2018-2019学年北京市第五十五中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年北京市第五十五中学高一下学期期中数学试题一、单选题1已知点，若向量，则实数（ ）A2B3C4D-2【答案】A【解析】试题分析：由题意得，即，解得；故选A【考点】平面向量的线性运算2已知，若，且与的方向相反，则（ ）A5BCD【答案】B【解析】根据向量，的模长以及方向，确定即可.【详解】因为，且与的方向相反，所以故选：B【点睛】本题主要考查了已知向量共线求参数，属于基础题.3已知向量，且，那么的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】，所以，故选择C.4向量，在正方形网格中的位置如图所示，若（，R），则（）A2B4CD【答案】B【解析】如图所示，建立直角坐标系利用向量的坐标运算性质、向量相等即可得出【详解】以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得（1，1），（6，2），（1，3）（，R），解之得2且，因此，则4故选B【点睛】本题考查了向量的坐标运算性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5在中，则（ ）A无解BC或D【答案】D【解析】根据正弦定理得出，由大边对大角确定.【详解】由正弦定理得 ，故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.6的周长为7.5 cm，且，下式结论成立个数是（ ），ABCD【答案】A【解析】根据正弦定理以及余弦定理判断即可.【详解】由得，则正确；，则正确若，则而所以不成立，则错误；故选：A【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式以及余弦定理，属于中档题.7中，若，则（ ）AB2CD4【答案】C【解析】由已知利用三角形面积公式得出的值，再用余弦定理即可得出的值.【详解】，解得：故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式以及余弦定理，属于中档题.8中，已知，则是（ ）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D不确定【答案】B【解析】利用正弦定理以及余弦定理，即可判断三角形的形状.【详解】由正弦定理以及余弦定理得整理得：，即故为等腰三角形故选：B【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于中档题.9设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，和没有公共点，即能得到；“”是“”的必要不充分条件故选B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.10已知m，n，l为三条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列六个命题：若，则 若且，则若，则 若且，则若，则 若，且，则其中真命题的个数为（ ）A5B4C3D2【答案】D【解析】根据空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】若，则与是异面直线或者，故错误；若且，则与可能异面，相交，平行，故错误；若，则与可能异面，平行，故错误；由平行于同一直线的两条直线平行知，正确；若，则与相交，异面，平行，故错误；由线面平行的判定定理可知，正确；故选：D【点睛】本题主要考查了直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于基础题.11已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D.【考点】正四棱柱的几何特征；球的体积.12某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的体积为( )ABCD1【答案】A【解析】试题分析：由图可得,故选A.【考点】三视图.【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握锥体的体积公式.二、填空题13在中，则_.【答案】7【解析】利用余弦定理完成的计算.【详解】因为，所以，所以，故答案为.【点睛】本题考查利用余弦定理求边，难度较易.14在中，则_【答案】【解析】在中，15已知向量，且，则向量与的夹角为_【答案】【解析】利用平面向量的数量积公式即可得出向量与的夹角.【详解】设向量与的夹角为，则所以，即故答案为：【点睛】本题主要考查了求向量的夹角，属于基础题.16已知平面向量，若，则实数_【答案】【解析】根据向量平行的坐标公式求解即可.【详解】，即故答案为：【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数，属于基础题.17已知菱形的边长为2，则_【答案】【解析】对于菱形，由题意知由菱形的性质可得，且的夹角是则故本题应填18已知一个正四棱锥的底面边长是2，侧面积是，则该四棱锥的高为_【答案】【解析】根据线面垂直的判定定理得出为该四棱锥的高，根据题设条件以及勾股定理得出该四棱锥的高.【详解】连接正方形的对角线，并相交于点，取中点为，连接由题意知，面，面即为该四棱锥的高面，则因为侧面积是，所以，即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了正棱锥的有关计算，属于中档题.19在正方体中，平面 直线AD与所成角的大小为 平面平面请把所有正确命题的序号填在横线上_【答案】【解析】利用线面平行的判定定理判断；由异面直线所成角判断；由线面垂直的性质判断；由面面平行的判定定理判断.【详解】对于，如下图所示，由于，则四边形为平行四边形，则面，面，所以平面，故正确；对于，由于，则直线AD与所成角为，故错误；对于，面，面，则，故正确；对于，在正方体中，则四边形为平行四边形所以平面，平面，所以平面同理平面，平面所以平面平面，故正确；故答案为：【点睛】本题主要考查了利用判定定理证明线面平行，面面平行，利用线面垂直的性质证明线线垂直，异面直线所成角，属于中档题.20如图，棱长为1的正方体中，点P是线段上的动点当在平面，平面，平面ABCD上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为，（1）当时，_（用“”或“=”或“”填空）；（2）的最大值为_【答案】 【解析】（1）根据题意得出在平面，平面上的投影高度都为，并且底边边长都相等，则面积也相等；（2）根据投影的定义得出这三个三角形的高，当点运动到点时，最大，根据三角形面积公式求出最大值即可.【详解】（1）当时，为上靠近的三等分点，在平面，平面上的投影高度都为，此时两个三角形的底边边长都为，所以（2）因为的底边边长都为，其高为均为点的高度，的底边为，高为点在底面的投影到的距离，所以当点运动到点时，最大其最大值为故答案为：（1）（2）【点睛】本题主要考查了正投影的应用，根据正投影的定义找出是解题的关键，属于中档题.三、解答题21如图，在平行四边形ABCD中，BD，AC相交于点O，M为BO中点设向量，（1）求的值；（2）用，表示和；（3）证明：【答案】（1）；（2），；（3）证明见解析【解析】（1）利用数量积公式以及求解即可；（2）由向量的加减法进行运算即可用，表示和；（3）利用向量的垂直和数量积的关系证明即可.【详解】（1）（2）又为中点（3）又 所以【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，利用数量积求模以及利用向量证明线段垂直，属于中档题.22在锐角三角形中，内角的对边分别为且（1）求角的大小；（2）若，求 的面积【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理及，便可求出，得到的大小；（2）利用（1）中所求的大小，结合余弦定理求出的值，最后再用三角形面积公式求出值.【详解】（1）由及正弦定理，得.因为为锐角，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以，所以.【考点】正余弦定理的综合应用及面积公式.23如图所示，已知点P是所在平面外一点，M，N，K分别AB，PC，PA的中点，平面平面（1）求证：平面PAD；（2）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD，并加以证明；（3）求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用面面平行的判定定理证明即可；（3）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可.【详解】（1）取中点为，连接在中，在中，所以，即四边形为平行四边形所以，平面，平面所以平面（2）当为中点时，平面平面证明如下：取的中点为，连接在中，平面，平面所以平面，同理可证，平面又平面，所以平面平面（3），平面，平面，平面又平面平面，平面，【点睛】本题主要考查了利用判定定理证明线面平行，面面平行，以及利用线面平行的性质定理证明线线平行，属于中档题.24已知集合对于，定义；A与B之间的距离为（1）当时，设，求；（2）证明：若，且，使，则；（3）记，若，且，求的最大值【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】（1）当时，由直接求解即可；（2）设，则由题意可得存在，使得，其