高考数学一轮总复习 第七章 解析几何 第8讲 轨迹与方程课件 理.ppt

第8讲轨迹与方程 1 已知 abc的顶点b 0 0 c 5 0 ab边上的中线长 cd 3 则顶点a的轨迹方程为 2 在平面直角坐标系xoy中 已知抛物线关于x轴对称 顶点在原点o 且过点p 2 4 则该抛物线的方程是 3 动点p到点f 2 0 的距离与它到直线x 2 0的距离相等 则点p的轨迹方程为 x 10 2 y2 36 y 0 y2 8x y2 8x 4 设圆c与圆x2 y 3 2 1外切 与直线y 0相切 则 圆c的圆心轨迹为 a 抛物线c 椭圆 b 双曲线d 圆 a 考点1 利用直接法求轨迹方程 例1 如图7 8 1 已知点c的坐标是 2 2 过点c的直线ca与x轴交于点a 过点c且与直线ca垂直的直线cb与y轴交于点b 设点m是线段ab的中点 求点m的轨迹方程 图7 8 1 解 方法一 直接法 设点m的坐标为 x0 y0 则点a的坐标为 2x0 0 点b的坐标为 0 2y0 因为直线ca垂直于直线cb 化简 得x0 y0 2 0 所以点m的轨迹方程为x y 2 0 方法二 参数法 若ca x轴 则cb y轴 故a为 2 0 b为 0 2 所以m为 1 1 若ca不垂直x轴 则设直线ca的方程为y 2 k x 2 两式相加 得x0 y0 2 即x0 y0 2 0 x0 1 又 1 1 在直线x0 y0 2 0上 所以点m的轨迹方程为x y 2 0 到点c o的距离相等 故点m在线段oc的垂直平分线上 又线段oc的垂直平分线过oc中点 1 1 斜率k 1 即y 1 x 1 化简 得x y 2 0 所以点m的轨迹方程为x y 2 0 规律方法 求轨迹的步骤是 建系 设点 列式 化简 建系的原则是特殊化 把图形放在最特殊的位置上 这类问题一般需要通过对图形的观察 分析 转化 找出一个关于动点的等量关系 互动探究 1 a 0 b 0 的一个焦点 且双曲线的离心率为2 则该双曲线的方程为 考点2 利用定义法求轨迹方程 图d39 例2 已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 求动圆圆心m的轨迹方程 解 如图d39 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和点b 根据两圆外切的充要条件 得 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为 ma mb 所以 mc2 mc1 bc2 ac1 3 1 2 这表明动点m到两定点c2 c1的距离之差是常数2 规律方法 本题考查了双曲线的定义 可以利用相同方 法解决以下变式 互动探究 2 已知动圆m与圆c1 x 3 2 y2 64内切 与圆c2 x 3 2 y2 4外切 求动圆圆心m的轨迹方程 解 设动圆m的半径为r 根据两圆相切的充要条件 得 mc1 8 r mc2 2 r 所以 mc2 mc1 10 这表明动点m到两定点c2 c1的距离之和是常数10 根据椭圆的定义 动点m的轨迹为椭圆 即2a 10 a 5 又 c1c2 6 2c 则c 3 b2 a2 c2 16 3 已知动圆m过定点a 3 0 并且内切于定圆b x 3 2 y2 64 则动圆圆心m的轨迹方程为 解析 设动圆m半径为r 根据两圆相切的充要条件 得 mb 8 r ma r 所以 ma mb 8 这表明动点m到两定点c2 c1的距离之和是常数8 根据椭圆的定义 动点m的轨迹为椭圆 这里a 4 c 3 则b2 7 设点m的坐标为 x 考点3利用相关点法求轨迹方程例3 已知点a在圆x2 y2 16上移动 点p为连接m 8 0 和点a的线段的中点 求点p的轨迹方程 规律方法 动点p x y 依赖于另一动点q x0 y0 的变化而变化 并且q x0 y0 又在某已知曲线上 则可先用x y的代数式表示x0 y0 再将x0 y0代入已知曲线方程得出要求的轨迹方程 这种求轨迹方程的方法叫相关点法 也叫转移法 互动探究 4 设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为两边作平行四边形monp 求点p的轨迹方程 思想与方法 轨迹方程中的分类讨论 例题 2014年广东汕头一模 由人教版选修1 1p35 例3改编 已知动点p x y 与两个定点m 1 0 n 1 0 的连线的斜率之积等于常数 0 1 求动点p的轨迹c的方程 2 试根据 的取值情况讨论轨迹c的形状 解 1 由题设知 pm pn的斜率存在且不为0 2 讨论如下 当 0时 轨迹c为中心在原点 焦点在x轴上的双曲线 除去顶点 当 1 0时 轨迹c为中心在原点 焦点在x轴上的椭圆 除去长轴上的两个端点 当 1时 轨迹c为以原点为圆心 1为半径的圆 除 去点 1 0 1 0 当 1时 轨迹c为中心在原点 焦点在y轴上的椭 圆 除去短轴上的两个端点 互动探究 解 设点m的坐标为 x y 6 设点a b的坐标分别为 5 0 5 0 直线am bm相交于点m 且它们的斜率之积是 1 求