球与各种几何体切、接问题专题(一))

球与各种几何体切 接问题球与各种几何体切 接问题 近几年全国高考命题来看 这部分内容以选择题 填空题为主 大题很少见 首先明确定义 1 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上 则称这个多面体是这个球的 内接多面体 这个球是这个多面体的外接球 定义 2 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切 则称这个多面体是这个球的外切多面 体 这个球是这个多面体的内切球 一 一 球与柱体的切接球与柱体的切接 规则的柱体 如正方体 长方体 正棱柱等能够和球进行充分的组合 以外接和内切两种形 态进行结合 通过球的半径和棱柱的棱产生联系 然后考查几何体的体积或者表面积等相关 问题 1 1 球与正方体球与正方体 1 正方体的内切球 如图 1 位置关系 正方体的六个面都与一个球都相切 正方体中心 与球心重合 数据关系 设正方体的棱长为a 球的半径为r 这时有2ra 2 正方体的棱切球 如图 2 位置关系 正方体的十二条棱与球面相切 正方体中心与球 心重合 数据关系 设正方体的棱长为a 球的半径为r 这时有22ra 2 3 正方体的外接球 如图 3 位置关系 正方体的八个顶点在同一个球面上 正方体中心 与球心重合 数据关系 设正方体的棱长为a 球的半径为r 这时有23ra 图3 例例 1 1 棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D 的 8 个顶点都在球O的表面上 EF 分别是 棱 1 AA 1 DD的中点 则直线EF被球O截得的线段长为 A 2 2 B 1 C 2 1 2 D 2 思路分析 思路分析 由题意推出 球为正方体的外接球 平面 11 AADD截面所得圆面的半径 1 2 22 AD R 得知直线EF被球O截得的线段就是球的截面圆的直径 2 2 球与长方体球与长方体 例例 2 2 自半径为R的球面上一点M 引球的三条两两垂直的弦MCMBMA 求 222 MCMBMA 的值 结论 长方体的外接球直径是长方体的对角线 结论 长方体的外接球直径是长方体的对角线 例例 3 3 全国卷 I 高考题 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 体积为 16 则这个 球的表面积为 A 16 B 20 C 24 D 32 思路分析 思路分析 正四棱柱也是长方体 由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为 2 可得长方体的长 宽 高分别为 2 2 4 长方体内接于球 它的体对角线正好为球的直 径 3 3 球与正棱柱球与正棱柱 1 结论 1 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点 2 结论 2 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点 二 二 球与锥体的切接球与锥体的切接 规则的锥体 如正四面体 正棱锥 特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合 以外接和 内切两种形态进行结合 通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系 然后考查几何体的体积或 者表面积等相关问题 1 1 正四面体与球的切接问题 正四面体与球的切接问题 1 正四面体的内切球 如图 4 位置关系 正四面体的四个面都与一个球相切 正四面体 的中心与球心重合 数据关系 设正四面体的棱长为a 高为h 球的半径为R 这时有 6 4 3 Rha 例例 4 4 正四面体的棱长为正四面体的棱长为 a 则其内切球的半径为 则其内切球的半径为 解析 如图正四面体 A BCD 的中心为 O 即内切球球心 内切球半径 R 即为 O 到 正四面体各面的距离 AB a 正四面体的高 h a 又 VA BCD 4VO BCD 6 3 R h a 1 4 6 12 2 正四面体的外接球 位置关系 正四面体的四个顶点都在一个球面上 正四面体的中 心与球心重合 数据关系 设正四面体的棱长为a 高为h 球的半径为R 这时有436Rha 可 用正四面体高h减去内切球的半径得到 例例 5 求棱长为求棱长为 1 的正四面体外接球的半径 的正四面体外接球的半径 设 SO1是正四面体 S ABC 的高 外接球的球心 O 在 SO1上 设外接球半径为 R AO1 r 则在 ABC 中 用解直角三角形知识得 r 3 3 从而 SO1 SA2 AO2 1 1 1 3 2 3 在 Rt AOO1中 由勾股定理得 R2 R 2 2 解得 R 2 3 3 3 6 4 结论 正四面体的高线与底面的交点是结论 正四面体的高线与底面的交点是 ABCABC的中心且其高线通过球心 这的中心且其高线通过球心 这 是构造直角三角形解题的依据 此题关键是确定外接球的球心的位置 突破这一是构造直角三角形解题的依据 此题关键是确定外接球的球心的位置 突破这一 点此问题便迎刃而解 正四面体外接球的半径是正四面体高的点此问题便迎刃而解 正四面体外接球的半径是正四面体高的 内切球的半径 内切球的半径 3 3 4 4 是正四面体高的是正四面体高的 1 1 4 4 3 正四面体的棱切球 位置关系 正四面体的六条棱与球面相切 正四面体的中心与球 心重合 数据关系 设正四面体的棱长为a 高为h 球的半径为R 这时有 6 432 3 Rha ha 例例 6 6 例例 7 7 设正四面体中 第一个球是它的内切球 第二个球是它的外接球 求这两个球的表面积 之比及体积之比 思路分析 思路分析 此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系 第二个关键是两 个球的半径之间的关系 依靠体积分割的方法来解决的 4 为什么正四面体外接球和内切球心是同一个点 2 2 其它棱锥与球的切接问题其它棱锥与球的切接问题 1 球与正棱锥的组合 常见的有两类 一是球为三棱锥的外接球 此时三棱锥的各个顶 点在球面上 根据截面图的特点 可以构造直角三角形进行求解 二是球为正棱锥的内切球 例如正三棱锥的内切球 球与正三棱锥四个面相切 球心到四个面的距离相等 都为球半径 R 这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离 故可采用等体积法解决 即四个小 三棱锥的体积和为正三棱锥的体积 2 球与一些特殊的棱锥进行组合 一定要抓住棱锥的几何性质 可综合利用截面法 补 形法等进行求解 结论 1 正棱锥的外接球的球心在其高上 具体位置可通过计算找到 结论 2 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形 则公共斜边的中点就是其外接球的球 心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处 以下是常见的 基本的几何 体补成正方体或长方体的途径与方法 途径 1 正四面体 三条侧棱两两垂直的正三棱锥 四个面都是是直角三角形的三棱锥都分 别可构造正方体 途径 2 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体 相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长 方体和正方体 途径 3 若已知棱锥含有线面垂直关系 则可将棱锥补成长方体或正方体 途径 4 若三棱锥的三个侧面两两垂直 则可将三棱锥补成长方体或正方体 例例 8 8 正三棱锥的高为 1 底面边长为62 正三棱锥内有一个球与其四个面相切 求球的表 面积与体积 思路分析 思路分析 此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系 由等体积法 可得 ABCOPBCOPACOPABOABCP VVVVV 得到26 332 32 R 例例 9 9 福建高考题 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 且侧棱长均为3 则其外接球的表面积 是 思路分析 思路分析 此题用一般解法 需要作出棱锥的高 然后再设出球心 利用直角三角形计算球 的半径 而作为填空题 我们更想使用较为便捷的方法 三条侧棱两两垂直 使我们很快联想 到长方体的一个角 马上构造长方体 由侧棱长均相等 所以可构造正方体模型 点评 此题突出构造法的使用 以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题 这 是解决几何体与球切接问题常用的方法 例例 1010 2012 年新课标高考卷 已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O的球面上 ABC 是边长为 1 的正三角形 SC是球O的直径 且2SC 则此棱锥的体积为 A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 思路分析 思路分析 ABC 的外接圆是球面的一个小圆 由已知可得其半径 从而得到点O到面 ABC的距离 由SC为球O的直径 点S到面ABC的距离即可求得棱锥的体积 练习 3 由性质确定球心 利用球心 O 与截面圆圆心 O1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性质 确定球心 4 内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切 则称这个多面体是这个球的外切多面体 这 个球是这个多面体的内切球 1 内切球球心到多面体各面的距离均相等 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 2 正多面体的内切球和外接球的球心重合 3 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上 但不重合 4 基本方法 构造三角形利用相似比和勾股定理 5 体积分割是求内切球半径的通用做法 三 三 球与球相切问题球与球相切问题 对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题 要根据丰富的空间想象力 通过准确确定各个 小球的球心的位置 或者巧借截面图等方法 将空间问题转化平面问题求解 例例 1111 已知有半径分别为2 3 的球各两个 且这四个球彼此相外切 现有一个球与此四个球 都相外切 则此球的半径为 思路分析 思路分析 结合图形 分析四个球的球心A B C D 的位置 知 AD AC BD BC 5 AB 6 CD 4 设 AB 中点为E CD 中点为F 连结EF 在 ABF 中可得BF 21 在 EBF 中可得EF 2 3 由于对称性可得第五个球的球心O 在 EF 上 连结OA OD 设第五个球的半径为r 根据 OE OF EF 建立r的方程 例例 1212 把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上 使它两两外切 然后在它们上面放上第 四个球 使它与前三个都相切 求第四个球的最高点与桌面的距离 思路分析 思路分析 关键在于能根据要求构造出相应的几何体 由于四个球半径相等 故四个球一定 组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2 四 四 球与几何体的各条棱相切问题球与几何体的各条棱相切问题 球与几何体的各条棱相切问题 关键要抓住棱与球相切的几何性质 达到明确球心的位置为 目的 然后通过构造直角三角形进行转换和求解 如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对 棱的一半 2 4 ra 例例 13 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内 使 皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点 则皮球的半径为 A l03cm B 10 cm C 102cm D 30cm 思路分析 思路分析 根据题意球心 O 在图中 AP 上 过 O 作 BP 的垂线 ON 垂足为 N ON R OM R 由各个棱都为 20 得到 AM 10 BP 20 BM 10 AB 10 2 设 BPA 在Rt BPM 中 由 222 BPBMPM 得10 3PM 在Rt PAM 中 由 222 PMAMAP 得10 2PA 在Rt ABP 中得 10 22 sin 202 AB BP 在 Rt ONP 中得 sin ONR OPOP 从而 2 2 R OP 2OPR 在Rt OAM 中 由 222 OMAOAM 建立方程 22 10 22 100RR 即可得解 五 五 球与旋转体切接问题球与旋转体切接问题 首先画出球及其它旋转体的公共轴截面 然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系 例例 14 求球与它的外切圆柱 外切等边圆锥的体积之比 思路分析思路分析 首先画出球及它的外切圆柱 等边圆锥 它们公共的轴截面 然后寻找几何体与 几何体之间元素的关系 例例 1515 在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切 1 求两球半径之和 2 球的半径为多少时 两球体积之和最小 思路分析思路分析 此题的关键在于作截面 一个球在正方体内 学生一般知道作对角面 而两个球 的球心连线也应在正方体的体对角线上 故仍需作正方体的对角面 得如图的截面图 在图 中 观察R与r和棱长间的关系即可 综合上面的五种类型 解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体 解答时首