高中数学 第四章 函数应用 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在课件 北师大版必修1.ppt

第四章函数应用 1函数与方程 1 1利用函数性质判定方程解的存在 一 函数的零点1 函数y f x 的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点 2 函数f x 的零点就是方程f x 0的解 做一做1函数y x2 2x 8的零点为 a 4 0 2 0 b 4 2c 4d 2解析 根据零点的定义 令y x2 2x 8 0 解得x1 4 x2 2 所以零点为 4 2 答案 b 二 函数零点的存在性定理若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在区间端点的函数值符号相反 即f a f b 0 且f x 在 0 上为增函数 所以零点一定位于区间 3 4 故选b 答案 b 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 零点就是函数图像与x轴的交点 2 二次函数有可能有三个零点 3 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 且满足f a f b 0 则零点不一定只有一个 也可能有多个 4 若函数f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 且在区间 a b 内至少有一个零点 但不一定有f a f b 0 5 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像不是连续曲线 那么当f a f b 0时 f x 在区间 a b 内一定有零点 探究一 探究二 探究三 规范答题 探究一求函数的零点 例1 导学号91000152求下列函数的零点 1 f x x2 3x 4 3 f x 1 log3x 分析 函数解析式均已给出 可用代数法求函数的零点 解 1 令f x x2 3x 4 0 得x 4或x 1 所以函数零点为 4和1 探究一 探究二 探究三 规范答题 探究一 探究二 探究三 规范答题 变式训练1求下列函数的零点 探究一 探究二 探究三 规范答题 探究二函数零点个数的判断 例2 判断下列函数零点的个数 1 f x x2 4 log2x 3 f x 2x lg x 1 2 解 1 令f x 0 得 x2 4 log2x 0 因此x2 4 0或log2x 0 解得x 2或x 1 又因为函数定义域为 0 所以x 2不是函数的零点 故函数有2和1两个零点 探究一 探究二 探究三 规范答题 探究一 探究二 探究三 规范答题 3 方法一 f 0 1 0 2 10 f x 0在 0 2 上必定存在实根 又显然f x 2x lg x 1 2在 1 上为增函数 故f x 有且只有一个实根 即f x 只有一个零点 方法二 在同一坐标系中作出函数h x 2 2x和g x lg x 1 的图像如图所示 由图像知g x lg x 1 和h x 2 2x有且只有一个交点 即f x 2x lg x 1 2有且只有一个零点 探究一 探究二 探究三 规范答题 探究一 探究二 探究三 规范答题 探究一 探究二 探究三 规范答题 探究一 探究二 探究三 规范答题 探究三函数零点性质的应用 例3 导学号91000153设函数f x ax 3a 1 a 0 在 2 x 2上f x 存在一个零点 求实数a的取值范围 分析 由于函数f x 为关于x的一次函数 当它穿过零点时 函数值变号 解 f x ax 3a 1 a 0 且在区间 2 2 上存在零点 f 2 f 2 0 2a 3a 1 2a 3a 1 0 即 a 1 5a 1 0 探究一 探究二 探究三 规范答题 探究一 探究二 探究三 规范答题 变式训练3导学号91000154当实数a取何值时 方程ax2 2x 1 0的一个根在 0 1 上 另一个根在 1 2 上 解 当a 0时 方程即为 2x 1 0 只有一个根 不符合题意 当a 0时 设f x ax2 2x 1 因为方程的根分别在区间 0 1 1 2 上 探究一 探究二 探究三 规范答题 二次函数的零点综合问题典例已知二次函数f x x2 k 2 x k2 3k 5 1 当函数f x 有两个不同零点时 求k的取值范围 2 若 1和 3是函数的两个零点 求k的值 3 若函数的两个不同零点是 求 2 2关于k的关系式h k 思路点拨 本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质 本题中的函数f x 是二次函数 因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为二次方程根的判断或根的性质 规范解答 1 令f x 0 得x2 k 2 x k2 3k 5 0 由 k 2 2 4 k2 3k 5 3k2 16k 16 0 知3k2 16k 16 0 探究一 探究二 探究三 规范答题 探究一 探究二 探究三 规范答题 123456 1 如下图四个函数图像 在区间 0 内存在零点的函数是 解析 在区间 0 内 只有b中的函数图像与x轴的负半轴有交点 答案 b 123456 2 函数f x lnx 1的零点所在的大致区间为 a 1 2 b 2 3 c 3 4 d 4 5 解析 因为f x lnx 1在 0 上是增加的 且在给出的区间中 只有f 2 f 3 0 而在其余区间两个端点处的函数值均同号 故选b 答案 b 123456 3 若函数f x 的图像在r上连续不断 且满足f 0 0 f 2 0 则下列说法正确的是 a f x 在区间 0 1 上一定有零点 在区间 1 2 上一定没有零点b f x 在区间 0 1 上一定没有零点 在区间 1 2 上一定有零点c f x 在区间 0 1 上一定有零点 在区间 1 2 上可能有零点d f x 在区间 0 1 上可能有零点 在区间 1 2 上一定有零点解析 根据零点的判断方法 因为f 0 f 1 0 所以f x 在区间 0 1 上一定有零点 在区间 1 2 上无法确定是否存在零点 如图所示 图 中区间 1 2 上有零点 但图 中区间 1 2 上无零点 答案 c 123456 123