高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.9 函数模型及其应用课件 文.ppt

第二章函数概念与基本初等函数i 2 9函数模型及其应用 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 答题模板系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 几类函数模型及其增长差异 1 几类函数模型 知识梳理 1 2 三种函数模型的性质 递增 递增 y轴 x轴 答案 2 解函数应用问题的步骤 四步八字 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 解模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学问题还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 某种商品进价为每件100元 按进价增加25 出售 后因库存积压降价 若按九折出售 则每件还能获利 2 幂函数增长比直线增长更快 3 不存在x0 使 4 在 0 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度会超过并远远大于y xa a 0 的增长速度 答案 思考辨析 5 指数爆炸 是指数型函数y a bx c a 0 b 0 b 1 增长速度越来越快的形象比喻 6 指数函数模型 一般用于解决变化较快 短时间内变化量较大的实际问题 答案 1 2015 北京 某辆汽车每次加油都把油箱加满 下表记录了该车相邻两次加油时的情况 注 累计里程 指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内 该车每100千米平均耗油量为 升 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析由表知 汽车行驶路程为35600 35000 600千米 耗油量为48升 每100千米耗油量8升 答案8 解析答案 1 2 3 4 5 2 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料 如图 为降低消耗 开源节流 现要从这些边角料上截取矩形铁片 如图中阴影部分 备用 当截取的矩形面积最大时 矩形两边长x y应为 当y 12时 s有最大值 此时x 15 15 12 解析答案 1 2 3 4 5 解析设年平均增长率为x 则 1 x 2 1 p 1 q 3 某市生产总值连续两年持续增加 第一年的增长率为p 第二年的增长率为q 则该市这两年生产总值的年平均增长率为 解析答案 1 2 3 4 5 4 用长度为24的材料围一矩形场地 中间加两道隔墙 要使矩形的面积最大 则隔墙的长度为 解析设隔墙的长度为x 0 x 6 矩形面积为y 当x 3时 y最大 3 解析答案 1 2 3 4 5 5 2015 四川 某食品的保鲜时间y 单位 小时 与储藏温度x 单位 满足函数关系y ekx b e 2 718 为自然对数的底数 k b为常数 若该食品在0 的保鲜时间是192小时 在22 的保鲜时间是48小时 则该食品在33 的保鲜时间是 小时 24 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 题型一用函数图象刻画变化过程 例1 1 小明骑车上学 开始时匀速行驶 途中因交通堵塞停留了一段时间 后为了赶时间加快速度行驶 与以上事件吻合得最好的图象是 填序号 解析答案 解析小明匀速运动时 所得图象为一条直线 且距离学校越来越近 故排除 因交通堵塞停留了一段时间 与学校的距离不变 故排除 后来为了赶时间加快速度行驶 故排除 符合题意 答案 2 物价上涨是当前的主要话题 特别是菜价 我国某部门为尽快实现稳定菜价 提出四种绿色运输方案 据预测 这四种方案均能在规定的时间t内完成预测的运输任务q0 各种方案的运输总量q与时间t的函数关系如图所示 在这四种方案中 运输效率 单位时间的运输量 逐步提高的是 填序号 解析答案 思维升华 解析由运输效率 单位时间的运输量 逐步提高得 曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大 故函数的图象应一直是下凹的 故 正确 答案 思维升华 思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 1 构建函数模型法 当根据题意易构建函数模型时 先建立函数模型 再结合模型选图象 2 验证法 当根据题意不易建立函数模型时 则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点 结合图象的变化趋势 验证是否吻合 从中排除不符合实际的情况 选择出符合实际情况的答案 已知正方形abcd的边长为4 动点p从b点开始沿折线bcda向a点运动 设点p运动的路程为x abp的面积为s 则函数s f x 的图象是 填序号 解析依题意知当0 x 4时 f x 2x 当4 x 8时 f x 8 当8 x 12时 f x 24 2x 观察四个图象知 正确 跟踪训练1 解析答案 题型二已知函数模型的实际问题 例2候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙 研究某种鸟类的专家发现 该种鸟类的飞行速度v 单位 m s 与其耗氧量q之间的关系为v a blog3 其中a b是实数 据统计 该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位 而其耗氧量为90个单位时 其飞行速度为1m s 即a b 0 当耗氧量为90个单位时 速度为1m s 解由题意可知 当这种鸟类静止时 它的速度为0m s 此时耗氧量为30个单位 1 求出a b的值 解析答案 2 若这种鸟类为赶路程 飞行的速度不能低于2m s 则其耗氧量至少要多少个单位 所以要使飞行速度不低于2m s 所以若这种鸟类为赶路程 飞行的速度不能低于2m s 则其耗氧量至少要270个单位 解析答案 思维升华 思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 1 认清所给函数模型 弄清哪些量为待定系数 2 根据已知利用待定系数法 确定模型中的待定系数 3 利用该模型求解实际问题 某般空公司规定 乘飞机所携带行李的质量 kg 与其运费 元 由如图的一次函数图象确定 那么乘客可免费携带行李的质量最大为 kg 解析由图象可求得一次函数的解析式为y 30 x 570 令30 x 570 0 解得x 19 19 跟踪训练2 解析答案 题型三构造函数模型的实际问题 命题点1构建二次函数模型 例3某汽车销售公司在a b两地销售同一种品牌的汽车 在a地的销售利润 单位 万元 为y1 4 1x 0 1x2 在b地的销售利润 单位 万元 为y2 2x 其中x为销售量 单位 辆 若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车 则能获得的最大利润是 万元 解析答案 因为x 0 16 且x n 所以当x 10或11时 总利润取得最大值43万元 答案43 解析设公司在a地销售该品牌的汽车x辆 则在b地销售该品牌的汽车 16 x 辆 命题点2构建指数函数 对数函数模型 例4 1 世界人口在过去40年翻了一番 则每年人口平均增长率约是 参考数据 lg2 0 3010 100 0075 1 017 解析设每年人口平均增长率为x 则 1 x 40 2 两边取以10为底的对数 则40lg 1 x lg2 所以100 0075 1 x 得1 x 1 017 所以x 1 7 1 7 解析答案 2 某位股民购进某支股票 在接下来的交易时间内 他的这支股票先经历了n次涨停 每次上涨10 又经历了n次跌停 每次下跌10 则该股民这支股票的盈亏情况 不考虑其他费用 为 略有盈利 略有亏损 没有盈利也没有亏损 无法判断盈亏情况解析设该股民购进这支股票的价格为a元 则经历n次涨停后的价格为a 1 10 n a 1 1n元 经历n次跌停后的价格为a 1 1n 1 10 n a 1 1n 0 9n a 1 1 0 9 n 0 99n a a 故该股民这支股票略有亏损 解析答案 命题点3构建分段函数模型 例5某市出租车收费标准如下 起步价为8元 起步里程为3km 不超过3km按起步价付费 超过3km但不超过8km时 超过部分按每千米2 15元收费 超过8km时 超过部分按每千米2 85元收费 另每次乘坐需付燃油附加费1元 现某人乘坐一次出租车付费22 6元 则此次出租车行驶了 km 解析设出租车行驶xkm时 付费y元 9 由y 22 6 解得x 9 解析答案 思维升华 思维升华 构建数学模型解决实际问题 要正确理解题意 分清条件和结论 理顺数量关系 将文字语言转化成数学语言 建立适当的函数模型 求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制 1 一个人喝了少量酒后 血液中的酒精含量迅速上升到0 3mg ml 在停止喝酒后 血液中的酒精含量以每小时25 的速度减少 为了保障交通安全 某地根据 道路交通安全法 规定 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0 09mg ml 那么 此人至少经过 小时才能开车 精确到1小时 解析设经过x小时才能开车 由题意得0 3 1 25 x 0 09 0 75x 0 3 x log0 750 3 4 19 x最小为5 5 跟踪训练3 解析答案 2 某企业投入100万元购入一套设备 该设备每年的运转费用是0 5万元 此外每年都要花费一定的维护费 第一年的维护费为2万元 由于设备老化 以后每年的维护费都比上一年增加2万元 为使该设备年平均费用最低 该企业需要更新设备的年数为 解析答案 返回 即x 10时取等号 答案10 解析设该企业需要更新设备的年数为x 设备年平均费用为y 则x年后的设备维护费用为2 4 2x x x 1 返回 答题模板系列 答题模板系列 2 函数应用问题 解析答案 规范解答解当0 x 40时 w xr x 16x 40 6x2 384x 40 2分 2 当年产量为多少万部时 公司在该款手机的生产中所获得的利润最大 并求出最大利润 思维点拨根据题意 要利用分段函数求最大利润 列出解析式后 比较二次函数和 对勾 函数的最值的结论 答题模板 解析答案 返回 温馨提醒 思维点拨 即x 50 40 时 取等号 所以w取最大值为5760 12分 综合 知 当x 32时 w取得最大值6104万元 14分 规范解答解 当0 x 40时 w 6 x 32 2 6104 所以wmax w 32 6104 8分 答题模板 温馨提醒 答题模板 解函数应用题的一般程序第一步 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 第二步 建模 将文字语言转化成数学语言 用数学知识建立相应的数学模型 第三步 解模 求解数学模型 得到数学结论 第四步 还原 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义 第五步 反思 对于数学模型得到的数学结果 必须验证这个数学结果对实际问题的合理性 温馨提醒 温馨提醒 返回 1 此类问题的关键是正确理解题意 建立适当的函数模型 2 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同 可以先将其当作几个问题 将各段的变化规律分别找出来 再将其合到一起 要注意各段自变量的范围 特别是端点值 思想方法感悟提高 1 认真分析题意 合理选择数学模型是解决应用问题的基础 2 实际问题中往往解决一些最值问题 我们可以利用二次函数的最值 函数的单调性 基本不等式等求得最值 3 解函数应用题的五个步骤 审题 建模 解模 还原 反思 方法与技巧 1 函数模型应用不当 是常见的解题错误 所以 要正确理解题意 选择适当的函数模型 2 要特别关注实际问题的自变量的取值范围 合理确定函数的定义域 3 注意问题反馈 在解决函数模型后 必须验证这个数学结果对实际问题的合理性 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 若一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm 则燃烧剩下的高度h cm 与燃烧时间t 小时 的函数关系用图象表示为 解析根据题意得解析式为h 20 5t 0 t 4 其图象为 15 解析答案 2 某家具的标价为132元 若降价以九折出售 即优惠10 仍可获利10 相对进货价 则该家具的进货价是 元 解析设进货价为a元 由题意知132 1 10 a 10 a 解得a 108 108 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 某工厂6年来生产某种产品的情况是 前3年年产量的增长速度越来越快 后3年年产量保持不变 则该厂6年来这种产品的总产量c与时间t 年 的函数关系图象正确的是 解析前3年年产量的增长速度越来越快 说明呈高速增长 只有 图象符合要求 而后3年年产量保持不变 故 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 将出货单价为80元的商品按90元一个出售时 能卖出400个 已知这种商品每涨价1元 其销售量就要减少20个 为了赚得最大利润 每个售价应定为 元 解析设每个售价定为x元 则利润y x 80 400 x 90 20 20 x 95 2 225 当x 95时 y最大 95 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 我国为了加强对烟酒生产的宏观管理 除了应征税收外 还征收附加税 已知某种酒每瓶售价为70元 不收附加税时 每年大约销售100万瓶 若每销售100元国家要征附加税x元 叫做税率x 则每年销售量将减少10 x万瓶 如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元 则x的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解得2 x 8 故x的最小值为2 答案2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积最大的内接矩形花园 阴影部分 则其边长x为 m 解析设内接矩形另一边长为y 解得y 40 x 所以面积s x 40 x x2 40 x x 20 2 400 0 x 40 当x 20时 smax 400 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 一个容器装有细沙acm3 细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出 tmin后剩余的细沙量为y ae bt cm3 经过8min后发现容器内还有一半的沙子 则再经过 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一 解析当t 0时 y a 当t 8时 16 则t 24 所以再经过16min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 8 某公司购买一批机器投入生产 据市场分析 每台机器生产的产品可获得的总利润f x 万元 与机器运转时间x x n 年 的函数关系式为f x x2 18x 25 则每台机器运转 年时 年平均利润最大 为 万元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析设每台机器的年平均利润为g x 万元 根据已知条件得 每台机器的年平均利润g x 关于运转时间x的函数关系式为 故每台机器运转5年时 年平均利润最大 为8万元 答案58 9 某地上年度电价为0 8元 年用电量为1亿千瓦时 本年度计划将电价调至0 55元 0 75元之间 经测算 若电价调至x元 则本年度新增用电量y 亿千瓦时 与 x 0 4 元 成反比例 又当x 0 65时 y 0 8 1 求y与x之间的函数关系式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 把x 0 65 y 0 8代入上式 解 y与 x 0 4 成反比例 2 若每千瓦时电的成本价为0 3元 则电价调至多少时 本年度电力部门的收益将比上年度增加20 收益 用电量 实际电价 成本价 整理 得x2 1 1x 0 3 0 解得x1 0 5 x2 0 6 经检验x1 0 5 x2 0 6都是所列方程的根 x的取值范围是0 55 0 75 故x 0 5不符合题意 应舍去 x 0 6 当电价调至0 6元时 本年度电力部门的收益将比上年度增加20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 某医药研究所开发的一种新药 如果成年人按规定的剂量服用 据监测 服药后每毫升血液中的含药量y 微克 与时间t 小时 之间近似满足如图所示的曲线 1 写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y f t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当t 1时 由y 4得k 4 2 据进一步测定 每毫升血液中含药量不少于0 25微克时治疗疾病有效 求服药一次后治疗疾病有效的时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 11 有浓度为90 的溶液100g 从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作 要使浓度低于10 这种操作至少应进行的次数为 参考数据 lg2 0 3010 lg3 0 4771 n 21 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析设每件产品的平均费用为y元 由题意得 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 13 某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍 且知病毒的繁殖规律