质点组的动能定理与功能原理.doc

一、质点组动能定理与功能原理的认识动能定理和功能原理是动力学中的两条基本定律。动能定理是从物体相互作用中，外力的功和物体能量的变化关系角度来研究物体的运动的，它由牛顿定律推出，且动能是状态量，研究对象的动能发生变化，一定是外力做功的结果。尽管功是和力的作用点的位移相关的过程量，但做功的多少，总可以用相应的动能变化来表示。在解决有些动力学问题时，比牛顿运动定律更方便，可省去研究不同时间、不同过程中力和加速度变化的步骤。所以应用更广泛。1.1 动能定理的内容和物理意义1.1 .1 动能定理的内容和表达式 内容：外力对物体做功的代数和等于物体动能的变化量。 表达式：W合=EK，即 W1+W2+Wn=mv22mv121.1.2 动能定理的物理意义 动能定理指出了外力对物体做的总功与物体的动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功等于物体动能的变化，变化的大小由做功的多少来量度。1.2 功能原理的内容和物理意义 1.2.1 功能原理内容内容：系统的机械能增量等于外力对系统所作的总功和系统内耗散力所作的功的代数和。表达式：1.2.2 功能原理的物理意义 它体现了系统的功能关系，是系统的动能定理和机械能守恒定律之间的定律，实质上系统的动能定理经过进行功的分类，再变形就得到了功能原理，而功能原理在一定条件下（即外力和非保守内力做功之和为零），就可以得到机械能守恒。1.3动能定理与功能原理的联系和区别研究“外力对物体做功”和“物体机械能变化”的关系是力学中的重要问题之一。“动能定理”和“功能原理”都是表达这种关系的规律，只是表达的形式不同，但它们的本质是相同的。 A在“动能定理”中只提动能而不提势能；在“功能原理”中既提动能也提势能。 B在“动能定理”中包含重力所做的功；在“功能原理”中不包含重力所做的功。 C在“动能定理”中所包含的重力对物体所做的功与在“功能原理”中所提到的物体重力势能的变化是对同一物理现象的不同表述。 D某些力学问题，既可以用“动能定理”求解，也可以用“功能原理”求解。具体如何选择，往往要根据题意而定。选择恰当，不仅解题便捷，而且不易失误。E在运用“动能定理”解题时应当注意：在公式W=EK中不含势能的变化 (EP),但是在W中包含着重力做功WG。 在运用“功能原理”解题时应当注意：在公式WF=E中既含动能的变化也含势能的变化，即E=EK+EP，但是在WF中不包含重力做功WG。（注：也不包括重力分解出的下滑分力做功！）总之必须明确：W与WF的区别；EK与E的区别。 二、 质点组动能定理与功能原理在物理研究中的意义2.1 动能定理在物理研究中的意义 动能定理可从动能和功的概念出发，以物体受恒力作用为例，从牛顿第二定律推出。但是，它也适用于变力做功的情况，如图2.1中质量为m的物体从倾角为a、长为光滑斜面顶端无初速滑下，在水平面上滑行后又停止运动。欲求摩擦力做功，则可利用动能定理。 图2.1解题：已知v1 =0， v2 =0， W1+W2 =mv22mv12 =0 W1为所求摩擦力，W2mgsina, 则有：W1+ mgsina=mv22mv12 所以：W1= mgsina在中学，动能定理是认识功能关系、解决动力学问题的金钥匙。有必要在进行“功能”教学中，就渗透“外力做功与动能变化”这一动能定理的思想，让学生就能运用这一思想解析较为广泛的力学习题。值得提及的是，尽管研究对象的动能随选取的参照系不同而异，但动能定理所研究的是动能变化与外力功之间的关系，相对于惯性参照系总能得到确定的结果。教学中应向学生交待，运用动能定理时必须使有关参量相对于同一参照物。例如观察者是“站”在参照物上来研究物体的运动的，就是说他是与参照物一起运动的，或说观察者与参照物之间无相对运动，所以观察者往往把参照物看成是“静止”不动的。2.2 功能原理在物理研究中的意义功能原理是力学中的基本原理之一。内容是物体系统的机械能增量等于功的代数和。原理表述中的耗散力，通俗的讲，即为非保守力。即任何物体系统，外力对其作的总功+系统内非保守力（见势能）做的总功 = 系统的机械能（动能与势能之和）的增量。功能原理是和机械能守恒定理一致的，后者可以看做前者等号两边都为零时的特殊情况。对其理解可以比较灵活处理功能转换等问题。功能原理实际上是动能定理的变形，在运用时应注意：如在考虑机械能时引入了重力势能，由于势能属于物体与地球共有，因此物体的重力势能即为内力（保守力），在计算合外力做功时应剔除重力做功；同样如引入弹性势能，就不应再考虑弹簧的弹力做功。另外，因为功是机械能变化的量度，所以机械能的变化需要通过做功来实现，W外反映系统和外界的能量转换，W非保内反映系统内部机械能和其他形式能量的转换；如系统内有滑动摩擦力时，W非保内为负值，表明系统的一部分机械能转换成了系统的内能。三、动能定理与功能原理的应用误区分析3.1 动能定理的应用误区分析 俗话说“青出于蓝而胜于蓝”，动能定理虽由牛顿运动定律导出，却充分体现了功是能量变化的量度，从而适用范围更广，它既适应于恒力做功过程，亦适用于变力做功过程，既适应于直线运动，亦适用于曲线运动。可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维方法，应该增强运用动能定理分析问题的主动意识，达到真正的理解和灵活运用的目的。下面通过对具体问题的分析，探讨使用动能定理应注意的一些问题。例1. 如图3.1所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，当拉力为某个值F时，转动半径为R，当拉力逐渐减小到F/4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R，则外力对物体所做的功的大小为：A、FR/4 B、3FR/4 C、5FR/8 D、零 错解:F/=5F/8 W=F/(2RR)=5FR/8 错解分析：W=FScos仅适应于求恒力做功，对变力做功不成立，由于该题中 绳的拉力显然是变力，并且此力位移作 线性变化的，故不能用力的平均值求功。 图3.1但能应用动能定理求解。 正解：设当绳的拉力为F时，小球做匀速圆周运动的线速度为V1，则有：F=mv12/R 当绳的拉力减为F/4时，小球做匀速圆周运动的线速度V2则有：F/4=mv22/2R 在绳的拉力由F减为F/4的过程中，绳的拉力所做的功为：W=mv22mv12=FR/4故，绳的拉力所做的功的大小为FR/4，A选项正确。例2 如图3.2所示，质量为M的木块放在光滑水平面上，现有一质量为m的子弹以速度0射入木块中，设子弹在木块中所受阻力不变，大小为Ff，且子弹未射穿木块。若子弹射入木块的深度为D，则木块向前移动距离是多少？系统损失的机械能是多少？错解：（1）以木块和子弹组成的系统为研究对象，系统沿水 平方向不受外力，所以沿水平方向动量守恒，设子弹和木块 共同速率为。据动量守恒有m0=(M+m)解得=m0 /(M+m) 子弹射入木块过程中，摩擦力对子弹做负功工科 图3.2FfD=m2m20 摩擦力对木块做正功 Ffs=M2 将式中求得Ff = 代入式解得s=（2）系统损失的机械能即为子弹损失的动能Ek=m20 m2=m20m()2=错解分析：错解（1）中错误原因是对摩擦力对子弹做功的位移确定错误。子弹对地的位移不是D，而D打入深度是相对位移。而求解功中的位移都要用对地位移。错解（2）的错误是对这一物理过程中能量的转换不清楚。子弹打入木块过程中，子弹动能减少并不等于系统机械能减少量，因为子弹减少的动能有一部分转移为木块的动能，有一部转化为焦耳热。正解：以子弹、木块组成系统为研究对象。系统水平方向不受外力，故水平方向动量守恒。据动量守恒定律有m0 =(M+m)(设0方向为正)= 子弹打入木块到与木块有相同速度过程中摩擦力做功：对子弹 Ffs子= m2m20 对木块 Ffs木=M2 由运动草图3.3可知s木=s子D 由式，解得 s木= +有 (M+m)2m20 =Ff(s子s木) (M+m)2m20=FfD即FfD=m20(M+m)2Ek=m20 (M+m) = 图3.3评析：子弹和木块相互作用过程中，子弹的速度由0减为，同时木块的速度由0增加到，对于这样的一个过程，因为其间的相互作用力为恒力，所以我们可以从牛顿运动定律（即f使子弹和木块产生加速度，使它们速度发生变化）、能量观点、动量观点三条不同的思路进行研究和分析，类似这样的问题都可以采用同样的思路。一般都要首先画好运动草图。从上面例题分析可以看出，如果对动能定理理解不到位或试题的物理情景分析不清，盲目的乱套公式，则常会得到错误的结果，因此我们在应用动能定理解决问题时应注意以下几个方面的问题：A、动能是一个状态量，它与物体的运动状态对应，动能是标题，它只有大小，没有方向，而且物体的动能总是大于等于零，不会出现负值。B、动能是相对的，它与参考系的选取密切相关。如行驶中的汽车上的物品，以汽车为参考系、物品动能为零，若以路边的行人为参考系物品的动能就不为零。在动能定理中，位移和速度应选择同一参考系。一般选地面为参考系。C、明确研究对象，研究过程，找出初、末状态的速度情况。动能定理一般只处理单个物体的某一运动过程，物体重力做的功同样要考虑。D、动能定理可用两种表述，一种是合力对物体做的功等于物体动能的增量，另一种是外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表述比较好操作，不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下（比如有些力在运动过程中并不是始终存在的）只要把各个力在各个阶段做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。E、动能定理建立起过程量（功）和状态量（动能）间的联系，这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径。功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。F、若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列出方程则可使问题简化。3.2 功能原理应用的七大误区功能原理：系统的机械能增量等于外力对系统所作的总功和系统内耗散力所作的功的代数和，即：。由公式可看出功能原理是和机械能守恒定理一致的，如果系统内只有保守力做功，其他非保守内力和一切外力所做的总功为零，则系统的机械能守恒。后者可以看做前者等号两边都为零时的特殊情况。下面我们来研究机械能守恒时特殊情况下功能原理的应用误区。误区一：物体系的加速度等于g，则物体的机械能守恒。物体的加速度大于或小于g，则物体的机械能不守恒。错误的原因是认为物体在重力做功的情况下,机械能守恒,既然只受重力,那么物体的加速度当然是g实际上物体的加速度等于、大于或小于g，它不是物体机械能守恒的条件，与物体机械能是否守恒无关，这种情况下物体的可能守恒也可能不守恒，应根据实际情况而定，例如质量为m的物体在滑动摩擦因数为、倾角为的斜面上滑下，如图3.4所示。物体在加速下滑的这一运动过程中，此时物体受到3个力作用，即mg、N和f。物体的加速度a=gsingcos小于g，物体机械能不守恒；如果斜面是光滑的,物体的加速度a= gsin也小于g，但物体机械能守恒。当物体加速上升时，此时物体受到两个力的作用，合力产生的加速度等于g，这个过程中物体机械能不守恒，如图3.5。如果物体做自由落体运动，加速度也为g，但此时物体的机械能守恒。图3.5fNmg（图3.4）v 误区二：系统所受到的合外力为零，则系统机械能守恒。系统中物体受力为零，有两种可能：（1）系统中有滑动摩擦力做功，则系统的机械能不守恒。（2）系统内没有滑动摩擦力做功，则系统的机械能也可能不守恒。对于（1）系统中有滑动摩擦力做功，系统中有内能的产生，系统机械能减少，机械能不守恒。如光滑水平面上A、B两个物体组成系统在相互滑动过程中（A、B间有摩擦力），由于系统内摩擦力做功A、B的机械能减少，如图3.6所示。对于（2）有两种可能：静止的物体，匀速直线运动的物体。对于其机械能不变，当然它不违背机械能守恒的规律。但是，这仅是一种包括保守力在内的一切力都不做功的特例，实际上，当把机械能守恒定律应用于这类问题时，既无意义也解决不了任何问题。同时机械能守恒也不能简单地理解为机械能不变，因为机械能守恒是指能量转化过程中的守恒，尽管物体（系）总的机械能不变，但没有动能和势能的相互转化，那种没有动能和势能相互转化的机械能不变，不能看做是机械能守恒。对于当物体在做竖直向上、向下等方向匀速直线运动时，则机械能不守恒。如神舟六号的返回舱接近地面时，匀速下落的过程中机械能不守恒。误区三：系统所受到的合外力不为零，但不做功或做功为零，则系统机械能守恒。图3.7系统中物体所受到的合外力（包括重力和系统内的弹力）不为零，但不做功。机械能也不一定守恒，例如右图3.7中，带正电的离子在复合场（匀强电场、匀强磁场和重力场）中，令重力和电场力相等，洛仑兹力提供向心力，离子在竖直平面内做匀速圆周运动。根据动能定理知，物体的动能不变，但物体重力势能发生变化，故机械能不守恒。误区四：系统的动能和势能没有发生变化，则系统机械能守恒。守恒并不能简单地理解为不变，机械能守恒是指能量转化过程中的守恒，尽管物体系统的总机械能在量值上不变，但应有动能和势能的相互转化，即守恒应该是在一个动态过程中实现的。那种没有动能和势能相互转化的机械能不变，不能看作该定律描述的机械能守恒，因为这根本就无实质性的意义和应用价值。如静止在地面上的物体，不能理解成机械能守恒。误区五：系统在运动的过程中，系统机械能的总量保持不变，则系统机械能守恒。这种情况有三种可能:（1）：系统中没有能量转化，也就是系统的动能和势能都不发生变化，系统机械能没有守恒意义，如误区四。（2）：系统参与了其他能量的相互转化，但总量保持不变，则系统机械能不守恒。首先从做功的角度和物理守恒思想看，除了系统内重力或弹力做功外，其他外力不做功，如果其他外力做功的代数和为零，机械能也是不守恒的，因为其他外力做功的代数和虽然为零，说明外力还是做了功。如在海水中以最大速度匀速行驶的轮船，牵引力对轮船做功，轮船的机械能增加，但轮船又要克服水的阻力做功，消耗机械能，只是系统内物体机械能的增加等于系统减少，不是守恒的意义。其次根据能量的转化判断.对于一个物体或系统，不能认为“总量不变”即“守恒”，在某一物理过程中。如果系统与外界之间有其他形式的能与机械能的相互转化。即使系统机械能总量保持不变，其机械能也是不守恒的，如在水平公路上以最大速度匀速行驶的汽车虽然机械能总量保持不变，但系统内有其他形式的能（内能或电能）转化为系统的机械能，系统又克服外界做功将机械能转化成其他形式的能。总量虽然不变，但不是机械能守恒的意义。分析是否只存在动能和重力势能(弹性势能)的相互转化.如果只存在动能和重力势能(弹性势能)的相互转化，而不存在机械能和其他形式的能量的转化，则机械能守恒，（3）：系统在运动过程中有能量转化，也就是系统的动能和势能在某一个物理过程中都相互发生变化，总量不变，则系统机械能守恒。误区六：系统只在弹力做功的情况下，则系统机械能守恒这里的弹力做功要理解为系统内的弹力做功，系统的机械能守恒，如果不是系统内的弹力则不守恒。如图3.8所示，将不可伸长的轻绳、物体A， B和地球视为一系统，设滑轮是理想的（即不计绳与滑轮、滑轮与轴承间的摩擦），又设悬挂两重物中其中之一的物体B质量较大，于是物体B加速下降，物体A加速上升。对于物体B而言，绳的弹力对物体B做负功，物体B对绳做正功，两者做功的代数和为零；对于物体A而言，绳的弹力对物体A做正功，物体A对绳做负功，两者做功的代数和为零，故系统机械能守恒。如果不是系统内的弹力，则系统的机械能不守恒，如此题只对物体A和地球而言，绳的弹力不是系统内弹力，绳的弹力对物体A做正功，则A和地球的系统的机械能增加了。误区七：如果系统内除重力和弹力做功外，还有其他力对物体做功，但这些功的代数和为零，则物体的机械能不守恒。 四、动能定理与功能原理的应用举例4.1 动能定理的应用 例： 一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图4.1，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的摩擦因数相同求摩擦因数思路点拨 以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，考查全过程中物体的动能没有变化，即EK=0，因此可以根据全过程中各力的合功与物体动能的变化上找出联系解题过程 设该面倾角为，斜坡长为l，则物体沿斜面下滑时，物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S2，则对物体在全过程中应用动能定理：W=EkmglsinmglcosmgS2=0得： hS1S2=0式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离故小结 本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分别为匀加速运动和匀减速运动依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题比较上述两种研究问题的方法，不难显现动能定理解题的优越性用动能定理解题，只需抓住始、末两状态动能变化，不必追究从始至末的过程中运动的细节，因此不仅适用于中间过程为匀变速的，同样适用于中间过程是变加速的不仅适用于恒力作用下的问题，同样适用于变力作用的问题4.2 功能原理的应用 例：如图4.2所示，A、B两个物体放在光滑的水平面上，中间由一根轻质弹簧连接，开始时弹簧呈自然状态，A、B的质量均为M0.1kg，一颗质量m25g的子弹，以v045m/s的速度水平射入A物体，并留在其中求在以后的运动过程中，(1)弹簧能够具有的最大弹性势能；(2)B物体的最大速度思路点拨 由题意可知本题的物理过程从以下三个阶段来分析：其一，子弹击中物体A的瞬间，在极短的时间内弹簧被压缩的量很微小，且弹簧对A的作用力远远小于子弹与A之间的相互作用力，因此可认为由子弹与A物体组成的系统动量守恒，但机械能不守恒(属完全非弹性碰撞)其二，弹簧压缩阶段，子弹留在木块A内，它们以同一速度向右运动，使弹簧不断被压缩在这一压缩过程中，A在弹力作用下做减速运动，B在弹力作用下做加速运动A的速度逐渐减小，B的速度逐渐增大，但vAvB当vAvB时，弹簧的压缩量达最大值，弹性势能也达到最大值以后随着B的加速，A的减速，则有vAvB，弹簧将逐渐恢复原长其三，弹簧恢复阶段在此过程中vBvA，且vB不断增大而vA不断减小，当弹簧恢复到原来长度时，弹力为零，A与B的加速度也刚好为零，此时B的速度将达到最大值，而A的速度为最小值根据以上三个阶段的分析，解题时可以不必去细致研究A、B的具体过程，而只要抓住几个特殊状态即可同时由于A、B受力均为变力，所以无法应用牛顿第二定律，而只能从功能关系的角度，借助机械能转化与守恒定律求解解题过程 (1)子弹击中木块A，系统动量守恒由弹簧压缩过程由子弹A、B组成的系统不受外力作用，故系统动量守恒且只有系统内的弹力做功，故机械能守恒选取子弹与A一起以v1速度运动时及弹簧压缩量最大时两个状态，设最大压缩量时弹簧的最大弹性势能为Epm，此时子弹A、B有共同速度v共，则有代入数据可解得： v5ms，Epm2.25J(2)弹簧恢复原长时，vB最大，取子弹和A一起以v1速度运动时及弹簧恢复原长时两个状态，则有代入数据可解出B物体的最大速度 vBm10ms小结 本题综合了动量守恒与机械能守恒定律的应用A、B运动过程中受变力作用，除不断进行动能与弹性势能的相互转化外，还始终遵循系统动量守恒选取特殊状态，建立两守恒方程是解决本题的关键关于这两个守恒之间的关系应加以注意，初学者常有人将两守恒的条件混淆、等同或企图用一个代替另一个例如有人认为：系统动量守恒，则系统的合外力为零；而合外力为零，合外力的功也为零，故系统的机械能也守恒类似错误还可列举很多实际上它们是完全不同的守恒问题，各自具有严格的成立条件，绝不可等同或替代，请同学们在学习中认真理解4.3 动能定理与功能原理的综合运用如图4.3所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点衔接，导轨半径为R，一个质量为m的静止的小球在A处压缩弹簧，释放小球后，在弹簧弹力的作用下小球获得一向右的速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰好能沿轨道运动到C点，求： 释放小球前弹簧的弹性势能小球由B到C克服阻力做的功物体离开C点后落回水平面时的动能的大小研究 解：设小球在B处速度为v1 ，小球受到支持力为FN1 有 从A到B，由功能关系得弹簧的弹性势能为： 设小球在C处速度为v2 ，小球受到支持力为FN2 有 小球向上运动恰好能沿轨道运动到C点，即FN20 ，故设小球从B到C，克服阻力做功为Wf ，则根据动能定理有： 解得： 设物体离开C点后落回水平面时的动能为Ek 则根据动能定理有： 解得： 4.4 总结在用动能定理解决力学问题时，只须考虑物体运动的始末状态和外力做的总功。可以不考虑运动状态变化的过程，不必追究轨迹是直线还是曲线。正因为如此，正确理解规律的内涵，从整体上考察把握物理问题，合理选取物理过程和始末状态，都是有效应用动能定理解决物理问题的关键。特别是动能定理揭示的功和能的关系可以使问题的素材超出力学的范围，要求学生形成更大的思维空间。 掌握了功能原理, 其效果等同于掌握了机械能转化和守恒定律、能的转化和守恒定律及动能定理; 而动能定理则不能概括机械能转化和守恒定律以及能的转化和守恒定律, 不能直接体现“功是能的变化的量度”这个基本概念. 功能原理直接体现了“功是能的变化的量度”这个基本概念在利用动能定理、功能原理解题时， 要知道动能定理、功能原理她们各自优点，要考虑多方面的因素，进行综合的分析， 选择正确的解题方式这样， 才可能更快更正确地把题目解出来。 参考文献1 李笙. 质点与系统的经典动力学. 1985,65-742 王世来. 质点动能定理在非惯性系中的推广及应用J. 舟山师专学报，1995，(03).3 梁紹荣. 普通物理学（力学）.国家规划教材，2003.4 贾利群. 黄宏春. 关于机械能守