三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.4 基本不等式课件.ppt

6 4基本不等式 1 基本不等式 a 0 b 0 1 基本不等式成立的条件 2 等号成立的条件 当且仅当 时取等号 a 0 b 0 a b 2 常用的几个重要不等式 1 a2 b2 2ab a b r 2 ab a b r 3 a b r 4 2 a b同号且不为零 2 3 算术平均数与几何平均数设a 0 b 0 则a b的算术平均数为 几何平均数为 基本不等式可叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4 利用基本不等式求最值问题已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当x y时 x y有最小值 是2 简记 积定和最小 2 如果和x y是定值s 那么当且仅当x y时 xy有最大值 是 简记 和定积最大 5 解不等式的实际应用题的一般步骤现实生活中的不等关系 建立不等式模型 解不等式模型 1 下列命题中正确的是 a 若a b为正实数 则lga lgb 2b 若a b r 则 2 2c 若a为正数 ab 0 则 2 2d 答案ca中虽有a b r 但lga lgb却未必都大于0 故不正确 b中a b异号时不符合均值定理的条件 d中未对a b限制符号且不等式不成立 c中推理完全正确 故选c c 2 若正实数a b满足a b 1 则 a 有最大值4b ab有最小值c 有最大值d a2 b2有最小值答案cab 所以ab 故b错 4 故a错 即 故c正确 a2 b2 a b 2 2ab 1 2ab 1 2 故d错 故选c c 3 已知a b c是正实数 且a b c 1 则 的最小值为 a 3b 6c 9d 12答案c把a b c 1代入 得到 3 3 2 2 2 9 故选c c 4 下列不等式一定成立的是 a lg lgx x 0 b sinx 2 x k k z c x2 1 2 x x r d 1 x r 答案clg lgx x2 x x 0 即4x2 4x 1 0 当x 时 4 4 1 0 a错 当sinx 1时 sinx 2 2 b错 x2 1 2 x x 1 2 0 c正确 当x 0时 1 d错 c 5 若直角三角形的周长为 1 则它的最大面积为 答案解析设两条直角边长分别为a b 面积为s 则斜边长为 依题设知a b 1 因为a b 2且a2 b2 2ab 所以a b 2 2 即 2 1 于是 即 所以s 当且仅当a b时 等号成立 故smax c 6 若直线 1 a 0 b 0 过圆x2 y2 2x 2y 0的圆心 则3a b的最小值为 答案4 2解析依题意有 1 a 0 b 0 则3a b 3a b 4 而a 0 b 0 则3a b 4 4 2 当且仅当 即a 1 b 1 时 取等号 c 利用基本不等式求最值典例1 2013山东 12 5分 设正实数x y z满足x2 3xy 4y2 z 0 则当取得最大值时 的最大值为 a 0b 1c d 3答案b解析由x2 3xy 4y2 z 0 得z x2 3xy 4y2 又x y z为正实数 c 4 当且仅当x 2y时取等号 此时z 2y2 1 当 1 即y 1时 上式有最大值1 故选b 1 利用基本不等式求最值的方法 1 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值 主要思路有两种 对条件使用基本不等式 建立所求目标函数的不等式求解 条件变形 进行 1 的代换求目标函数最值 2 有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件 但可以通过添项 分离常数 平方等手段使之能运用基本不等式 常用的方法还有 拆项法 变系数法 凑因子法 分离常数法 换元法 整体代换法 另外 对于函数f x ax a 0 b 0 的定义域内不含实数 的类型的最值问题 要学会使用函数单调性求解 2 求形如函数y 在某个区间内的值域是解析几何解答题中的常见题型 其一般的解题思路为 首先在分子中分离出a1x2 b1x c 简化分子将函数化为y 再换元 令t mx n 将x 代入化简得y 进一步得到y 然后借助基本不等式或函数y ax 的图象与性质求解 3 利用基本不等式构造不等式 通过解构造出的不等式求出原式的范围也是基本不等式的应用之一 但应注意各个不等式等号成立条件是否同时满足 1 1 2015学军中学仿真考 15 4分 已知a0 b a 0 由题意得 b2 4ac 0 解得c 所以m 4 2 4 4 4 8 当且仅当b 3a时 等号成立 所以m的最小值为8 c 1 2已知x 0 y 0 x 2y 1 则 的最小值为 答案解析因为x 0 y 0 5x 10y 5 所以 3x 4y 2x 6y 3 3 2 当且仅当2x 6y 3x 4y 即x 5 7 y 4 时取等号 故 的最小值 为 c 1 3已知x y 0 且x y 10 则x y的最大值为 答案5 解析由x y 10得x y 10 x y 10 由xy 得1 1 所以10 x y 整理得 x y 2 10 x y 4 0 得5 x y 5 所以 x y max 5 c 解析y 2 令x 2 t 则t 0 且x t 2 y 2 2 t 3 2 3 7 所以 所以函数y x 2 的值域为 1 4求函数y x 2 的值域 c 利用基本不等式求参数取值范围典例2 2015金丽衢十二校二模 7 5分 已知任意非零实数x y满足3x2 4xy x2 y2 恒成立 则实数 的最小值为 a 4b 5c d 答案a解析3x2 4xy 3x2 x2 2y 2 4 x2 y2 因此有 4 当且仅当x 2y时取等号 即的最大值是4 又由题意得 故 4 即 的最小值是4 c 1 善于将要求解的参数分离 2 若发现两正数的和为定值或积为定值 则可考虑用基本不等式求出积的最大值或和的最小值 3 利用基本不等式求出的最大 小 值往往可以得到所求参数的范围 2 1 2015诸暨高中毕业班质检 15 4分 若存在x0 1 3 使得不等式 ax0 4 3x0成立 则实数a的取值范围是 答案 1 8 解析先考虑 对任意x 1 3 使得不等式 x2 ax 4 3x恒成立的实数a的取值范围 此时对任意x 1 3 x2 ax 4 3x或x2 ax 43x化简得a8 综上得a8 所以所求实数a的取值范围是1 a 8 2 2 2015重庆一中期中 13 若正实数x y满足x 2y 4 4xy 且不等式 x 2 c y a2 2a 2xy 34 0恒成立 则实数a的取值范围是 答案 3 解析 正实数x y满足x 2y 4 4xy 即x 2y 4xy 4 4xy 4 a2 2a 2xy 34 0恒成立 即2xy 2a2 1 4a2 2a 34恒成立 亦即xy 恒成立 x 0 y 0 x 2y 2 4xy x 2y 4 4 2 即2 2 2 0 或 舍去 可得xy 2 要使xy 恒成立 只需2 恒成立 化简得2a2 a 15 0 a 3或a 基本不等式的实际应用典例3 2015宁波鄞州仿真卷 如图 某商业中心o有通往正东方向和北偏东30 方向的两条街道 某公园p位于商业中心北偏东 角 且与商业中心o的距离为千米处 现要经过公园p修一条直路分别与两条街道交会于a b两处 当商业中心o到a b两处的距离之和最小时 a b的距离为千米 答案3解析由题意得 tan aop 所以sin aop cos aop 又 op 千米 所以点p 设 ob b千米 则b 则过两点p b的直线方程为 令y 0 得x 所以 oa ob b b 1 5 2 5 当且仅当b 3时等号成立 此时a 6 0 b 则 ab 3 千米 利用基本不等式解决实际问题的方法 1 问题的背景是人们关心的社会热点问题 如 物价 销售 税收 原材料 等 题目往往较长 解题时需认真阅读 从中提炼出有用的信息 建立数学模型 进而转化为数学问题求解 2 当运用基本不等式求最值时 若使等号成立的自变量不在定义域内 则不能使用基本不等式求解 此时可根据变量的范围用函数的单调性求解 3 1 2014湖北 16 5分 某项研究表明 在考虑行车安全的情况下 某路段车流量f 单位时间内经过测量点的车辆数 单位 辆 小时 与车流速度v 假设车辆以相同速度v行驶 单位 米 秒 平均车长l 单位 米 的值有关 其公式为f 1 如果不限定车型 l 6 05 则最大