nn 试卷第 4 页 总 7 页 17 已知函数的最小值为 0 其中 ln axxxf 0 a 1 求 a 的值 2 若对任意的 有成立 求实数 k 的最小值 0 x 2 kxxf 3 证明 n i Nnn i 1 2 12ln 12 2 18 已知函数 0 1ln 2 aaxxxf 若在处取得极值 求的值 xf0 xa 讨论的单调性 xf 证明 为自然对数的底数 eNne n 3 1 1 81 1 1 9 1 1 2 19 设函数 2 12ln 1f xxx 1 若关于 x 的不等式在有实数解 求实数 m 的取值范围 0f xm 0 1e 2 设 若关于 x 的方程至少有一个解 求 的最 2 1g xf xx g xp p 小值 3 证明不等式 111 ln11 23 nnN n 20 本题满分 15 分 已知函数 lnf xx 1 求函数的最大值 1g xf xx 2 若 不等式恒成立 求实数的取值范围 0 x 2 1f xaxx a 3 若 求证 12 0 xx 12 2 22 1212 2f xf xx xxxx 21 本小题满分 14 分 设函数 2 lnf xxxax 1 若在处取得极值 求的值 f x 1 2 x a 2 若在定义域内为增函数 求的取值范围 f xa 3 设 当时 2 1g xf xx 1a 求证 在其定义域内恒成立 0g x 求证 2222 222 ln2ln3ln21 2321 nnn nn 22 本大题 12 分 试卷第 5 页 总 7 页 已知函数函数的图象与的图象关于直线对称 x exf xg xfxy bkxxh 当时 若对均有成立 求实数的取值范0 b 0 x xgxhxf k 围 设的图象与的图象和的图象均相切 切点分别为和 xh xf xg 1 1 x ex 其中 22 xgx0 1 x 1 求证 21 1xx 2 若当时 关于的不等式恒成立 求实数的取值 1 xx x0 1 2 xexax x a 范围 23 本小题满分 12 分 已知函数 ln 1 a f xxa x R 1 当时 求的极值 2 9 a xf 2 当时 试比较与 的大小 2 a xf1 3 求证 12 1 7 1 5 1 3 1 1ln n n n N 24 本小题满分 14 分 已知函数 为实常数 1 1ln a f x xx a 当时 求函数的单调区间 1a 2g xf xx 若函数在区间上无极值 求的取值范围 f x 0 2 a 已知且 求证 nN 3n n 11111 ln1 时 lna 0 当 x 0 时 ax 1 0 2x 0 f x 0 f x 在 0 II 当 a 1 时 x 0 时 ax 1 0 2x 0 f x 0 f x 在 0 当 0 a 1 时 x 0 时 lna 0 ax 10 f x 在 0 x 0 时 ax 1 0 lna 0 f x 0 且 a 1 时 f x 在 0 f x 在 0 x 0 是 f x 在 k 上唯一极小值点 也是唯一最小值点 f x min f 0 1 若 y f x t 1 有三个零点 即 f x t 1 f x t 1 有三个根 所以 t 1 t 1 t 1 f x min 1 t 2 考点 本题考查了导数的运用 点评 导数本身是个解决问题的工具 是高考必考内容之一 高考往往结合函数甚至是实 际问题考查导数的应用 求单调 最值 完成证明等 请注意归纳常规方法和常见注意 点 13 1 无极小值 2 3 1 3f xf 极大值 4 3 3 1 2 a 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 16 页 总 44 页 解析 试题分析 令 解得 舍 或 2 25 33 fxxx 0fx 5 3 x 1x 当时 当时 01x 0fx 1x 0fx 无极小值 1 3f xf 极大值 由 知在区间单调递增 在区间的值域为 即 f x 0 1 f x 0 1 0 1 ff 4 3 且 当时 在区间单调递 22 33g xxa 1a 0 1 x 0g x g x 0 1 减 在区间的值域为 即 g x 0 1 1 0 gg 2 1 32 2 aaa 又对于任意 总存在 使得成立在区间 1 0 1 x 0 0 1 x 01 g xf x f x 的值域在区间的值域 即 0 1 g x 0 1 4 3 2 1 32 2 aaa 解得 2 1 324 23 aa a 3 1 2 a 考点 函数极值最值 点评 求函数极值最值的步骤 函数在定义域内求导数 取导数等于零得到极值点 判定 极值点两侧附近函数的单调性从而确定是极大值还是极小值 求出区间端点处函数值与极 值比较可得出最值 14 1 0a 01a 1a 0 1 0 x 12 x x 2 x 0 递减递增递减递增递增 其中 22 12 1111 aa xx aa 2 0a 解析 试题分析 1 函数的定义域为 设 0 2 22 122 1 axxa fxa xxx 2 2h xaxxa 当时 在上恒成立 则在0a 20h xx 2 20h xaxxa 0 0fx 上恒成立 此时在上单调递减 0 f x 0 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 17 页 总 44 页 当时 I 由得 0a 044 2 a1 a 当时 恒成立 1 a 2 2h xaxxa 0 1 12 22 xxx 在上单调递增 当时 xf 0 1 a 2 2h xaxxa 恒成立 在上单调递减 0 1 12 22 xxx xf 0 II 由得或 当时 开口向下 044 2 a1 a1 a1 a 在上恒成立 则在上恒成立 此时在 2 20h xaxxa 0 0fx 0 f x 上单调递减 0 当 开口向上 在上恒成立 则在上恒成立 1 a 0h x 0 0fx 0 此时 在上单调递增 f x 0 III 由得 2 440 a 11a 若 开口向上 且 01a 22 12 1111 aa xx aa 12 2 0 xx a 都在上 由 即 得或 12 1x x 12 x x 0 0fx 0h x 2 11 a x a 2 11 a x a 由 即 得 0fx 0h x 22 1111aa x aa 所以函数的单调递增区间为和 f x 2 11 0 a a 2 11 a a 单调递减区间为 22 1111 aa aa 当时 抛物线开口向下 在10a 2 12 0 0 20 xxh xaxxa 0 恒成立 即在 0 恒成立 所以在单调递减 0fx f x 0 综上所述 0a 01a 1a 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 18 页 总 44 页 0 1 0 x 12 x x 2 x 0 递减递增递减递增递增 其中 22 12 1111 aa xx aa 2 因为存在一个使得 0 1 4 x 00 f xg x 则 等价于 令 等价于 当 时 00 2lnaxx 0 0 2ln x a x 2ln x F x x 1 4x minaF x 对求导 得 因为 由 F x 2 2 1 ln x F x x 1 4x 0 1F xxe 所以在上单调递增 在上单调递减 0 4F xex F x 1 e 4 e 由于 所以 因此 4 1 FF min 1 0F xF 0a 考点 本题考查了导数的运用 点评 近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制 一般以有理函数与半超越 指数 对数 函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体 解题时要注意对数式对函 数定义域的隐蔽 这类问题重点考查函数单调性 导数运算 不等式方程的求解等基本知 识 注重数学思想 分类与整合 数与形的结合 方法 分析法 综合法 反证法 的运 用 把数学运算的 力量 与数学思维的 技巧 完美结合 15 1 0 2 由 知 当x 1 0 时 0 当x 0 时 fx 0 因此 当时 即 0 fx 1x f x 0 fln 1 xx ln 1 xx 令 则 当x 1 0 1 ln 1 1 1 g xx x 2 11 1 1 g x xx 2 1 x x 时 0 当x 0 时 0 当时 即 g x g x 1x g x 0 g 0 综上可知 当时 有 1 ln 1 1 1 x x 1 ln 1 1 1 x x 1x 1 1ln 1 1 xx x 解析 试题分析 函数f x 的定义域为 1 1 fx 1 1x 1 x x 由 1 得x 0 当x 0 时 f x 是减函数 即f x 的单调递 fx 减区间为 0 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 19 页 总 44 页 证明 由 知 当x 1 0 时 0 当x 0 时 0 fx fx 因此 当时 即 0 1x f x 0 fln 1 xx ln 1 xx 令 则 8 分 1 ln 1 1 1 g xx x 2 11 1 1 g x xx 2 1 x x 当x 1 0 时 0 当x 0 时 0 g x g x 当时 即 0 1x g x 0 g 1 ln 1 1 1 x x 1 ln 1 1 1 x x 综上可知 当时 有 121x 1 1ln 1 1 xx x 分 考点 求函数单调区间及证明不等式 点评 求单调区间时首先确定其定义域 第二问将证明不等式问题转化为求函数最值问题 进而可利用导数通过求其最值确定不等式的正确性 16 1 2 的最大值为 10 ak13 3 证明 法一 先得到时 即 1 x xgxf 1 2 1 ln x xx 令 得 12 12 k k x 12 12 12 12 2 1 12 12 ln k k k k k k 化简得 14 4 12ln 12ln 2 k k kk n i n i i i iin 1 2 1 14 4 12ln 12 ln 12ln 法二 数学归纳法 解析 试题分析 1 由得 xgxf xx x a ln2 要使不等式恒成立 必须恒成立 1 x xgxf xxxaln2 2 设 xxxxhln2 2 2ln22 1 ln22 xx x xxxxh 当时 则是增函数 x xh 2 2 1 x0 x h x h 是增函数 0 1 hxh xh1 1 hxh1 a 因此 实数的取值范围是 5 分a10 a 2 当时 1 a x xxf 1 在上是增函数 在上的最大值为0 1 1 2 x xf xf 3 e xf 3 e 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 20 页 总 44 页 3 8 3 f 要对内的任意个实数都有 3 ek k xxx 21 16 121kk xgxfxfxf 成立 必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值 当时不等式左边取得最大值 时不等式右边取得最小 3 121 k xxx exk 值 解得 216 3 8 1 k13 k 因此 的最大值为 9 分k13 3 证明 法一 当时 根据 1 的推导有 时 1 a 1 x xgxf 即 10 分 1 2 1 ln x xx 令 得 12 12 k k x 12 12 12 12 2 1 12 12 ln k k k k k k 化简得 13 分 14 4 12ln 12ln 2 k k kk 14 分 n i n i i i iin 1 2 1 14 4 12ln 12 ln 12ln 法二 数学归纳法 当时 左边 右边 1 n 3 4 3ln 根据 1 的推导有 时 即 1 x xgxf x x xln2 1 令 得 即 因此 时不等式成立 10 分3 x3ln2 3 1 3 3ln 3 4 1 n 另解 即 2 5 e 27 16 625 2 5 44 e27ln4 3ln 3 4 假设当时不等式成立 即 kn 12ln 14 4 1 2 k i i k i 则当时 1 kn 1 1 4 1 4 12ln 1 1 4 1 4 14 4 14 4 22 1 2 1 1 2 k k k k k i i i i k i k i 要证时命题成立 即证 1 kn 32ln 1 1 4 1 4 12ln 2 k k k k 即证 在不等式中 令 得 12 32 ln 1 1 4 1 4 2 k k k k x x xln2 1 12 32 k k x 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 21 页 总 44 页 时命题也成立 13 1 1 4 1 4 32 12 12 32 2 1 12 32 ln 2 k k k k k k k k 1 kn 分 根据数学归纳法 可得不等式对一切成立 14 分 12ln 14 4 1 2 n i i n i Nn 考点 本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值 不等式的证明 点评 难题 本题属于导数应用中的基本问题 像涉及恒成立问题 往往通过研究函数的 最值达到解题目的 证明不等式问题 往往通过构造新函数 研究其单调性及最值 而达 到目的 本题 II 解法较多 涉及复杂式子变形 学生往往失去耐心而失分 17 1 2 3 利用放缩法来证明1 a 2 1 解析 试题分析 1 的定义域为 xf a 由 得 ax ax ax xf 11 1 0 x faax 1 当 x 变化时 的变化情况如下表 xfx f x 1 aa a 1 1 a x f 0 xf 极小值 因此 在处取得最小值 故由题意 所以 xfax 101 1 aaf1 a 解 当时 取 有 故不合题意 0 k1 x02ln1 1 f0 k 当时 令 即 0 k 2 kxxfxg 2 1ln kxxxxg 令 得 1 21 2 2 1 x kkxx kx x x xg0 x g k k xx 2 21 0 21 1 当时 在上恒成立 因此在上单 2 1 k0 0 2 21 xg k k 0 xg 0 调 递减 从而对于任意的 总有 即在 0 x0 0 gxg 2 kxxf 0 上恒成立 故符合题意 2 1 k 2 当时 对于 故在 2 1 0 k0 2 21 k k 2 21 0 k k x 0 x g xg 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 22 页 总 44 页 内单调递增 因此当取时 即 2 21 0 k k 2 21 0 0 k k x 0 0 0 gxg 不成立 2 00 kxxf 故不合题意 2 1 0 k 综上 k 的最小值为 2 1 证明 当 n 1 时 不等式左边 右边 所以不等式成立 23ln2 当时 2 n n i n i iii f 11 12 2 1ln 12 2 12 2 n i n i ii i 11 12ln 12 ln 12 2 n i n i 1 12ln 12 2 在 中取 得 从而 2 1 k 2 2 x xf 0 x 2 12 32 2 12 2 12 2 2 iNi iiii f 所以有 n i n i n i n i iii ff i fn i 1132 12 32 2 3ln2 12 2 2 12 2 12ln 12 2 n i nii 2 2 12 1 13ln2 12 1 32 1 3ln2 综上 1 2 12ln 12 2 Nnn i n i 考点 函数恒成立问题 利用导数研究函数的极值 点评 本题考查恒成立问题 第二问构造新函数 将问题转化为 g x 的最大值小于等于 0 即可 这种转化的思想在高考中经常会出现 我们要认真体会 18 1 0 符合条件a 2 若减减01 a上单调递增 在 11 11 22 a a a a xf 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 23 页 总 44 页 上单调递减和 11 11 22 a a a a 0 0 0减减减减减减减减减减减减减减 xfa 3 见解析 解析 I 由题意可知据此可建立关于a 的方程 从而得出a 值 0 0 f II 然后讨论按 a 0 和两大类进行研究 2 2 2 1 2 1 2 x axax a x x xf 0a 的值 从而研究 f x 的单调性 确定其单调区间 fx III 在 II 的基础上 当 当 减减减减减减减减 1xfa 由 所以 至此找到了解决问题的突破口 0 x 0 0f xf 2 ln 1 xx 1 是的一个极值点 则 0 1 2 2 xa x x xf xf 验证知 0 符合条件 3 分 0 00 afa 2 2 2 2 1 2 1 2 x axax a x x xf 1 若 0 时 单调递增 在单调递减 a 0 减xf 0 2 若上单调递减 5 分 减减减减减减减减减减Rxxfa a 01 0 0 Rxf减 3 若 02001 2 axaxxfa减减减减 a a x a a 22 1111 再令 减减 0 x f a a x a a x 22 1111 或 上单调递增 在 11 11 22 a a a a xf 在 8 分 上单调递减和 11 11 22 a a a a 综上所述 若上单调递减 1 减减减xfa 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 24 页 总 44 页 若减减01 a上单调递增 在 11 11 22 a a a a xf 上单调递减和 11 11 22 a a a a 若 9 分 0 0 0减减减减减减减减减减减减减减 xfa 3 由 2 知 当 减减减减减减减减 1xfa 当 0 0 0 fxfx减减减 13 3 1 1 81 1 1 9 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1ln 81 1 1ln 9 1 1ln 3 1 1 81 1 1 9 1 1ln 1ln 2 1 2 2 22 2 分ee xx n n n n nn 19 1 2 p 的最小值为 0 3 见解析 2 2 em 解析 本试题主要是考查了运用导数来求解函数的方程的解 以及不等式的证明 1 因为关于 x 的不等式在有实数解 那么只要 0f xm 0 1e 即可 转化为求解函数的 最大值问题 0 nax f xm 2 设 若关于 x 的方程至少有一个解 可知分离参数 2 1g xf xx g xp 的思想 求解常函数与已知函数有交点时的情况即可 3 在上一问的基础上 利用单调性得到不等式 ln 1 x x 来证明不等式 1 依题意得mxf m ax 0 1 xe 而函数的定义域为 1 22 1 2 1 2 x xx x xxf xf 1 在上为减函数 在上为增函数 xf 0 1 0 则在上为增函数 xf 1 0 e 2 1 2 max eefxf 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 25 页 总 44 页 即实数 m 的取值范围为 2 2 em 2 1 g 2 xxfx 1ln x 2 1ln 22xxx 则 x x x xg 1 2 1 1 1 2 显然 函数在上为减函数 在上为增函数 g x 0 1 0 则函数的最小值为 g x0 0 g 所以 要使方程至少有一个解 则 即 p 的最小值为 0 px g0 p 3 由 2 可知 在上恒成立0 1ln x 2 g xx 1 所以 当且仅当 x 0 时等号成立xx 1ln 令 则 代入上面不等式得 1 x Nn n 1 0 x nn 1 1 1ln 即 即 nn n11 ln n nn 1 ln 1ln 所以 11ln2ln 2 1 2ln3ln 3 1 3ln4ln n nn 1 ln 1ln 将以上 n 个等式相加即可得到 n n 1 3 1 2 1 1 1ln 20 1 在处取得最大值 且最大值为 0 2 3 见解析 g x0 x 1 2 e 解析 1 先求出 然后求导确定单调区间 极值 最值 ln11g xxx x 即可 2 本小题转化为在上恒成立 进一步转化为 ln 1 x a x ax x 0 x maxmin ln1 x ax xx 然后构造函数 利用导数研究出 h x 的最大值 再利用基础不等式可知 ln x h x x 从而可知 a 的取值范围 1 2x x 1 则 2 分 ln11g xxx x 1 1 11 x gx xx 当时 则在上单调递增 1 0 x 0gx g x 1 0 当时 则在上单调递减 0 x 0gx g x 0 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 26 页 总 44 页 所以 在处取得最大值 且最大值为 0 4 分 g x0 x 2 由条件得在上恒成立 6 分 ln 1 x a x ax x 0 x 设 则 ln x h x x 2 1ln x h x x 当时 当时 所以 1 xe 0h x xe 0h x 1 h x e 要使恒成立 必须 8 分 f xax 1 a e 另一方面 当时 要使恒成立 必须 0 x 1 2x x 2 1axx 2a 所以 满足条件的的取值范围是 10 分a 1 2 e 3 当时 不等式等价于 12 12 0 xx 12 2 22 1212 2f xf xx xxxx 1 12 2 1 2 2 22 ln 1 x xx x x x 令 设 则 1 2 x t x 2 22 ln1 1 t ttt t 2 2 2 2 11 0 1 tt t t t 在上单调递增 t 1 10t 所以 原不等式成立 15 分 21 1 2 经检验适合 3 见解析 1 103 22 a a 2 2a 解析 本题以函数为载体 主要考查了了利用导数研究函数的极值 以及利用导数研究 函数的单调性和不等式的证明 属于中档题 1 先求函数的导函数 根据若 x 时 f x 取得极值得 f 0 解之即可 1 2 1 2 2 f x 在其定义域内为增函数可转化成只需在 0 内有 2x2 ax 1 0 恒成立 建立不等关系 解之即可 3 当时 ln1g xxax 1a ln1g xxx 0 x 在处取得极大值 也是最大值 11 1 x g x xx g x1x 放缩法得到结论 n n2N 22 ln1nn 2 22 ln1 1 n nn 解 1 1 分 2 121 2 xax fxxa xx 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 27 页 总 44 页 在处取得极值 即 经检验适合 f x 1 2 x 1 0 2 f 1 103 22 a a 3 分 2 在定义域为 4 分 f x 0 要在定义域内为增函数 则在上恒成立 f x 2 210 xax 0 5 分 max 1 2ax x 而 经检验适合 6 分 1 22 2x x 2 2a 3 当时 ln1g xxax 1a ln1g xxx 0 x 7 分 11 1 x g x xx 在处取得极大值 也是最大值 g x1x 而 在上恒成立 1 0g 0g x 0 因此 9 分ln10 xx ln1xx 10 分n n2N 22 ln1nn 2 22 ln1 1 n nn 222 222222 ln2ln3ln111 111 2323 n nn 11 分 222 111 1 23 n n 12 分 111 1 2 33 41 n nn 111111 1 23341 n nn 14 分 11 1 21 n n 2 21 21 nn n 22 1 2 1 e e1 a 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 28 页 总 44 页 解析 本试题主要是考查了函数与不等式的综合运用 属于中档题 1 根据已知条件 函数函数的图象与的图象关于直线对称 x exf xg xfxy 当 b 0 时 通过图像的关系得到证明 bkxxh 2 结合导数的几何意义得到切线方程 然后利用坐标的关系式进而比较大小得到 同时 当时 关于的不等式恒成立 可以转化为关于 a 与 x 的关 1 xx x0 1 2 xexax x 系式 分离参数的思想得到 23 1 函数在 上单调递增 在上单调递减 的 xf 2 1 0 2 2 2 1 xf 极大值是 极小值是 2ln3 2 1 f2ln 2 3 2 f 2 当时 即 1 x0 1 hxh1 xf 当时 即 10 x0 1 hxh1 xf 当时 即 1 x0 1 hxh1 xf 3 见解析 解析 1 当时 利用列表确定极值 2 9 a 0fx 2 当 a 2 时 因为 h 1 0 所以利用导数研究 h x 1 1 2 ln1 x xxfxh 与 h 1 大小比较即可 3 解本小题的关键是根据 2 的结论 当时 即 1 x1 1 2 ln x x 1 1 ln x x x 令 则有 k k x 1 12 11 ln kk k 然后叠加证不等式即可 n k n k kk k 11 12 11 ln n k k k n 1 1 ln 1ln 1 1 21 n k k 24 I 在时递增 在时递减 g x 1 0 2 x 1 2 x II 的取值范围是 a 02 1 lnln 1 ln3 3 n n 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 29 页 总 44 页 解析 I 当 a 1 时 然后求导利用导数大 小 于零 分 11 1 2lng xx xx 别求其单调递 减 区间即可 S II 本小题的实质是在 0 2 上恒成立或 22 1 0 aax fx xxx 在 0 2 上恒成立 然后根据讨论参数 a 的值求解即可 22 1 0 aax fx xxx III 由 知 当时 在处取得最大值 1a 11 1lnf x xx 1x 0 即 这是解决本小题的关键点 然后再令 1111 1ln0ln x f x xxxx 1 n x n 则再进一步变形即可 从而得到 11 ln n nn 1 ln 1 lnnn n 1 lnln 1 ln3 3 n n 然后再根据 ln 1 ln3 ln 1 ln lnln 1 ln 1 ln 2 ln4ln3 nnnnnnn 可利用进行放缩证明出结论 1 ln 1 lnnn n I 当时 其定义域为 1a 11 1 2lng xx xx 0 2 222 2111121 2 xxxx gx xxxx 令 并结合定义域知 令 并结合定义域知 0gx 1 0 2 x 0gx 1 2 x 故在时递增 在时递减 g x 1 0 2 x 1 2 x II 22 1aax fx xxx 当时 在上递减 无极值 0a 0fx f x 0 2 当时 在上递增 在上递减 故在处取得极大值 要0a f x 0 a a f xxa 使在区间上无极值 则 f x 0 2 2a 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 30 页 总 44 页 综上所述 的取值范围是 9 分 a 02 由 知 当时 在处取得最大值 1a 11 1lnf x xx 1x 0 即 1111 1ln0ln x f x xxxx 令 则 即 1 n x n 11 ln n nn 1 ln 1 lnnn n 1 lnln 1 ln3 3 n n 25 1 2 1 1 max x 1 a2ln1 2 1 max fxf 3 n n n n n n1 3 1 2 1 ln 12 3 1 2 ln 1 ln 2 3 ln 1 2 ln 解析 本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用 1 因为函数在给定区间 x 1 上单调递增 则说明导函数恒大于等于零 然后分离参数求 解取值范围 2 把 a 1 代入关系式中 求解导数 研究单调性 进而得到极值和端点值的函数值 然后比较大小得到最值 3 由 1 可知 f x f 1 恒成立 那么可知不等式关系式 然后结合放缩法得到结论 解 1 由已知得 0 1 2 x ax ax xf 依题意得对任意恒成立 0 1 2 ax ax 1 x 即对任意恒成立 x aax 1 01 1 x 而1 1 max x 1 a 2 当时 令 得 1 a 2 1 x x xf 0 xf1 x 若时 若时 1 2 1 x0 xf 2 1 x0 xf 故是函数在区间上的唯一的极小值 也是最小值 即 1 x 2 2 1 0 1 min fxf 而 2ln 2 1 2 2ln1 2 1 ff 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 31 页 总 44 页 由于 则0 2 16lnln 2ln2 2 3 2 2 1 3 e ff2ln1 2 1 max fxf 3 当时 由 1 知在上为增函数1 ax x x xfln 1 1 当 令 则 所以 1Nnn 1 n n x1 x0 1 fxf 即 nn n n n nn n n n n n n n f 1 1 ln0 1 ln 1 1 ln 1 1 1 1 所以 nn n1 1 ln 3 1 2 3 ln 2 1 1 2 ln 各式相加得 n n n n n n1 3 1 2 1 ln 12 3 1 2 ln 1 ln 2 3 ln 1 2 ln 26 或2ln3 k2ln 2 3 k 当时 即 1 x0 1 hxh1 xf 当时 即 10 x0 1 hxh1 xf 当时 即 1 x0 1 hxh1 xf 见解析 解析 I 当时 g x f x k 有一个零点 实质是 y f x 与直线 y k 有一个公共点 9 2 a 所以利用导数研究 y f x 的单调性 极值 最值 作出图像可求出 k 的取值范围 II 当 a 2 时 令 然后利用导数研究其单调区间及最值 1 1 2 ln1 x xxfxh 然后再分类讨论 f x 与 1 的大小关系 III 解本小题的关键是根据 2 的结论 当时 即 1 x1 1 2 ln x x 1 1 ln x x x 令 则有 从而得 问题得解 k k x 1 12 11 ln kk k 11 11 ln 1 ln 21 nn kk k n kk 解 当时 定义域是 2 9 a 1 2 9 ln x xxf 0 令 得 或 2 分 22 1 2 2 12 1 2 91 xx xx xx xf0 x f 2 1 x2 x 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 32 页 总 44 页 当或时 当时 2 1 0 x2 x0 x f2 2 1 x0 x f 函数在 上单调递增 在上单调递减 4 分 xf 2 1 0 2 2 2 1 的极大值是 极小值是 xf 2ln3 2 1 f2ln 2 3 2 f 当时 当时 0 x xf x xf 当仅有一个零点时 的取值范围是或 5 分 xgk2ln3 k2ln 2 3 k 当时 定义域为 2 a 1 2 ln x xxf 0 令 1 1 2 ln1 x xxfxh 在上是增函数 7 分0 1 1 1 21 2 2 2 xx x xx xh xh 0 当时 即 1 x0 1 hxh1 xf 当时 即 10 x0 1 hxh1 xf 当时 即 9 分1 x0 1 hxh1 xf 法一 根据 2 的结论 当时 即 1 x1 1 2 ln x x 1 1 ln x x x 令 则有 k k x 1 12 11 ln kk k 12 分 n k n k kk k 11 12 11 ln 14 分 n k k k n 1 1 ln 1ln 12 1 5 1 3 1 1ln n n 法二 当时 1n ln 1 ln2n 即时命题成立 10 分3ln2ln81 1 ln2 3 1n 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 33 页 总 44 页 设当时 命题成立 即 nk 111 ln 1 3521 k k 时 1nk 2 ln 1 ln 2 ln 1 ln 1 k nkk k 1112 ln 35211 k kk 根据 的结论 当时 即 1 x1 1 2 ln x x 1 1 ln x x x 令 则有 2 1 k x k 21 ln 123 k kk 则有 即时命题也成立 13 分 1111 ln 2 352123 k kk 1nk 因此 由数学归纳法可知不等式成立 14 分 法三 如图 根据定积分的定义 x y o 1 2 3 4 5 6 n 1 n 得 11 分1 12 1 1 7 1 1 5 1 n n dx x 1 12 1 12 12 1 2 1 12 1 11 xd x dx x nn 3ln 12 ln 2 1 12ln 2 1 1 nx n 12 1 7 1 5 1 3 1 n 12 1 5 1 3 1 n n dx x 1 12 1 3 1 12 分 3ln 12 ln 2 1 3 1 n 11 ln 21 ln3 ln 1 32 nn 2 23ln31 ln 21 ln 21 62 nnn 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 34 页 总 44 页 又 3ln332 12ln 12ln 2 nnn 1ln 3ln 12 ln 2 1 3 1 nn 14 分 1ln 12 1 5 1 3 1 n n 27 1 见解析 1 解析 I 求导 根据导数求其极值最值 但要注意函数的定义域 II 本小题的实质是在上恒成立问题 然后再转化为函 0yfxg x 1 数最值来解决即可 III 由 取设 1 m0 1 ln2 1 hx x xxgxfxh 则 即 于是 x xx 1 ln2 1 1 2 1ln 2 xx x 1 1 2 1ln 2 nn n Nn 然后解决此问题要用到不等式的放缩 关键是 1 3 1 2 1 1 1 2 1ln 3 3ln 2 2ln 1 1ln 2222 n n n n 然后再利用裂项求和的方法即可证明 1 1 43 1 32 1 21 1 2 1 nn n 解 函数的定义域为 xg 0 22 111 x x xx xg 当 当 0 1 0 xgx0 1 xgx 为极小值点 极小值 g 1 1 4 分 1 x x xx m mxyln2 11 x x m mxln2 上恒成立 即在上恒成立 10 2 2 在 xx m my 1 2 2 x x m 1 x 又 所以 1 1 2 1 2 2 x x x x 1 m 所以 所求实数的取值范围为 8 分 m 1 由 取设 1 m0 1 ln2 1 hx x xxgxfxh 则 即 于是 x xx 1 ln2 1 1 2 1ln 2 xx x 1 1 2 1ln 2 nn n Nn 1 3 1 2 1 1 1 2 1ln 3 3ln 2 2ln 1 1ln 2222 n n n n 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 35 页 总 44 页 1 1 43 1 32 1 21 1 2 1 nn n 1 11 3 1 2 1 2 1 1 2 1 nn n 1 1 1 2 1 n n 1 2 2 n n 所以 14 分 1 2 ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln 2 n n n n Nn 28 1 单调递增 2 无极值 3 见解析 解析 本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用 1 利用函数的导数得到导数符号与单调性的关系的运用 2 在第一问的基础上分析得到极值点 3 对于不等式恒成立的证明 主要是转化为函数的最值问题来处理的数学思想的运用 解 1 由题意知 1 的定义域为xf 1 22 2 x bxx xf 设 其图象的对称轴为 bxxxg 22 2 1 2 1 x 所以bgxg 2 1 2 1 min 即 上恒成立 1 022 2 在bxxxg 时 1 x当 0 x f 上单调递增 1 2 1 在定义域函数时当xf b 2 由 1 得 函数无极值点 b时当 2 1 xf 时 有两个相同的解 2 1 b0 1 2 1 2 2 x x xf 2 1 x 时 1 x 时 2 1 0 x f 2 1 x 0 x f 上无极值 1 2 1 在函数时当xf b 时 2 1 b有两个不同的解0 x f 2 211 1 b x 2 211 2 b x 0 1 xb时当 1 0 2 x 的变化情况如下表随着时xx fxf b 0 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 36 页 总 44 页 x 1 2 x 2 x 2 x x f 0 xf减极小值增 由此表可知 有唯一极小值点 时0 b xf 2 211 2 b x 当时 所以 2 1 0 b 2 211 1 b x 1 1 x1 2 x 此时 的变化情况如下表随着xx fxf x 1 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x x f 0 0 xf增极大植减极小值增 由此表可知 时 有一个极大值点和一个 2 1 0 b xf 2 211 1 b x 极小值点 2 211 2 b x 综上所述 有唯一极小值点 时 时0 b xf 2 211b x 2 1 0 b 有一个极大值点和一个极小值点 xf 2 211 1 b x 2 211 2 b x 无极值点 2 1 b当 xf 3 设 1 则不等式化为 0 1 n x 32 11 1 1 ln nnn 32 1ln xxx 即0 1ln 23 xxx 设函数 则 xh 1ln 23 xxx 1 1 3 23 x xx xh 所以 当时 函数在 0 1 上单调递增 又 1 0 x0 x h xh0 0 h 1 时 恒有 即 0 x0 0 hxh 32 1ln xxx 本卷由 在线组卷网 自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 37 页 总 44 页 因此不等式成立 32 11 1 1 ln nnn 29 I 当时 在上为单调函数 2 1 b xf 1 II 见解析 解析 本试题主要是运用导数研究函数 单调性和证明不等式的运用 1 因为 1 1 22 1 2 2 x x bxx x b xxf 要使在上为单调函数只须在上或恒成立 xf 1 1 0 x f0 x f 转化为恒成立思想求解 2 因为时 1 b 1ln 2 xxxf 设 323 1ln xxxxxfxg 结合导数判定结论 1 1 3 3 1 1 2 23 2 x xx x x xxg I 解 1 1 22 1 2 2 x x bxx x b xxf 要使在上为单调函数只须在上或恒成立 xf 1 1 0 x f0 x f 若 则 在上有最大值022 2 bxx 2 1 2 1 2 2 xb 1 2 1 2 1 2 2 xt 只须则 2 1 2 1 b0 x