4.7 相似三角形的性质（一）.doc

第四章 图形的相似7.相似三角形的性质（第一课时）北师大版九年级上学期宁德市古田县第六中学 张晓霞 一、学生知识状况分析知识方面：随着读图时代的到来，生活中照片的放缩，电脑、图片的处理都为本章的相似学习积累了十分丰富的生活经验。七年级已经学习了全等图形判定和性质，对全等三角形的对应边的比已有所了解。在本章又学习了相似图形的判定条件，对相似图形，特别是相似三角形已有一定的认识。探究方面：通过前面的学习学生已经经历了一些关于相似三角形性质的探究。例如，利用相似三角形测量旗杆的高度等实际问题，真正体验相似的神奇之处，本节主要研究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比这一性质。学生在以往的学习中具备了一定的合作探究能力，对化归思想的认识与应用也有一定的经验，因此，本节课的学习应该是有知识储备，具有了一定的学习经验，学生间相互评价、相互提问的积极性高，因此，参与有关性质的实践探究活动的热情应该是比较高的。 二、教学任务分析在相似三角形已有的性质即对应边成比例，对应角相等的基础上提出本课的学习任务：理解相似三角形的性质，猜想除对应边角以外，还可能存在的对应关系，让学生经历探索相似三角形性质的过程，并在探索过程中，发展学生积极的情感、态度、价值观、体现解决问题策略的多样性与发现问题的可行性，积极引导知识的溯源，方法的回归，让新知转为旧识，又从已有的认识不断萌发猜想，提出新的发现。为此本节课的教学目标是：（一）知识目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。尤其“对应”两字的拓展，可由中点即点、点、点点，从而合理延伸触及归纳的思想，利用相似三角形的性质解决一些实际问题。（二）能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识。在探索过程中发展学生类比的数学思想及大胆猜想，小心求证的思维品质。（三）情感与价值观目标：在探索过程中发展学生勇于探索，不于思考的情感，严谨求证的态度，从而体现教学的强大的实际用途的价值观。把图形与方程、代数式相结合很好的提升学生的抽象思维的品质，也为数形相结合打开一扇天窗，开阔思维视野，体现解题的“抽象美”。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：探究相似三角形对应高的比.；第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比；第三环节：学以致用：课本P107-108随堂练习1、练习2课本P107例1例2（例1拓展）例3。层层递进，难度逐步提升；第四环节：课堂小节；第五环节：布置作业。 第一环节：探究相似三角形对应高的比. 复习引入：在前面我们学习了相似三角形的定义，由定义可知判定三角形相似需三条边对应成比例，三对角对应相等。而相似三角形的判定（类比全等来记忆：AA、SAS、SSS，但不可写成这样）。所需条件减少，由相似三角形的定义和判定可知相似三角形的对应角相等，对应边成比例，是否还有其他性质呢？三角形的重要三条线段是什么呢？ 内容：探究活动一：（投影片）在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的ABC，以1：2的比例建造了模型房梁A/B/C/，CD和C/D/分别是它们的立柱。（1） 试写出ABC与A/B/C/的对应边之间的关系，对应角之间的关系。（2） ACD与A/C/D/相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。（3） 如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？（4） 据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？生解：（1）= （2）ACDACDACDACD（两个角分别相等的两个三角形相似）= （3）=，CD=1.5cmC/D/=3cm（4）相似三角形对应高的比等于相似比目的：以熟悉的沙盘建筑模型为例，借助数学图形抽象为两个三角形，直观易懂，能够迅速捕获有用信息，分层设问，步步为营，不断把问题转化为已学的知识，思维层层递进，不断获得探索与解题的成就感。效果：通过层层设问，引导学生剥开问题的表面看到了相似三角形的性质：对应高的比等于相似比。把线段的比又回归到三角形相似里面去，从而体现转化的思想，并归纳出新的结论。第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比 过渡语：用相似的知识点来揭示相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比也等于相似比。相似三角形中除了高是特殊线段，还有哪些特殊线段？它们也具有特殊关系吗？下面让我们一起探究: 内容：探究活动二：（投影片）如图：已知ABCABC，相似比为k，AD平分BAC，A/D/平分B/A/C/；E、E/分别为BC、B/C/的中点。试探究AD与 A/D/的比值关系，AE与A/E/呢？要求：1、类比探究，同桌合作，同桌左侧一位证角平分线=k，右侧一位证中线=k。2、证完，同桌互换批改，并订正。ABCDEA/B/C/D/E/生1解：ABCABC B=B=kAD平分BAC，A/D/平分B/A/C/BADB/A/D/（两个角分别相等的两个三角形相似）=k 生2解：ABCABC B=B=k E、E/分别为BC、B/C/的中点=k=kB=BBAEB/A/E/（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）=k 小结：由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比和对应高线的比都等于相似比。目的：1、以上同桌分工题证明，再交换评改，课容量变大，而思考任意线段比时，小组合作。2、通过学生小组合作探究，类比前面探究过程，引发学生主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生的类比的思维能力，与归纳总结能力。3、既分工又合作，使学生克服易错点，加强逻辑语言的表达，意义深远，处理抽象数学将更加自信，更加严密。效果：学生通过合作探究，可以发现相似三角形中对应角平分线、对应中线、对应高线的比等于相似比.内容：探究活动三：（投影片）过渡语：我们已经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、n等分线，对应边的三等分线、四等分线、n等分线，那么它们也具有特殊关系吗？下面请同学们独立探索以下问题：（3）你能得到哪些结论？并写出证明过程。要求：1、与探索活动（二）相反，原先证角平分线的一位，现在证对应边的三等分线；原先证中线的一位，现在证角的三等分线。2、证完互换批改，并订正。3、学生可能提出以下问题（无论学生提出什么问题，先予以充分肯定，增强他的自信，从而激发他继续向下探究的兴趣与热情）。若，则等于多少？并说明理由。若，则等于多少？并说明理由。 若D、D分别为AB、AB上的三等分点，E、E分别为BC、BC上的四等分点，则等于多少？并说明理由。若ADBC，AE平分，则与、的大小，满足什么关系式，并说明理由。 4、先让学生提问题，而后四个人一组，同桌左证明，右证，后桌左证，右证。 5、证完先同桌互批，再与后桌相讨论，相当于每个人只完成一个问题，但却探究了四个问题，既节省时间，又增加课容量。生1（1）解：ABCABC B=B=kBADB/A/D/（两个角分别相等的两个三角形相似）=k 生2（2）解：ABCABC B=B=k =k=kB=BBAEB/A/E/（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）=k 生3（3）相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比。问题相似三角形对应两边上的n等分点连线的比等于相似比。问题=（-）。目的：1、有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质。2、无论学生提出什么问题，先予以充分肯定，要求学生大胆假设，小心求证。3、问题表扬学生记忆力好，温故而知新，因为问题是学生已做过的习题。效果：1、学生能够很顺利地完成探究活动，并能够通过类比的思想总结出相关结论。2、在同桌及后桌互相批改的过程中，锻炼思维的严密性。 第三环节：学以致用（相似三角形的性质的应用）内容： 练习：课本P107页随堂练习1-21、已知ABCABC，BD和BD是它们的对应中线，BD4cm，求BD的长。生1解：ABCABC（已知）又BD和BD是它们对应中线即（相似三角形对应中线的比等于相似比）2、两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比。在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm，那么较长的中线多长？要求：本节新学的定义、定理、推论作为解题依据，一定要书写在括号里。生1解：根据相似三角形对应角平分线、对应中线的比等于相似比可知：相似比为；较长中线的长等于.1、这两题很好的应用了由对应角平分线比相似比对应中线比，紧紧围绕相似比展开思考，学以致用，灵活应用。2、把随学练习放于例1之前，先易后难，让学生先体验学以致用的快乐，若有差错，能在第一时间加以纠正。3、提醒学生线段比应注意单位是否统一，此题虽为单一层面的应用，但由对应比到相似比，再应用求对应线段比的思维快感已经令人陶醉。效果：1、学生能够运用前面所学解决问题，培养学生能发现问题，能够利用相似三角形相关性质解决问题的能力。 2、加强学生对新学定理的记忆，熟能生巧。例1如图，AD是ABC的高ADh，点R在AC边上，点S在AB边上，SRAD，垂足为上。当SRBC时，求DE的长；当SRBC时，求DE的长；你还能提出哪些问题呢？与同桌一起来解决吧。要求：1、同桌左侧一位解答，右侧一位解答，互换批改并订正； 2、同桌合作一起完成.生1解：SR AD，BCADSR/BC=，ASRABC（两角分别相等的两个三角形相似）（相似三角形对应高的比等于相似比）即当SRBC时，得，解得DEh生2解：前面生1类似，最后一句。当SRBC时，得，解得DEh生1、生2合作：解：当SRBC时，得，解得DE小结：当SRBC时，AEAD，DE目的：1、鼓励学生大胆提出问题，发展他们发现问题，提出问题的能力，对于有困难的学生，可进行适当的引导，边肯定边鼓励。比如可这样启发他：若将换成，结论还成立吗？若换成呢？说说你的理由。2、完成例1目的是为了引出例2，从而降低例2难度以及学生畏难心理。效果：有了前面的探究活动对于例1学生能够通过类比较顺利完成。例2，如图，AD是ABC的高，点P、Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC60cm，AD40cm，四边形PQRS是正方形。ASR与ABC相似吗？为什么？求正方形PQRS的边长。要求：同桌独立完成，完成后互相批改解：ASRABC，理由如下：在正方形PQRS中，SR/BS=ASRABC（两角分别相等的两个三角形相似）由可知ASRABC（相似三角形对应高的比等于相似比）设正方形PQRS的边长为xcm，则AE（40x）cm解得x24正方形PQRS的边长为24cm目的：1、三角形相似，与特殊四边形的综合应用，提高学生综合应用能力； 2、拓展：若例2中的正方形PQRS改为矩形PQRS，你会提出哪些问题； 3、完成例2，目的是为了引出例3，降底例3难度，层层递进，引人入胜。效果：学生完成例2应该较顺利例3，如图，AD是ABC的高，点P、Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC60cm，AD40cm，四边形PQRS是矩形。ASR与ABC相似吗？为什么？如果设矩形的一边RQxcm，那么如何用含x的代数式来表示AD的长度，并写x的取值范围。在的基础上，如何用含x的代数式表示矩形PQRS的面积？当x取何值时，矩形PQRS的面积达到最大？最大值是多少？要求：1、同桌的独立完成；2、线段成比例时，所求的一条应写在第一项。解：解法与例类似。由可知ASRABC（相似三角形对应高的比等于相似比）即 解得SR60（0x40）S矩形PQRSRQSRx（60）+60x（x2-40x）（x2-40x+400）400（x20）2+300（0x40）S矩形+60x（0x40）当x=20cm时，矩形PQRS的面积达到最大，最大值为300cm2目的：1、三角形相似，矩形的性质，利用配方法求二次三项式的最值，三者融汇贯通，提高学生综合应用能力。2、激活思维，开阔视野，加强数形相结合的思维广度，同时也起到承上启下的作用，为二次函数的到来作铺垫。 第四环节：课堂小结（初步升华所学内容）内容：师生互相交流相似三角形的性质定理及拓展结论，在方法上的收获。目的：1、本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。由特殊到一般，由数值到字母，在探究中不断攀上新高，尤其推广到一般情况，而代数式的配方求最值的强大功能也让相似有了更加丰富的拓展空间。2、能够总结出运用类比数学思想方法解决问题。效果：这节课的乐趣不仅供应链停留在结论上，其中类比思想的呈现，更具数学的简约美、抽象美，这种推理发现的认同感会让学生十分愉悦。学以致用，相似无处不在，无论零件、设计、高楼大丰硕厦的蓝图都离不开比例，另外代数式最值、方程与相似图形的联袂，就更有余音绕梁的意境第五环节：布置作业习题1、2、3、4学法指导相似图形是现实生活