广东省广州市2016届高中毕业班综合测试（二）数学文试题（解析版）

开始 3yy 输出 x y 2016 n 结束 是 否 1 0 1xyn 3xx 2nn 20162016 年广州市普通高中毕业班综合测试 二 年广州市普通高中毕业班综合测试 二 数数 学学 文科文科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 合题目要求的 1 已知集合 则 0 1 2 M 11 Nxxx Z A B C D MN NM 0 1 MN MNN 答案 C 解析 1 0 1 N 0 1 MN 2 已知 其中 为虚数单位 则的值为 1 i ii ab a b Riab A B C D 1 012 答案 B 解析 1 i iiab 1 iiab 1 1ab 0ab 3 已知等比数列的公比为 则的值是 n a 1 2 135 246 aaa aaa A B C D 2 1 2 1 2 2 答案 A 解析 135135 246135 2 aaaaaa aaaq aaa 4 从数字 中任取个 组成一个没有重复数字的两位数 则这个两位数大于的概12345230 率是 A B C D 1 5 2 5 3 5 4 5 答案 C 解析 重复数字的两位数共有 10 个 两位数大于的数共有 12 个 30 123 205 P 5 执行如图的程序框图 若程序运行中输出的一组数是 12x 则的值为 x A B 2781 C D 243729 答案 B 解析 由程序框图可知 n3579 x3 2 3 3 3 4 3 y 3 6 9 12 6 不等式组的解集记为 若 则的最大值是 0 2 22 xy xy xy D a bD 23zab A B C D 141 4 答案 A 解析 不等式组表示的平面区域的角点 坐标分别为 1 1 2 0 2 2 ABC 故选 A 1 4 2 ABC zzz 7 已知函数 则下列结论中正确的是 sin 2 4 f xx A 函数的最小正周期为 f x2 B 函数的图象关于点对称 f x 0 4 C 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 f x 8 sin2yx D 函数在区间上单调递增 f x 5 88 答案 C 解析 的最小正周期为 故 A 错误 f x 故 B 错误 2 sin 2 0 4442 f 故 C 正确 sin 2 sin2 884 f xxx 8 已知 分别是椭圆 的左 右焦点 点在椭圆上 1 F 2 FC 22 22 10 xy ab ab 3 1 2 AC 则椭圆的离心率是 12 4AFAF C A B C D 1 2 5 4 2 3 3 2 答案 D 解析 12 42AFAFa 2a 点在椭圆上 3 1 2 AC 2 13 1 44b 1b 3c 3 2 e 9 已知球的半径为 三点在球的球面上 球心到平面的距离为 OR A B COOABC 1 2 R 则球的表面积为 2ABAC 120BAC O A B C D 16 9 16 3 64 9 64 3 答案 D 解析 2ABAC 120BAC 222 2cosBCABACAB ACA 22 1 222 2 2 12 2 2 3BC 设外接圆的半径为 ABC r 则 2 3 24 sin3 2 BC r A 2r 得 222 1 2 RRr 2 16 3 R 球的表面积为 O 2 64 4 3 R 10 已知命题 命题 则下列命题中为真命题p x N 11 23 xx qx R 1 222 2 xx 的是 A B C D pq pq pq pq 答案 A 解析 由 得 故命题为真命题 11 23 xx 0 x p 1 222 2 xx 2 22 20 2 x x 2 2 2 2 220 xx 2 22 0 x 故命题为真命题 为真命题 1 2 x qpq 11 如图 网格纸上的小正方形的边长为 粗实线画出的是某几何体的三视图 则该几何体的体积是 1 A 86 B 46 C 4 12 D 8 12 答案 A 解析 该几何体为半圆柱和四棱锥组成 其中 平面平面 PDC ABCD 2 11 4 3 2 23 Vr h 2 1 23886 2 C B A D P 12 设函数的定义域为 当时 则函数 f xR 2 fxf xf xfx 0 1 x 3 f xx 在区间上的所有零点的和为 cos g xxf x 1 3 2 2 A B C D 4321 答案 B 解析 2 fxf xf xfx 的周期为 2 fxfx f x2 画出和的图象 yf x cos yx 由图可知 共有个零点 g x5 其中 12 0 xx 4 0 x 35 2xx 所有零点的和为 3 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 曲线在点的处的切线方程为 2 23f xxx 1 1 f 答案 20 xy 解析 43fxx 1 1 f 1 1f 切线方程为 即 11yx 20 xy 14 已知与的夹角为 则 ab 3 1 3 a22 3 ab b 答案 2 解析 22 3 ab 22 4412 aa b b 2 2 24 2cos412 3 b b 2 20 bb2 b x5 x4 x3 x2x1 1 2 3 2 Ox y 1 2 112 15 设数列的前项和为 若 则数列的前项和为 n an n S 2 12a 2 1 n Sknn 1 n S n 答案 21 n n 解析 依题意得 1 12 1 41 ak aak 2 12a 4k 1 3a 2 41 n Sn 2 11111 412 2121 n Snnn 数列的前项和为 1 n S n 11111111 1 2335572121nn 11 1 22121 n nn 16 已知点为坐标原点 点在双曲线为正常数 上 过点作双曲线的某一OM C 22 xy MC 条渐近线的垂线 垂足为 则的最小值为 N2ONMN 答案 2 解析 双曲线的渐近线为 yx 设 直线的方程为 00 M xyMN 00 yxxy 由 解得 00 yx yxxy 0000 22 xyxy N 00 2 2 ONxy 22 0000 0000 2 222 xyxy MNxyxy 22 00 xy 0000 xyxy 00 00 xy xy 00 2 2 MN xy 00 00 22 2 2 ONMNxy xy 00 00 22 22 2 xy xy 三 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分分 12 在中 分别为内角的对边 ABC a b c A B C 2 sin2sin2sinbBacAcaC 1 求的大小 B 2 若 求 的面积 3b A 4 ABC 解析 1 2 sin2sin2sinbBacAcaC 由正弦定理得 2 222bac aca c 化简得 222 0acbac 222 1 cos 222 acbac B acac 0B B 2 3 2 A 4 2 C 4334 sinsin 34 C sincoscossin 3434 62 4 由正弦定理得 sinsin cb CB 3b B 2 3 sin62 sin2 bC c B 的面积 ABC 1162 sin3sin 222 SbcA 4 33 4 18 本小题满分分 12 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表 1 求关于的线性回归方程 yx 2 利用 1 中的回归方程 当价格元 kg 时 日需求量的预测值为多少 40 x y 参考公式 参考公式 线性回归方程 其中 ybxa 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx aybx 解析 1 由所给数据计算得 1 10 1520253020 5 x 1 11 108658 5 y 5 2 22 222 1 1050510250 i i xx 5 1 ii i xxyy 10 3520 05210380 5 1 5 2 1 80 0 32 250 ii i i i xxyy b xx 80 32 2014 4aybx 所求线性回归方程为 0 3214 4yx 2 由 1 知当时 40 x 0 32 40 14 41 6y 故当价格元 kg 时 日需求量的预测值为kg 40 x y1 6 价格 元 kg x 1015202530 日需求量 kg y 1110865 O M D C B A H O M D C B A 19 本小题满分分 12 如图 在多面体中 是等边三角形 是等腰直角三角形 ABCDMBCD CMD 90CMD 平面平面 平面 点为的中点 CMD BCDAB BCDOCD 连接 OM 1 求证 平面 OMABD 2 若 求三棱锥的体积 2ABBC ABDM 解析 1 证明 是等腰直角三角形 CMD 点为的中点 90CMD OCDOMCD 平面平面 CMD BCD 平面平面 CMD BCDCD 平面 平面 OM CMDOM BCD 平面 AB BCDOMAB 平面 平面 AB ABDOM ABD 平面 OMABD 2 解法 1 由 1 知 平面 OMABD 点到平面的距离等于点到平面的距离 MABDOABD 过作 垂足为点 OOHBD H 平面 平面 AB BCDOH BCDOHAB 平面 平面 AB ABDBD ABDABBDB 平面 OH ABD 是等边三角形 2ABBC BCD 2BD 1OD 3 sin60 2 OHOD A BDMMABD VV 11 32 AB BD OH 1133 2 2 3223 三棱锥的体积为 ABDM 3 3 解法 2 由 1 知 平面 OMABD 点到平面的距离等于点到平面的距离 MABDOABD 是等边三角形 2ABBC BCD2BD 1OD 连接 则 OBOBCD sin603OBBD A BDMMABDO ABDA BDO VVVV 11 32 OD OB AB 113 132 323 三棱锥的体积为 ABDM 3 3 20 本小题满分分 12 已知动圆的圆心为点 圆过点且与直线相切 PPP 1 0F l1x 1 求点的轨迹的方程 PC 2 若圆与圆相交于两点 求的取值范围 P 2 2 11Fxy M NMN 解析 1 解法 1 依题意 点到点的距离等于点到直线 的距离 P 1 0FPl 点的轨迹是以点为焦点 直线为准线的抛物线 PF l1x 曲线的方程为 C 2 4yx 解法 2 设点的坐标为 依题意 得 P x y1PFx 化简得 2 2 11xyx 2 4yx 曲线的方程为 C 2 4yx 2 解法 1 设点 则圆的半径为 00 P xyP 0 1rx 圆的方程为 P 222 000 1 xxyyx 圆 2 2 11Fxy 得直线的方程为 MN 2 0000 2 12210 xxy yyx 点在曲线上 且 00 P xy 2 4C yx 2 00 4yx 0 0 x 点到直线的距离为 FMN 2 000 2 2 00 2 121 4 14 xyx d xy 2 2 00 1 4 14xy 圆的半径为 2 2 11Fxy 1 MN 2 22 00 1 2 12 1 4 1 4 d xy 2 00 1 2 1 4 1 16xx 2 0 1 2 1 41x 0 0 x 2 0 1 1x 2 0 11 0 4 1 4x 2 0 31 11 44 1 x 32MN 的取值范围为 MN 3 2 解法 2 设点 点到直线的距离为 00 P xyFMNd 则点到直线的距离为 PMNPFd 圆的半径为 圆的半径为 2 2 11Fxy 1PPF MN 2 2 2 2 12dPFPFd 化简得 2 2 2 1 dPFPFd 1 2 d PF MN 2 2 1 2 12 1 4 d PF 点在曲线上 P 00 xy 2 4C yx 且 2 00 4yx 0 0 x 22 2 00 1PFxy 2 000 214xxx 2 0 1x 1 2 11 0 4 4 PF 2 31 11 4 4 PF 32MN 的取值范围为 MN 3 2 21 本小题满分分 12 已知函数R f x 1 x e ax x 1 当时 求函数的单调区间 2a f x 2 若且时 求的取值范围 0a 0 x lnf xx a 解析 1 当时 2a f x 1 2 x x e 1 2 x fx e 令 得 1 2 x fx e 0 1 lnln2 2 x 当时 当时 ln2x 0fx ln2x 0fx 函数的单调递减区间为 递增区间为 f x ln2 ln2 2 解法 1 当时 等价于 即 1x lnf xx 1 ln x axx e ln x 1 0 x ax e 令 则 g x ln x 1 x ax e 0a 11 x g xa xe 0 函数在上单调递增 g x 1 1 1g xga e 要使 成立 则 得 1 0a e 1 a e 下面证明若时 对 也成立 1 a e 0 1 x lnf xx 当时 等价于 即 0 1 x lnf xx 1 ln x axx e ln x 1 0 x ax e 而 ln x 1 x ax e ln x 11 x x ee 令 则 h x ln x 11 x x ee 111 x h x xee 再令 则 111 x x xee 2 22 11 x xx xe x xex e 由于 则 故 0 1x 2 1x 1 x e 2 2 x x xe x x e 0 函数在上单调递减 x 0 1 即 112 1 110 x eee 0h x 函数在上单调递增 h x 0 1 11 1 0h xh ee 由 式 ln x 1 x ax e ln x 11 x x ee 0 综上所述 所求的取值范围为 a 1 e 解法 2 等价于 即 lnf xx 1 ln x axx e 1 ln x axx e 令 1 ln 1 1 ln 1 ln 01 x x x xx e g xx e xx e 当时 则 1x 1 ln x g xx e 11 0 x gx ex 函数在区间上单调递减 g x 1 1 1 g xg e 当时 则 01x 1 ln x g xx e 11 0 x xx ex gx exxe 函数在区间上单调递增 g x 0 1 1 1 g xg e 下面证明下面证明 当当时时 式成立式成立 1 a e 当时 式成立 1x 1 axg x e 当时 由于 令 01x 1 axx e h x ln x 11 x x ee 则 111 x h x xee 再令 则 111 x x xee 2 22 11 x xx xe x xex e 由于 则 故 0 1x 2 1x 1 x e 2 2 x x xe x x e 0 函数在上单调递减 x 0 1 即 112 1110 x eee 0h x 函数在上单调递增 h x 0 1 11 10h xh ee ln x 11 0 x x ee 即 式成立 ln x 11 x xax ee 综上所述 所求的取值范围为 a 1 e O F E D C BA O F E D C BA 请考生在第请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答时请写清题号 做答时请写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 四边形是圆的内接四边形 是圆的直径 的延ABCDOABOBCCD AD 长线与的延长线交于点 过作 垂足为点 BCECCFAE F 1 证明 是圆的切线 CFO 2 若 求的长 4BC 9AE CF 解析 1 证明 连接 OCAC BCCD CABCAD 是圆的直径 ABOOCOA CABACO CADACO AEOC CFAE CFOC 是圆的切线 CFO 2 是圆的直径 ABO 即 90ACB ACBE CABCAD 点为的中点 CBE 4BCCECD 由割线定理 且 得 EC EBED EA 9AE 32 9 ED 在 中 则为的中点 CDECDCE CFDE FDE 16 9 DF 在中 Rt CFD 2222 164 65 4 99 CFCDDF 的长为 CF 4 65 9 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 曲线的参数方程为为参数 以点为极点 轴正半xOyC 3cos