高中数学联赛常用定理

1 常用定理 1 费马点 I 基本概念 定义 在一个三角形中 到 3 个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点 1 若三角形 ABC 的 3 个内角均小于 120 那么 3 条距离连线正好平分费马点所在的周角 所以三角形的费马点也称为三 角形的等角中心 2 若三角形有一内角不小于 120 度 则此钝角的顶点就是距离和最小的点 II 证明 我们要如何证明费马点呢 费马点证明图形 1 费马点对边的张角为 120 度 CC1B 和 AA1B 中 BC BA1 BA BC1 CBC1 B 60 度 ABA1 CC1B 和 AA1B 是全等三角形 得到 PCB PA1B 同理可得 CBP CA1P 由 PA1B CA1P 60 度 得 PCB CBP 60 度 所以 CPB 120 度 同理 APB 120 度 APC 120 度 2 PA PB PC AA1 将 BPC 以点 B 为旋转中心旋转 60 度与 BDA1 重合 连结 PD 则 PDB 为等边三角形 所以 BPD 60 度 又 BPA 120 度 因此 A P D 三点在同一直线上 又 CPB A1DB 120 度 PDB 60 度 PDA1 180 度 所以 A P D A1 四点在同一直线上 故 PA PB PC AA1 3 PA PB PC 最短 在 ABC 内任意取一点 M 不与点 P 重合 连结 AM BM CM 将 BMC 以点 B 为旋转中心旋转 60 度与 BGA1 重 合 连结 AM GM A1G 同上 则 AA1AG PF 1 2 A G C P 共圆 2 3 PE AC PF BC P E F C 共圆 3 4 1 4 PF BC PR RQ BH AC AH BC 5 6 A B G C 共圆 6 7 5 7 AG BC BC 垂直平分 GH 8 2 4 6 8 9 90 10 4 90 9 10 HQ DF PM MH 第二个问 平分点在九点圆上 如图 设 O G H 分别为三角形 ABC 的外心 重心和垂心 则 O 是 确定九点圆的中点三角形 XYZ 的垂心 而 G 还是它的重心 那么三角形 XYZ 的外心 O1 也在同一直线上 并且 HG GO GO GO1 2 所以 O1 是 OH 的中点 三角形 ABC 和三角形 XYZ 位似 那么它们的外接圆也位似 两个圆的圆心都在 OH 上 并且两圆半径比为 1 2 所以 G 是三角形 ABC 外接圆和三角形 XYZ 外接圆 九点圆 的 反 位似中心 相似点在位似中心的两边 H 是 正 位似中心 相似点在位似中心的同一边 所以 H 到三角形 ABC 的外接圆上的连线中点必在三角形 DEF 的外接圆上 五 托勒密定理 1 定理的内容 托勒密 Ptolemy 定理指出 圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 原文 圆的内接四 边形中 两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和 从这个定理可以推出正 弦 余弦的和差公式及一系列的三角恒等式 托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质 证明 一 以下是推论的证明 托勒密定理可视作特殊情况 在任意四边形 ABCD 中 作 ABE 使 BAE CAD ABE ACD 因为 ABE ACD 所以 BE CD AB AC 即 BE AC AB CD 1 而 BAC DAE ACB ADE 所以 ABC AED 相似 BC ED AC AD 即 ED AC BC AD 2 1 2 得 AC BE ED AB CD AD BC 又因为 BE ED BD 仅在四边形 ABCD 是某圆的内接四边形时 等号成立 即 托勒密定理 所以命题得证 复数证明 用 a b c d 分别表示四边形顶点 A B C D 的复数 则 AB CD AD BC AC BD 的长度分别是 a b c d a d b c a c b d 首先注意到复数恒等式 a b c d a d b c a c b d 两边取模 运用三角不等 式得 等号成立的条件是 a b c d 与 a d b c 的辐角相等 这与 A B C D 四点共圆等价 四点不限于同一平面 平面 上 托勒密不等式是三角不等式的反演形式 二 设 ABCD 是圆内接四边形 在弦 BC 上 圆周角 BAC BDC 而在 AB 上 ADB ACB 在 AC 上取一点 K 使得 ABK CBD 因为 ABK CBK ABC CBD ABD 所以 CBK ABD 因此 ABK 与 DBC 相 似 同理也有 ABD KBC 因此 AK AB CD BD 且 CK BC DA BD 因此 AK BD AB CD 且 CK BD BC DA 两式相加 得 AK CK BD AB CD BC DA 但 AK CK AC 因此 AC BD AB CD BC DA 证毕 三 托勒密定理 圆内接四边形中 两条对角线的乘积 两对角线所包矩形的面积 等于两组对边乘积之和 一组对边所包矩形的 面积与另一组对边所包矩形的面积之和 已知 圆内接四边形 ABCD 求证 AC BD AB CD AD BC 证明 如图 1 过 C 作 CP 交 BD 于 P 使 1 2 又 3 4 ACD BCP 得 AC BC AD BP AC BP AD BC 又 ACB DCP 5 6 ACB DCP 得 AC CD AB DP AC DP AB CD 得 AC BP DP AB CD AD BC 即 AC BD AB CD AD BC 7 推论 1 任意凸四边形 ABCD 必有 AC BD AB CD AD BC 当且仅当 ABCD 四点共圆时取等号 2 托勒密定理的逆定理同样成立 一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 则这个凸四边形内接于一圆 推广 托勒密不等式 四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积 取等号当且仅当共圆或共线 简单的证明 复数恒等式 a b c d a d b c a c b d 两边取模 得不等式 AC BD a b c d b c a d AB CD BC AD 注意 1 等号成立的条件是 a b c d 与 a d b c 的辐角相等 这与 A B C D 四点共圆等价 2 四点不限于同一平面 六 欧拉定理 在一条线段上 AD 上 顺次标有 B C 两点 则 AD BC AB CD AC BD 七 重要不等式 1 均值不等式 n R n k k n n k kn a aaaa 1 1 21 则 TIP 完全的均值不等式 a 2 b 2 2 a b 2 ab 2 1 a 1 b 二次幂平均 算术平均 几何平均 调和平均 2 柯西不等式 柯西不等式的一般证法有以下几种 1 Cauchy 不等式的形式化写法就是 记两列数分别是 ai bi 则有 ai 2 bi 2 ai bi 2 我们令 f x ai x bi 2 bi 2 x 2 2 ai bi x ai 2 则我们知道恒有 f x 0 用二次函数无实根或只有一个实根的条件 就有 4 ai bi 2 4 ai 2 bi 2 0 于是移项得到结论 2 用向量来证 m a1 a2 an n b1 b2 bn mn a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an 1 2 乘以 b1 b2 bn 1 2 乘以 cosX 因为 cosX 小于等于 1 所以 a1b1 a2b2 anbn 小于等于 a1 a2 an 1 2 乘以 b1 b2 bn 1 2 这就证明了不等式 柯西不等式还有很多种 这里只取两种较常用的证法 8 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据 我们在教学中应给予极大的重视 3 排序不等式 排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式 设有两组数 a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n 满足 a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n 则有 a 1 b n a 2 b n 1 a n b1 a 1 b t a 2 b t a n b t a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n 式中 t1 t2 tn 是 1 2 n 的任意一 个排列 当且仅当 a 1 a 2 a n 或 b 1 b 2 b n 时成立 以上排序不等式也可简记为 反序和 乱序和 同序和 证明时可采用逐步调整法 例如 证明 其余不变时 将 a 1 b 1 a 2 b 2 调整为 a 1 b 2 a 2 b 1 值变小 只需作差证明 a 1 a 2 b 1 b 2 0 这由题知成立 依次类推 根据逐步调整法 排序不等式得证 4 契比雪夫不等式 切比雪夫不等式有两个 1 设存在数列 a1 a2 a3 an 和 b1 b2 b3 bn 满足 a1 a2 a3 an 和 b1 b2 b3 bn 那么 aibi 1 n ai bi 2 设存在数列 a1 a2 a3 an 和 b1 b2 b3 bn 满足 a1 a2 a3 an 和 b1 b2 b3 bn 那么 aibi 1 n ai bi 5 琴生不等式 设 f x 为上凸函数 则 f x1 x2 xn n f x1 f x2 f xn n 称为琴生不等式 幂平均 加权形式为 f a1x1 a2x2 anxn a1f x1 a2f x2 anf xn 其中 ai 0 i 1 2 n 且 a1 a2 an 1 6 幂平均不等式 幂平均不等式 ai 0 1 i n 且 则有 1 1 n a n i i ai n 1 成立 iff a1 a2 a3 an 时取等号 加权的形式 设 ai 0 pi 0 1 i n 且 则有 pi ai pi 1 pi ai pi 1 iff a1 a2 a3 an p1 p2 p3 pn 时取等号 特例 调和平均 1 次幂 几何平均 0 次幂 算术平均 1 次幂 二次平均 2 次幂 7 权方和不等式 1 a1 m 1 b1 m a2 m 1 b2 m a3 m 1 b3 m an m 1 bn m a1 a2 a3 an m 1 b1 b2 b3 bn m 其中 a b n 为正整数 m 0 或 m 1 当且仅当 a1 b1 a2 b2 an bn 时 等号成立 2 9 a1 m 1 b1 m a2 m 1 b2 m a3 m 1 b3 m an m 1 bn m a1 a2 a3 an m 1 b1 b2 b3 bn m 其中 a b n 为正整数 1 m b 设 a b d 对 ax by d 两边同时除以 d 可得 a1 x b1 y 1 其中 a1 b1 1 转证 a1 x b1 y 1 由带余除法 a1 q1 b r1 其中 0 r1 b1 b1 q2 r1 r2 其中 0 r2 r1 r1 q3 r2 r3 其中 0 r31 a 1 a 2 a 3 a 4 a m 为 m 个整数 若在这 m 个数中任取 2 个整数对 m 不同余 则这 m 个整数对 m 构成完全剩余系 证明 构造 m 的完全剩余系 0 1 2 m 1 所有的整数必然这些整数中的 1 个对模 m 同余 取 r 1 0 r 2 1 r 3 2 r 4 3 r i 1 1 i1 b 是一个整数且 m b 1 如果 a1 a2 a3 a4 am 是模 m 的一个完全剩余系 则 ba 1 ba 2 ba 3 ba 4 ba m 也构成模 m 的一个完全剩余系 证明 若存在 2 个整数 ba 和 ba j 同余即 ba ba j mod m 根据引理 2 则有 a a j mod m 根据完全剩余系的定义和引理 4 完全剩余系中任意 2 个数之间不同余 易证明 可知这是不可能的 因此不存在 2 个整数 ba 和 ba j 同余 由引理 5 可知 ba 1 ba 2 ba 3 ba 4 ba m 构成模 m 的一个完全剩余系 引理 4 同余定理 6 如果 a b c d 是四个整数 且 a b mod m c d mod m 则有 ac bd mod m 证明 由题设得 ac bc mod m bc bd mod m 由模运算的传递性可得 ac bd mod m 12 二 证明过程 构造素数 p 的完全剩余系 P 1 2 3 4 p 1 因为 a p 1 由引理 3 可得 A a 2a 3a 4a p 1 a 也是 p 的一个完全剩余系 令 W 1 2 3 4 p 1 显然 W W mod p 令 Y a 2a 3a 4a p 1 a 因为 a 2a 3a 4a p 1 a 是 p 的完全剩余系 由引理 2 以及引理 4 可得 a 2a 3a p 1 a 1 2 3 p 1 mod p 即 W a p 1 W modp 易知 W p 1 由引理 1 可知 a p 1 1 modp 十二 欧拉定理 初等数论中的欧拉定理 定理内容 在数论中 欧拉定理 也称费马 欧拉定理 是一个关于同余的性质 欧拉定理表明 若 n a 为正整数 且 n a 互素 a n 1 则 a n 1 mod n 证明 首先证明下面这个命题 对于集合 Zn x1 x2 x n 其中 xi i 1 2 n 是不大于 n 且与 n 互素的数 即 n 的一个化简剩余系 或称简系 或称 缩系 考虑集合 S a x1 mod n a x2 mod n a x n mod n 则 S Zn 1 由于 a n 互质 xi 也与 n 互质 则 a xi 也一定于 n 互质 因此 任意 xi a xi mod n 必然是 Zn 的一个元素 2 对于 Zn 中两个元素 xi 和 xj 如果 xi xj 则 a xi mod n a xj mod n 这个由 a n 互质和消去律可以得出 所以 很明显 S Zn 既然这样 那么 a x1 a x2 a x n mod n a x1 mod n a x2 mod n a x n mod n mod n x1 x2 x n mod n 考虑上面等式左边和右边 左边等于 a x1 x2 x n mod n 右边等于 x1 x2 x n mod n 而 x1 x2 x n mod n 和 n 互质 根据消去律 可以从等式两边约去 就得到 a n 1 mod n 推论 对于互质的数 a n 满足 a n 1 a mod n 费马定理 a 是不能被质数 p 整除的正整数 则有 a p 1 1 mod p 证明这个定理非常简单 由于 p p 1 代入欧拉定理即可证明 同样有推论 对于不能被质数 p 整除的正整数 a 有 a p a mod p 平面几何里的欧拉定理 定理内容 设三角形的外接圆半径为 R 内切圆半径为 r 外心与内心的距离为 d 则 d 2 R 2 2Rr 证明 O I 分别为 ABC 的外心与内心 连 AI 并延长交 O 于点 D 由 AI 平分BAC 故 D 为弧 BC 的中点 连 DO 并延长交 O 于 E 则 DE 为与 BC 垂直的 O 的直径 由圆幂定理知 R2 d2 R d R d IA ID 作直线 OI 与 O 交于两点 即可用证明 13 但 DB DI 可连 BI 证明DBI DIB 得 故只需证 2Rr IA DB 即 2R DB IA r 即可 拓扑学里的欧拉公式 V F E X P V 是多面体 P 的顶点个数 F 是多面体 P 的面数 E 是多面体 P 的棱的条数 X P 是多面体 P 的欧拉示性数 如果 P 可以同胚于一个球面 可以通俗地理解为能吹胀成一个球面 那么 X P 2 如果 P 同胚于一个接有 h 个环柄的球 面 那么 X P 2 2h X P 叫做 P 的拓扑不变量 是拓扑学研究的范围 V F E 2 的证明 方法 1 利用几何画板 逐步减少多面体的棱数 分析 V F E 先以简单的四面体 ABCD 为例分析证法 去掉一个面 使它变为平面图形 四面体顶点数 V 棱数 E 与剩下的面数 F1 变形后都没有变 因此 要研究 V E 和 F 关系 只需去掉一个面变为平面图形 证 V F1 E 1 1 去掉一条棱 就减少一个面 V F1 E 不变 依次去掉所有的面 变为 树枝形 2 从剩下的树枝形中 每去掉一条棱 就减少一个顶点 V F1 E 不变 直至只剩下一条棱 以上过程 V F1 E 不变 V F1 E 1 所以加上去掉的一个面 V F E 2 对任意的简单多面体 运用这样的方法 都是只剩下一条线段 因此公式对任意简单多面体都是正确的 方法 2 计算多面体各面内角和 设多面体顶点数 V 面数 F 棱数 E 剪掉一个面 使它变为平面图形 拉开图 求所有面内角总和 一方面 在原图中利用各面求内角总和 设有 F 个面 各面的边数为 n1 n2 nF 各面内角总和为 n1 2 180 度 n2 2 180 度 nF 2 180 度 n1 n2 nF 2F 180 度 2E 2F 180 度 E F 360 度 1 另一方面 在拉开图中利用顶点求内角总和 设剪去的一个面为 n 边形 其内角和为 n 2 180 角 则所有 V 个顶点中 有 n 个顶点在边上 V n 个顶点在中间 中间 V n 个顶点处的内角和为 V n 360 度 边上的 n 个顶点处的内角和 n 2 180 度 所以 多面体各面的内角总和 V n 360 度 n 2 180 度 n 2 180 度 V 2 360 度 2 由 1 2 得 E F 360 度 V 2 360 度 所以 V F E 2 方法 3 用拓朴学方法证明欧拉公式 14 图 尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面 棱 顶点数的欧拉公式 欧拉公式 对于任意多面体 即各面都是平面多边形并且没有洞的立体 假设 F E 和 V 分别表示面 棱 或边 角 或顶 的个数 那末 F E V 2 证明 如图 图是立方体 但证明是一般的 是 拓朴 的 1 把多面体 图中 看成表面是薄橡皮的中空立体 2 去掉多面体的一个面 就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形 像图中 的样子 假设 F E 和 V 分别表示这个平面图形的 简单 多边形 边和顶点的个数 我们只须证明 F E V 1 3 对于这个平面图形 进行三角形分割 也就是说 对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线 一直到成为一些三 角形为止 像图中 的样子 每引进一条对角线 F 和 E 各增加 1 而 V 却不变 所以 F E V 不变 因此当完全分割成三角 形的时候 F E V 的值仍然没有变 有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上 4 如果某一个三角形有一边在边界上 例如图 中的 ABC 去掉这个三角形的不属于其他三角形的边 即 AC 这样 也就去掉了 ABC 这样 F 和 E 各减去 1 而 V 不变 所以 F E V 也没有变 5 如果某一个三角形有二边在边界上 例如图 中的 DEF 去掉这个三角形的不属于其他三角形的边 即 DF 和 EF 这样就去掉 DEF 这样 F 减去 1 E 减去 2 V 减去 1 因此 F E V 仍没有变 6 这样继续进行 直到只剩下一个三角形为止 像图中 的样子 这时 F 1 E 3 V 3 因此 F E V 1 3 3 1 7 因为原来图形是连在一起的 中间引进的各种变化也不破坏这事实 因此最后图形还是连在一起的 所以最后不会 是分散在向外的几个三角形 像图中 那样 8 如果最后是像图中 的样子 我们可以去掉其中的一个三角形 也就是去掉 1 个三角形 3 个边和 2 个顶点 因此 F E V 仍然没有变 即 F E V 1 成立 于是欧拉公式 F E V 2 得证 复变函数论里的欧拉公式 定理内容 e ix cosx isinx e 是自然对数的底 i 是虚数单位 它将三角函数的定义域扩大到复数 建立了三角函数和指数函数的关系 它在复变函数论里占有非常重要的地位 将公式里的 x 换成 x 得到 e ix cosx isinx 然后采用两式相加减的方法得到 sinx e ix e ix 2i cosx e ix e ix 2 这两个也叫做欧拉公式 上帝创造的公式 将 e ix cosx isinx 中的 x 取作 就得到 e i 1 0 这个恒等式也叫做欧拉公式 它是数学里最令人着迷的一个公式 它将数学里最重要的几个数学联系到了一起 两个超越 数 自然对数的底 e 圆周率 两个单位 虚数单位 i 和自然数的单位 1 以及数学里常见的 0 数学家们评价它是 上帝创造 的公式 我们只能看它而不能理解它 欧拉定理的运用方法 1 分式 a r a b a c b r b c b a c r c a c b 当 r 0 1 时式子的值为 0 15 当 r 2 时值为 1 当 r 3 时值为 a b c 2 复数 由 e i cos isin 得到 sin e i e i 2i cos e i e i 2 3 三角形 设 R 为三角形外接圆半径 r 为内切圆半径 d 为外心到内心的距离 则 d 2 R 2 2Rr 4 多面体 设 v 为顶点数 e 为棱数