王式安考研概率讲义

1 概率统计 第一讲 随机事件和概率 考试要求 数学一 三 四要求一致 了解 样本空间的概念 理解 随机事件 概率 条件概率 事件独立性 独立重复试验 掌握 事件的关系与运算 概率的基本性质 五大公式 加法 减法 乘法 全概率 贝叶 斯 独立性计算 独立重复试验就算 会计算 古典概率和几何型概率 1 随机事件与样本空间 一 随机试验 E 1 可重复 2 知道所有可能结果 3 无法预知 二 样本空间 试验的每一可能结果 样本点 所有样本点全体 样本空间 三 随机事件 样本空间的子集 随机事件 ABC 样本点 基本事件 随机事件由基本事件组成 如果一次试验结果 某一基本事件出现 发生 出现 如果组成事件的基本事件出现 发生 出现AAA 必然事件 不可能事件 2 事件间的关系与运算 2 一 事件间关系 包含 相等 互斥 对立 完全事件组 独立 二 事件间的运算 并 交 差 运算规律 交换律 结合律 分配律 对偶律对偶律 概率定义 集合定义 记号 称法 图 三 事件的文字叙述与符号表示 例 2 从一批产品中每次一件抽取三次 用表示事件 1 2 3 i A i 第 i 次抽取到的是正品 试用文字叙述下列事件 1 2 122313 A AA AA A 123 A A A 3 4 123 AAA 123123123 A A AA A AA A A 再用表示下列事件 123 A A A 5 都取到正品 6 至少有一件次品 7 只有一件次品 8 取到次品不多于一件 3 概率 条件概率 事件独立性 五大公式 一 公理化定义 A P 1 0P A 2 1P 3 1212 nn P AAAP AP AP A ij A Aij 二 性质 1 0P 2 1212 nn P AAAP AP AP A ij A Aij 3 1 P AP A 4 AB P AP B 3 5 0 1P A 三 条件概率与事件独立性 1 事件发生条件下事件发生的条件概率 0 P AB P AP B A P A AB 2 事件独立 P ABP A P B A B 独立独立独立独立 A B A B A B A B 时 独立 0P A A B P B AP B 3 1212 12 1 kk iiiiiik P AAAP A P AP Aiiin 称相互独立 个等式 12 n A AA 23 21 nn nnn CCCn 相互独立两两独立 四 五大公式 1 加法公式 P ABP AP BP AB P A BCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC 12 n P AAA 2 减法公式 P ABP AP AB 3 乘法公式 0 P AP ABP A P B A 时 121 0 n P A AA 12121312121 nnn P A AAP A P A A P A A AP A A AA 4 全概率公式 是完全事件组 且 12 n B BB 0 i P B 1 in 1 n ii i P AP B P A B 5 贝叶斯公式 是完全事件组 12 n B BB 0 0 1 i P AP Bin 4 1 jj jn ii i P B P A B P B A P B P A B 1 2 jn 4 古典型概率和伯努利概率 一 古典型概率 A nA P A n 所包含的样本点数 样本点总数 二 几何型概率 AA L P A L 的几何度量 的几何度量 三 独立重复试验 独立 各试验间事件独立 重复 同一事件在各试验中概率不变 四 伯努利试验 试验只有两个结果 伯努利试验AA和 重伯努利试验n 二项概率公式 1 kkn k n C PP 0 1 kn P Ap 5 典型例题分析 例 1 设为两事件 且满足条件 则 A BABAB P AB 例 2 为任意两事件 则事件等于事件 A B ABBC AAC B ABC C ABC D ABBC 例 3 随机事件 满足和 则有 A B 1 2 P AP B 1P AB 5 AAB BAB C 1P AB D 0P AB 例 4 设且 则必有 01 P A P B 1P B AP B A A P A BP A B B P A BP A B C P ABP A P B D P ABP A P B 例 5 06 设 为随机事件 且 则必有AB 0P B 1P A B A P ABP A B P ABP B C P ABP A D P ABP B 例 6 试证对任意两个事件与 如果 则有AB 0P A 1 P B P B A P A 例 7 有两个盒子 第一盒中装有 2 个红球 1 个白球 第二盒中装一半红球 一半白球 现从 两盒中各任取一球放在一起 再从中取一球 问 1 这个球是红球的概率 2 若发现这个球是红球 问第一盒中取出的球是红球的概率 例 8 假设有两箱同种零件 第一箱内装 50 件 其中 10 件一等品 第二箱内装 30 件 其中 18 件一等品 现从两箱中随意挑出一箱 然后从该箱中先后随机取出两个零 不放回 试求 1 先取出的零件是一等品的概率 p 2 在先取的零件是一等品的条件下 第二次取出的零件仍为一等品的条件概率 q 6 例 9 袋中装有个白球和个黑球 分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取 求下列事件的概率 1 从袋中取出的第个球是白球k 1 k 2 从袋中取出个球中 恰含个白球和个黑球ab ab ab 例 10 随机地向半圆 其中 是常数 内掷一点 则原点和 2 02x yyaxx 0a 该点的连线与轴的夹角小于的概率为 x 4 例 11 在伯努利试验中 每次试验成功的概率为 求在第次成功之前恰失败了次的概率 pnm 例 12 四封信等可能投入三个邮筒 在已知前两封信放入不同邮筒的条件下 求恰有三封信放 入同一个邮筒的概率为 例 13 已知三事件中相互独立 则三事件 A B CAB与 0P C A B C 相互独立 两两独立 但不一定相互独立 A B 不一定两两独立 一定不两两独立 C D 7 例 14 10 台洗衣机中有 3 台二等品 现已售出 1 台 在余下的 9 台中任取 2 台发现均为一等品 则原先售出 1 台为二等品的概率为 A 3 10 B 2 8 C 2 10 D 3 8 例 15 甲袋中有 2 个白球 3 个黑球 乙袋中全是白球 今从甲袋中任取 2 球 从乙袋中任取 1 球混合后 从中任取 1 球为白球的概率 A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 例 16 10 件产品中含有 4 件次品 今从中任取两件 已知其中有一件是次品 求另一件也是次 品的概率 例 17 两盒火柴各根 随机抽用 每次一根 求当求当一盒用完时 另一盒还有根的概率 NR RN 例 18 05 从数 1 2 3 4 中任取一个数 记为 再从 1 2 中任取一个数记为XX 则 Y 2 P Y 第二讲 随机变量及其概率分布 考试要求 理解 离散型和连续型随机变量 概率分布 分布函数 概率密度 掌握 分布函数性质 0 1 分布 二项分布 超几何分布 泊松分布 均匀分布 正态分 8 布 指数分布及它们的应用 会计算 与随机变量相联系的事件的概率 用泊松分布近似表示二项分布 随机变量简单 函数的概率分布 数学一 了解 数学三 四 掌握 泊松定理结论和应用条件 1 随机变量及其分布函数 一 随机变量 样本空间上的实值函数 常用表示 XX X Y Z 二 随机变量的分布函数 对于任意实数 记函数 x F xP Xx x 称为随机变量的分布函数 F xX 的值等于随机变量在内取值的概率 F xX x 三 分布函数的性质 1 记为 lim 0 x F x 0F 记为 lim 1 x F x 1F 2 是单调非减 即时 F x 12 xx 12 F xF x 3 是右连续 即 F x 0 F xF x 4 对任意 有 12 xx 1221 P xXxF xF x 5 对任意 x 0 P XxF xF x 性质 1 3 是成为分布函数的充要条件 F x 例 设随机变量的分布函数为 X 0 1 0 0 Ax x F xx x 其中是常数 求常数及 AA 12 PX 9 2 离散型随机变量和连续型随机变量 一 离散型随机变量 随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个 二 离散型随机变量的概率分布 设离散型随机变量的可能取值是X 12 n x xx 称为的概率分布或分布律 1 2 kk P Xxpk X 分布律性质 1 0 1 2 k pk 2 1 k k p 分布律也可表示为 12 12 k k Xxxx Pppp 三 离散型随机变量分布函数 kk kk xxxx F xP Xxp 0 P XaF aF a 例 1 求 123 111 326 X P F x 四 连续型随机变量及其概率密度 设的分布函数 如存在非负可积函数 有X F x f x x F xf t dt x 称为连续型随机变量 为概率密度 X f x 概率密度性质 1 0f x 2 1f t dt 3 12 xx 2 1 12 x x P xXxf t dt 10 4 的连续点处有 f x F xf x 例 已知和均为概率密度 则必满足 f x 1 f xf x 1 f A 11 1 0f x dxf x B 11 1 f x dxf xf x C 11 0 0f x dxf x D 11 0 f x dxf xf x 3 常用分布 一 0 1 分布 01 01 1 X p Ppp 二 二项分布 kkn k n P XkC p q 0 1 kn 01p 1qp XB n p 三 超几何分布 kn k MN M n N C C P Xk C 12 kll XH n M N 四 泊松分布 k P Xke k 0 1 2 k 0 XP 例 设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布 已知该时段内没有车通过的概率为 则这段 1 e 时间内至少有两辆车通过的概率为 五 均匀分布 1 0 axb f xba 其他 XU a b 11 例 设随机变量在上服从均匀分布 则方程 1 6 2 10 xx 有实根的概率是 六 指数分布 0 0 x ex f x x 0 0 XE 七 正态分布 2 2 2 1 2 x f xe x 2 XN 0 标准正态分布 0 1 XN 2 2 1 2 x xe x 2 2 1 2 t x xedt 如果 则 2 XN 0 1 X N 1 xx 2 1 xx 3 1 0 2 4 2 1P Xaa 0 1 XN 例 且 则 2 XN 3 0 9987 3 P X 4 随机变量的函数的分布X Yg X 一 离散型随机变量的函数分布 12 设的分布律 X kk P Xxp 1 2 k 则的分布律 Yg X kk P Yg xp 1 2 k 如果相同值 取相应概率之和为取该值概率 k g xY 二 连续型随机变量的函数分布 1 公式法 的密度单调 导数不为零可导 X X fxyg x 是其反函数 则的密度为 h y Yg X 0 X Y h yfh yy fy 其他 其中是函数在可能取值的区间上值域 g xX 2 定义法 先求 YX g xy FyP YyP g Xyfx dx 然后 YY fyFy 5 典型例题分析 例 1 设随机变量的分布函数 2 0 1 0 b ax xF x Cx 求的值 a b c 例 2 设随机变量的分布律为X 1 2 k P XkCk k 0 试确定常数的值 C 13 例 3 汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口 各信号灯相互独立 且红绿显示时间相等 以 表示汽车所遇红灯个数 求的分布及分布函数 XX 例 4 04 设随机变量服从正态分布 对给定的数满足X 0 1 N 01 u 若 则等于 P Xu P Xx x A 2 u B 1 2 u C 1 2 u D 1 u 例 5 在区间上任意投掷一点 为这点坐标 设该点落在中任意小区间的概率与 a bX a b 这小区间长度成正比 求的概率密度 X 例 6 对进行三次独立观测 试求至少有两次观测值大于 3 的概率 2 5 XU X 例 7 06 设随机变量服从正态分布 服从正态分布X 2 11 N Y 2 22 N 且 则必有 12 1 1 P XP Y A 12 B 12 C 12 D 12 14 例 8 的密度 试求常数 X 2 xx f xAex A 例 9 设服从参数为 2 的指数分布 证明 随机变量服从 X 2 1 X Ye 0 1 U 例 10 已知的密度为 X 1 2 x f xe x 求的概率密度 2 YX 例 11 设随机变量的密度满足 是的分布函数 X x xx F xX 则对任意实数有a A 0 1 a Fax dx B 0 1 2 a Fax dx C FaF a D 2 1FaF a 例 12 设随机变量的分布函数为 引入函数 X F x 1 F xF ax 2 2 F xFx 和 则可以确定也是分布函数为 3 1 F xFx 4 F xF xa A 12 F x F x B 23 F x F x C 34 F x F x D 24 F x F x 15 例 13 设且 则 2 2 XN 24 0 3Px 0 P X 例 14 设 则随的增大 概率 2 XN P X 单调增大 单调减小 A B 保持不变 非单调变化 C D 例 15 证明具有相同密度 则其分布函数一定满足 XX 与 F x 1F xFx 例 16 且 XU a b 0 a 1 03 4 PX 1 4 2 P X 求 1 的概率密度 2 X 15 PX 第三讲多维随机变量及其概率分布 考试要求 理解 随机变量及其联合分布 离散型联合概率分布 边缘分布和条件分布 连续型联合概率密度 边缘密度和条件密度 随机变量独立性和相关性 掌握 随机变量的联合分布的性质 离散型和连续型随机变量 1 二维随机变量及其联合分布函数 一 二维随机变量 设是定义在样本空间上的两个随机变量 XXYY 16 则称向量为二维随机变量或随机向量 X Y 二 二维随机变量的联合分布函数 定义 F x yP Xx Yy x y 性质 1 0 1F x y 2 0FyF xF 1F 3 关于和关于单调不减 F x yxy 4 关于和关于右连续 F x yxy 例 1 设二维随机变量的分布函数为 则随机变量的分布函数 X Y F x y Y X 1 F x y 三 二维随机变量的边缘分布函数 X FxP XxP Xx YF x Y FyP YyP XYyFy 例 2 设二维随机变量的分布函数为 X Y 2 1 1 0 0 0 xy eexy F x y 其他 试求 XY Fx Fy 2 二维离散型随机变量 一 联合概率分布 1 2 ijij P Xx Yypi j 17 12 111121 221222 12 i j j iiiij X Yyyy xppp xppp xppp 性质 1 2 0 ij p 1 ij ij p 例 设随机变量在 1 2 3 三个数字中等可能取值 随机变量在中等可能的取一XY1X 整数值 求的概率分布 X Y 二 边缘概率分布 iiijij jj pP XxP Xx Yyp 1 2 i jjijij ii pP YyP Xx Yyp 1 2 j 三 条件概率分布 0 j P Yy ijij ij jj P Xx Yyp P Xx Yy P Yyp 1 2 i 0 i P Xx ijij ji ii P Xx Yyp P Yy Xx P Xxp 1 2 j 例 设分布律为 已知 求 01 0 10 5 X Y ab c 1 10 2 P YX 1 10 3 P XY a b c 3 二维连续型随机变量 一 概率密度 18 概率密度 xy F x yf udud f x y 性质 1 0f x y 2 1f x y dxdy 例 则 2 0 0 0 x y kexy f x y 其他 k 二 边缘密度 X fxf x y dy Y fyf x y dx 三 条件概率密度 1 条件分布 0 lim Y X Fy xP Yy xXx 0 lim X Y Fx yP Xx yYy 2 条件概率密度 Y X X f x y fy x fx X Y Y f x y fx y fy 0 X fx 0 Y fy 4 随机变量的独立性 定义 对任意 x y P Xx YyP Xx P Yy XY F x yFx Fy 离散型 ijij pp p 连续型 XY f x yfx fy 例 1 设随机变量相互独立 下表列出了二维随机变量的联合概率分布及关于XY和 X Y 的边缘概率分布的部分数值 将剩余数值填入表中空白处XY和 19 123 1 2 1 8 1 8 1 6 i j XYyyyp x x p 例 2 判断是否独立XY与 1 2 123 1 100 3 11 20 66 111 3 999 X Y 2 1 1 0 0 0 xy eexy F x y 其他 5 二维均匀分布和二维正态分布 一 二维均匀分布 的面积 1 0 x yG f x yA 其他 AG是 例 设二维随机变量在平面上由曲线所围成的区域上服从均匀分 X YxOy 2 yxyx 和 布 则概率 11 0 0 22 PXY 二 二维正态分布 22 1212 N 12 0 1 22 1122 222 2 1122 12 2 11 exp 2 1 21 xxyy f x y 性质 1 2 11 XN 2 22 YN 20 2 相互独立的充分必要条件是XY与0 3 2222 121212 2 aXbYN ababab 6 两个随机变量函数的分布 一 二维离散型随机变量的函数的概率分布求法与一维类似 二 二维连续型随机变量的函数的分布求法 可用公式 Zg X Y Z g x yz FzP ZzP g X Yzf x y dxdy 当时 ZXY z x Z Fzdxf x y dy z y dyf x y dx 或 Z Fzf x zx dx f zy y dy 特别 当相互独立时 X Y ZXY fzfx fzx dx ZXY fzfzy fy dy 三 简单函数通常包括线形函数 初等函数 最大值 最小值 绝对值等 例 设相互独立 分布函数为 试求 X Y XY Fx Fy 1 的分布函数 max MX Y M Fz 2 得分布函数 min NX Y N Fz 21 7 典型例题分析 例 1 从 1 2 3 三个数字中一次任取两数 第一个数为 第二个数为 XY 记 试求和的分布律及其边缘分布 max X Y X Y X 例 2 设随机变量 且 101 111 424 i i x X p 1 2i 12 0 1P X X 则 12 P XX 例 3 设某班车起点站上车人数服从参数的泊松分布 每位乘客在中途下车的概率X 0 为 且他们在中途下车与否是相互独立的 用表示在中途下车的人数 求 01 pp Y 1 在发车时有个乘客的条件下 中途有人下车的概率 nm 2 二维随机向量的概率分布 X Y 例 4 设随机变量的密度为 X Y 2 0 2 01 0 Axyxy f x y 其他 求 1 常数 2 边缘密度 3 是否独立 A X Y 22 例 5 设随机变量相互独立 均服从分布 1 2 3 4 i X i 1 1 2 B 求行列式的概率分布 12 34 XX X XX 例 6 设相互独立随机变量分别服从和 则XY与 0 1 N 1 1 N A 1 0 2 P XY B 1 1 2 P XY C 1 0 2 P XY D 1 1 2 P XY 例 7 设 则 22 0 X YN P XY 例 8 设两随机变量相互独立且同分布 则成立XY与 1 1 1 2 P XP Y A 1 2 P XY B 1P XY C 1 0 4 P XY D 1 1 4 P XY 例 9 06 设两个随机变量与相互独立 且均服从区间上的均匀分布 则XY 0 3 23 max 1 PX Y 例 10 设 0 0 y eyx f x y 其他 试求 1 是否独立 XY fxfy和 X Y 2 和 X Y fx y Y X fy x 例 11 相互独立 服从参数为的泊松分布 证明服从参数为的泊松分布 X Y ZXY 2 例 12 04 设随机变量在区间 0 1 上服从均匀分布 在的条件X 01 Xxx 下 随机变量在区间上服从均匀分布 求 Y 0 x I 随机变量的联合概率密度 XY和 II 的概率密度 Y III 概率 1 P XY 24 例 13 05 设二维随机变量的概率密度为 X Y 1 01 02 0 xyx f x y 其他 求 I 的边缘概率密度 X Y XY fxfy II 的概率密度 2ZXY Z fz III 11 22 P YX 第四讲 随机变量的数字特征 考试要求 数学一 数学三 数学四 要求一致 理解 随机变量数字特征 数学期望 方差 标准差 矩 协方差 相关系数 掌握 常用分布的数字特征 会计算 用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征 根据一维和二维随机变量的概率分 布求其函数的数学期望 1 随机变量的数学期望 一 定义 1 离散型 kk P Xxp 1 2 k 当绝对收敛 1 kk k x p 1 kk k E Xx p 2 连续型 当绝对收敛 f x xf x dx 25 E Xxf x dx 二 性质 1 E CC 2 E CXCE X 3 E XYE XE Y 4 相互独立 则XY和 E XYE X E Y 例 将一均匀骰子独立抛掷三次 求掷得三数之和的数学期望 X 三 随机变量的函数的数学期望X Yg X 1 离散型 kk P Xxp 1 2 k 当绝对收敛 1 kk k g xp 1 kk k E YE g Xg xp 2 连续型 当绝对收敛 f x g x f x dx E YE g Xg x f x dx 四 随机变量的函数的数学期望 X Y Zg X Y 1 离散型 ijij P Xx Yyp 1 2 i j 当绝对收敛 11 ijij ij g x yp 11 ijij ij E ZE g X Yg x yp 2 连续型 当绝对收敛 f x y g x y f x y dxdy 26 E ZE g X Yg x y f x y dxdy 例 1 商店经销某种商品 每周进货的数量与顾客对该种商店的需求量是相互独立的随机XY 变量 且都在区间上服从均匀分布 商店每售出一单位商品可得利润 1000 元 若 10 20 需求量超过了进货量 商店可以从其他商店调剂供应 这时每单位商品获利 500 元 试计 算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值 2 随机变量的方差 一 定义 方差 2 D XE XEX 标准差 均方差 XD X 二 计算方差的公式 22 D XE XEX 22 E XEX 三 性质 1 反之不能得出为常数 0D C 0D X X 2 2 D aXba D X 3 相互独立 X Y D XYDXDY 例 随机变量的概率密度为 X 2 4 0 0 0 x xex f x x 则 21 DX 3 常用随机变量的数学期望和方差 27 一 0 1 分布 EXp DXpq 二 二项分布 EXnp DXnpq 三 泊松分布 EXDX 四 均匀分布 2 22 abba EXDX 五 指数分布 2 11 EXDX 六 正态分布 2 XN EX 2 DX 22 1212 X YN 1 EX 2 EY 2 1 DX 2 2 DY 例 已知随机变量 试证 XB n p D Xnpq 例 设随机变量 试证 XP E X 4 矩 原点矩 E X 2 E X 中心矩 2 E XEX 混合矩 E XY 混合中心矩 E XEX YEY 5 协方差和相关系数 28 一 协方差 定义 cov X YE XE XYE YE XYE X E Y 公式 2cov D XYD XD YX Y 性质 1 cov cov X YY X 2 cov cov aX bYabX Y 3 1212 cov cov cov XXYX YXY 二 相关系数 定义 cov XY X Y D XD Y 不相关 相互独立不相关0 XY X Y X Y 性质 1 1 XY 2 1 XY 1 1P aXbY 0ab 3 设 22 1212 X YN 则 且相互独立不相关 XY X Y X Y 0 例 对随机变量 证明下列关系是等价的 X Y 1 cov 0X Y 2 不相关XY与 3 E XYE X E Y 4 D XYD XD Y 6 典型例题分析 例 1 设随机变量服从分布 且已知 X P 1 2 1E XX 29 则 例 2 已知件产品中含有件次品 从中任意取出件 设这件产品中的次品件NMn nN n 数为 试求 X E X 例 3 04 设随机变量服从参数为的指数分布 则 X P XDX 例 4 设随机变量的概率密度函数为X 2 2 x Bx f xAe x 其中为常数 已知 试求和 A B E XD X A B E X 例 5 04 设随机变量独立同分布 且其方差为 12 n XXX 1 n 2 0 令 则 1 1 n i i YX n 30 A 2 1 cov X Y n B 2 1 cov X Y C 2 1 2 n D XY n D 2 1 1 n D XY n 例 6 在伯努利试验中 已知 现独立 重复地进行试验直到出现为止 令表示 P Ap AX 所需进行的试验次数 试求 E XD X和 例 7 设随机变量的联合分布在以点为顶点的三角形区域上服从均匀XY和 0 1 1 0 1 1 分布 试求随机变量的方差 U X Y 例 8 设随机变量的概率分布密度为 X 1 2 x f xe x 1 求的X E XD X和 2 求与的协方差 问与是否不相关 XXXX 31 3 问与是否相互独立 为什么 XX 例 9 已知随机变量服从 设 X Y 1 1 0 9 16 2 N 32 XY Z 1 求的Z E ZD Z和 2 求 XZ 3 问是否相互独立 为什么 Z X 例 10 设随机变量在 内服从均匀分布 则的相关系数 X YD 22 1xy XY和 XY 例 11 随机变量均服从正态分布 则XY和 一定服从正态分布 不相关与独立等价 AX Y BXY和 一定服从正态分布 未必服从正态分布 C X Y D XY 32 例 12 在次独立重复试验中 分别表示成功和失败的次数 则的相关系数等于nXY和XY和 0 A1 B C 1 2 D1 例 13 设是两个随机事件 定义两个随机变量如下 AB和 和 1 0 A X A 出现 出现 1 0 B Y B 出现 出现 证明 不相关的充分必要条件是相互独立 XY与AB与 例 14 已知随机变量的分布X 2 k C P Xk k 0 1 2 k 其中为常数 则随机变量的 C23YX D Y 例 15 04 设为两个随机事件 且 A B 1 4 P A 1 3 P B A 1 2 P A B 令 1 0 A X A 发生 不发生 1 0 B Y B 发生 不发生 求 I 二维随机变量的概率分布 X Y 33 II 的相关系数 XY与 XY III 的概率分布 22 ZXY 例 16 06 设二维随机变量的概率分布为 X Y 01 100 2 00 10 2 10 1 X Y a b c 其中为常数 且的数字期望 E X 0 2 a b cX5 0 00 P XY 记 ZXY 求 I 的值 II Z 的概率分布 III a b c P XZ 例 17 06 设随机变量的概率密度为X 1 10 2 1 02 4 0 x x fxx 其它 令为二维随机变量的分布函数 求 2 YXF x y X Y 34 I 的概率密度 II III Y Y fycov X Y 1 4 2 F 第五讲大数定律和中心极限定理 考试要求 数学一 了解 切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 伯努利和辛钦大数定律 棣莫弗 拉普拉斯定理 列维 林德伯格定理 数学三 四 了解 切比雪夫大数定律 伯努利和辛钦大数定律 棣莫弗 拉普拉斯定理 列维 林德伯格定理 数学三 掌握 切比雪夫不等式 数学三 四 会用 相关的定理近似计算有关事件的概率 数学四 了解 切比雪夫不等式 1 切比雪夫不等式和依概率收敛 一 切比雪夫不等式 2 D X P XE X 0 二 依概率收敛 记作lim 1 n n P XA 0 P n XA 例 设随机变量的方差为 2 则根据切比雪夫不等式有估计X 2 P XE X 2 大数定律 一 切比雪夫大数定律 设两两不相关 存在且存在常数 使 12 n XXX ii E XD X和C i D XC 35 则对任意 1 2 i 0 11 11 lim 1 nn ii n ii PXE X nn 二 伯努利大数定律 则对任意 n XB n p 0 lim 1 n n X Pp n 三 辛钦大数定律 设独立同分布 则对任意 12 n XXX i E X 0 1 1 lim 1 n i n i PX n 3 中心极限定理 一 棣莫弗 拉普拉斯定理 设 则对任意 n XB n p x lim 1 n n Xnp Pxx npp 二 列维 林德伯格定理 设独立同分布 12 n XXX i E X 2 i D X 则对任意x 1 lim n i i n Xn Pxx n 4 典型例题分析 例 1 设随机变量的数学期望都是 2 方差分别为 和 而相关系数为 0 5 则根据切比XY和14 雪夫不等式 6 P XY 36 例 2 将一枚骰子重复掷次 则当时 次掷出点数的算术平均值依概率收敛于nn n 例 3 05 设为独立同分布的随机变量列 且均服从参数为的指数 12 n XXX 1 分布 记为标准正态分布函数 则 x A 1 lim n i i n Xn Pxx n B 1 lim n i i n Xn Pxx n C 1 lim n i i n Xn Pxx n D 1 lim n i i n X Pxx n 第六讲 数理统计 第一章 基本概念 考试要求 数学一 三 理解 总体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩 数学一 了解 分布 分布 分布 分位数并会查表计算 2 tF 正态总体的常用抽样分布 数学三 了解 产生变量 变量 变量的典型模式 2 tF 理解 标准正态 分布 分布 分布的分位数并会查表计算 经验分布 2 tF 掌握 正态分布的常用抽样分布 1 总体和样本 37 一 总体 所研究对象的某项数量指标全体 X 二 样本 如果相互独立且都与总体同分布 则称为来自总体 12 n XXXX 12 n XXX 的简单随机样本 简称样本 样本容量 样本值 观测值 则的联合分布 XF x 12 n XXX 12 1 n ni i F x xxF x 则的联合密度 Xf x 12 n XXX 12 1 n ni i f x xxf x 例 设总体 则来自总体的样本的联合概率密度 Xe X 12 n XXX 12 n f x xx 2 统计量和样本数字特征 一 统计量 样本的不含未知参数的函数 如果是样 12 n XXX 12 n TT XXX 12 n x xx 本的样本值 则数值为统计量的观测值 12 n XXX 12 n T x xx 12 n T XXX 二 样本数字特征 1 样本均值 1 1 n i i XX n 2 样本方差 22 1 1 1 n i i SXX n 样本标准差 2 1 1 1 n i i SXX n 38 3 样本阶原点矩 k 1 1 n k ki i AX n 1 2k 4 样本二阶中心矩 2 2 1 1 n i i BXX n E XE X 2 D X D X nn 22 E SD X 如果 k k E X 1 1 n Pk nik i AX n 例 设总体的概率密度为 来自总体的样本为则X 2 01 0 xx f x 其他 X 1234 XXXX 的概率密度 4 1234 max XXXXX 4 X fx 3 常用统计抽样分布 常用统计抽样分布 正态分布 分布 分布和分布 除正态分布外不必记忆这些分 2 tF 布的概率密度 但要了解其典型模式 分布曲线示意图和分位数 会查表 一 分布 2 1 典型模式 相互独立且均服从 则称 12 n XXX 0 1 N 服从自由度为的分布 记 2222 12 n XXX n 2 22 n 1 22 2 1 0 2 2 0 0 nx n xex n f x x 2 En 2 2Dn 39 2 可加性 设 且相互独立 22 11 n 22 22 n 22 12 和 则 222 1212 nn 3 上分位点 设 对于给定的 称满足条件 2 n 22 n 01 的点为分布的上分位点 22 n P 2 n 2 n 例 已知 则 22 n 2 E 二 分布t 1 典型模式 独立 则 X Y 0 1 XN 2 Yn X Tt n Y n 12 2 1 2 1 2 n n x f x n n n x 是偶函数 充分大时 近似 f xn t n 0 1 N 2 上分位点 tn Tt n01 P Ttn 1 tntn 2 P Ttn 三 分布F 1 典型模式 独立 则 X Y 22 12 XnYn 1 12 2 X n FF n n Y n 40 1 12 12 12 1 2 22 12 12 2 12 2 0 22 0 0 n nn nn nn x nnx nn f x n xn x 如果 则 12 FF n n 21 1 F n n F 2 上分位点 12 F n n 12 FF n n 01 12 P FF n n 112 21 1 Fn n F n n 4 正态总体的抽样分布 一 一个正态总体 设 来自总体的样本 2 XN 12 n XXXX 样本均值 样本方差 则X 2 S 1 2 XN n 0 1 X UN n 2 与相互独立 且X 2 S 2 22 2 1 1 ns Xn 3 1 X Tt n Sn 4 222 2 1 1 n i i Xn 二 两个正态总体 设 和 分别来自的样本 2 11 XN 2 22 YN 1 12 n XXX 2 12 n Y YYXY和 相互独立 22 12 X Y SS 41 1 22 12 12 12 XYN nn 12 22 12 12 0 1 XY UN nn 2 如果 则 22 12 12 12 12 2 11 XY Tt nn S nn 其中 22 2 1122 12 1 1 2 nSnS S nn 3 22 11 12 22 22 1 1 S FF nn S 5 典型例题分析 例 1 设总体服从参数为的 0 1 分布 则来自总体的简单随机样本的概率XpX 12 n XXX 分布为 例 2 设总体 则来自总体的样本的样本均值的分布律为 XP X 12 n XXXX 例 3 98 设是来自正态总体的样本 已知 1234 XXXX 2 0 2 N 服从分布 其中为常数 则 222 1234 2 34 a XXbXX 2 n a b 1 或 2 n 例 4 设随机变量 则服从的分布及参数为 Tt n 2 T 42 例 5 05 设为来自总体的简单随机样本 为样本均值 为 12 n XXX 2 n 0 1 NX 2 S 样本方差 则 A 0 1 nXN B 22 nSn C 1 1 nX t n S D 2 1 2 2 1 1 1 n i i nX Fn X 例 6 设 从总体中抽样取样本 试确定的值 使得 2 0 XN X 129 XXX 为最大 其中 13 PX 9 1 1 9 i i XX 例 7 已知相互独立 且服从 123 XXX 2 0 N 证明服从分布 123 23 2 3 XXX XX 1 t 例 8 设总体服从正态 从该总体中抽取简单随机样本X 2 N 0 其样本均值为 求统计量 122 2 n XXXn 2 1 1 2 n i i XX n 的数学期望 2 1 2 n in i i YXXX E Y 43 例 9 04 设总体服从正态分布 总体服从正态分布 X 2 1 N 2 2 N 和分别是来自总体的简单随机样本 则 1 12 n XXX 2 12 n Y YYXY和 12 22 11 12 2 nn ij ij XXYY E nn 例 10 06 设总体的概率密度为 为总体的X 1 2 x f xex 1 12 n XXXX 简单随机样本 其样本方差为 则 2 S 2 E S 第二章 参数估计 考试要求 理解 参数的点估计 估计量和估计值 了解 估计量的无偏性 有效性 一致性 区间估计 掌握 矩估计法和最大似然估计法 会 验证估计量的无偏性 单个正态总体的均值和方差的置信区间 两个正态总体的均值差比的置信区间 数学三还要求 掌握 建立未知参数的置信区间的一般方法 单个正态总体的标准差 矩以及与其相联系的数字特征 置信区间的求法 两个正态总体相关数字特征的置信区间的求法 会 用大数定律证明估计量相合性 1 点估计 一 点估计的概念 用样本构造的统计量来估计未知参数 统计量 12 n XXX 12 n XXX 44 称为估计量 它所取得的观测值称为估计值 估计量和估 12 n XXX 12 n x xx 计值统称的估计 二 估计量的选择标准 1 无偏性 E 2 有效性 如果和都是的无偏估计量 且 则称比 1 2 12 DD 1 2 更有效 3 一致性 相合性 称为的一致估计量 P 例 设总体的数学期望存在 从来自总体的样本的样本均值X E X X 12 n XXX 试证是的无偏估计量 1 1 n i i XX n X 例 设总体的数学期望和方差分别为 是来自总体的样本 记 2 和 12 XXX 12 1 Xa XaX 1 试证 是的无偏估计 X 2 确定使最小 a D X 2 估计量的求法 一 矩估计法 用样本估计相应的总体矩 用样本矩的函数估计总体矩相应函数 1 矩估计不必知道分布形式 只要矩存在 2 可用中心矩 也可用原点矩 3 个参数要求列出一阶至阶矩方程kk 考试大纲只要一阶矩和二阶矩 45 4 为一阶 二阶原点矩 为一阶 二阶样本原点矩 就是 12 12 和 12 g 的矩估计量 12 g 二 最大似然估计法 1 似然函数 离散型 ii P Xap a 1 2 i 12 1 n ni i LL XXXp X 连续型 f x 12 1 n ni i LL XXXf X 2 最大似然估计 使似然函数达到最大值的参数值 12 n L XXX 12 n XXX 3 似然方程 为一维时 或 0 dL d ln 0 dL d 为二维时 或 12 1 12 2 0 0 L L 12 1 12 2 ln 0 ln 0 L L 3 区间估计 一 置信区间 对于给定的 如果两个统计量满足 则称随机区 01 12 12 1P 间为参数的置信水平 或置信度 为的置信区间 或区间估计 简称为 12 1 的的置信区间 分别称为置信下限和置信上限 1 12 和 二 一个正态总体参数的区间估计 未知参数置信区间1 46 已知 2 22 X UXU nn 未知 2 22 X 1 1 SS tnXtn nn 2 22 22 2 1 2 1 1 1 1 nSnS nn 三 两个正态总体参数的区间估计 未知参数置信区间1 22 12 已知 2222 1212 22 1212 X YuXYu nnnn 12 22 12 未知 但 22 12 212212 1212 1111 X 2 2 ww YtnnSXYtnnS nnnn 2 1 2 2 22 11 221 22 22122 1 1 1 1 1 SS Fnn SFnnS 22 2 1122 12 1 1 2 w nSnS S nn 例 设来自正态总体的样本值 则未知参数的置信水平为 0 95 的 2 0 9 N 9 1 1 5 9 i i xx 置信区间是 例 05 设一批零件的长度服从正态分布 其中均未知 现从中随机抽取 16 2 N 2 47 个零件 测得样本均值 样本标准差 则的置信度为 0 90 的置信20 xcm 1 scm 区间是 A 0 050 05 11 20 16 20 16 44 tt B 0 10 1 11 20 16 20 16 44 tt C 0 050 05 11 20 15 20 15 44 tt D 0 10 1 11 20 15 20 15 44 tt 4 典型例题分析 例 1 设为总体的一个样本 已知为的无偏 12 n XXX 2 N 1 22 1 1 n ii i CXX 2 估计 则常数等于C A 1 1n B 1 n C 1 2 1 n D 1 2n 例 2 05 设为来自总体的简单随机样本 为样本均值 12 n XXX 2 n 2 0 N X ii YXX 1 2 in 求 I 的方差 i Y i DY1 2 in II 的协方差 1n YY与 1 cov n Y Y III 若是的无偏估计量 求常数 2 1 n C YY 2 C IV 1 0 n P YY 48 例 3 从总体中分别抽取容量为的两个独立样本 样本均值分别为 且X 12 nn和 12 XX和 和 已知为的无偏估计量 试求 E X 2 D X 12 TaXbX 1 常数应满足的条件 ab和 2 使达到最小值的 D Tab和 例 4 设是来自总体的样本 已知 12 n XXXX XP 证明是的无偏估计量 1 1 nXT n 0 P X 例 5 04 设随机变量的分布函数为 其中参数X 1 0 x F xx x 设为来自总体的简单随机样本 0 0 12 n XXXX I 当时 求未知参数的矩估计量 1 II 当时 求未知参数的最大似然估计量 1 III 当时 求未知参数的最大似然估计量 2 49 例 6 设某种元件的使用寿命的概率密度为X 2 2 0 x ex f x x 其中为未知参数 又设是的一组样本观测值 求参数的最大似然估计值 12 n x xxX 例 7 设总体 是来自总体的样本 试求 参数的最大似然估 0 XU 12 n XXXX 计 例 8 设总体的概率分布为 其中是未知参数 X 22 0123 2 1 1 2 X P 1 0 2 利用总体的如下样本值 X 3 1 3 0 3 1 2 3 求的矩估计值和最大似然估计值 例 9 06 设总体的概率密度为 其中是未知参数X 01 1 12 0 x f xx 其他 为来自总体的简单随机样本 记为样本值中 01 12 n XXXXN 12 n x xx 小于 1 的个数 50 求 I 的矩估计 II 的最大似然估计 第三章 假设检验 考试要求 理解 显著性检验的基本思想 掌握 假设检验的基本步骤 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 数一了解 假设检验可能产生的两类错误 数三理解 假设检验可能产生的两类错误 数三会 构造简单假设的显著性检验 较简单情形两类错误概率的计算 1 基本概念 一 实际推断原理 小概率事件在一次试验中实际上是不会发生的 二 假设检验 假设 基本假设 原假设 零假设 和备选假设 备择假设 对立假设 参数假设和非 参数假设 简单假设和复合假设 假设检验 根据样本 按照一定规则判断所做假设的