中考中的费马点详解加练习.doc

皮耶德费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶德费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶德费马为”业余数学家之王。“贝尔深信，费马比皮耶德费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶德费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔德费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。若给定一个三角形ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。1. 若三角形3个内角均小于120，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。2. 若三角形有一内角大于等于120，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。在1的条件下画图找费马点如图以任意两边为边向两边做等边三角形ABD和等年三角形ACE，则CD,BE交点P即为所求2若在120的钝角三角形中，其顶点即是。另外，当刚好120,且三角形BCD为等边三角形时，有个结论：AD=AB+AC我们拓展一道几何题，第二问对很多学生或者老师还是很酥爽的。图12011房山一摸2009石景山25（本小题满分7分）已知：等边三角形ABC如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；图2（2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120 求证：PA+PD+PCBD 我们回到正题：费马点25.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，为的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边的顶点、在线段上，求及的长；（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长. 2013房山一摸24（1）如图1，ABC和CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BE=AD（2）如图2，在BCD中，BCD120，分别以BC、CD和BD为边在BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是 （只填序号即可）AD=BE=CF；BEC=ADC；DPE=EPC=CPA=60；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE29. 阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题：如图1，在ABC（其中BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边PBC，求AP的最大值。 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点B为旋转中心将ABP逆时针旋转60得到ABC,连接AA,当点A落在AC上时,此题可解（如图2）(1)请你回答：AP的最大值是 (2)参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰RtABC边AB=4,P为ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路. 提示:要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法.把ABP绕B点逆时针旋转60，得到. 请画出旋转后的图形 请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）.2016一月昌平28. 已知，点O是等边ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.（1） 如图1，已知AOB=150，BOC=120，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC. DAO的度数是 ；用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2） 设AOB=，BOC=.当，满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；若等边ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值.2017年一月昌平29如图1，在ABC中，ACB=90，点P为ABC内一点（1）连接PB，PC，将BCP沿射线CA方向平移，得到DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE 依题意，请在图2中补全图形； 如果BPCE，BP=3，AB=6，求CE的长（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值小慧的作法是：以点A为旋转中心，将ABP顺时针旋转60得到AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值延伸一下2017年一月海淀28在ABC中，AB=AC，BAC=，点P是ABC内一点，且连接PB，试探究PA，PB，PC满足的等量关系图1 图2（1）当=60时，将ABP绕点A逆时针旋转60得到，连接，如图1所示由可以证得是等边三角形，再由可得APC的大小为 度，进而得到是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC满足的等量关系为 ；（2）如图2，当=120时，请参考（1）中的方法，探究PA，PB，PC满足的等量关系，并给出证明；（3）PA，PB，PC满足的等量关系为 2016年顺义一摸28已知：在ABC中，BAC=60（1） 如图1，若AB=AC，点P在ABC内，且APC=150，PA=3，PC=4，把APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到ADB，连接DP 依题意补全图1； 直接写出PB的长；（2） 如图2，若AB=AC，点P在ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求APC的度数；（3） 如图3，若AB=2AC，点P在ABC内，且PA=，PB=5，APC=120，请直接写出PC的长 26、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，