高考数学一轮复习 4.4 三角函数的性质课件 文 新人教A版.ppt

4 4三角函数的性质 一 正弦 余弦 正切函数的基本性质 二 函数的周期性 一般地 对于函数f x 如果存在一个非零的常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x t f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t叫做这个函数的周期 把所有周期中存在的最小正数 叫做最小正周期 函数的周期一般指最小正周期 函数y asin x 或y acos x 0且为常数 的周期t 函数y atan x 0 的周期t 1 x 为f x sin x 的一条对称轴 则 的一个值是 a b c d 解析 x 是x k 的一个解 故 k k z 选d 答案 d 2 已知函数y 2sin x 0 为偶函数 其图像与直线y 2某两个交点的横坐标分别为x1 x2 若 x1 x2 的最小值为 则该函数的一个递增区间可以是 a b c 0 d 为 则t 2 于是y 2cos2x 单调递增区间为 k k k z 选择a 答案 a 解析 y 2sin x 为偶函数 0 所以 又其图像与直线y 2某两个交点的横坐标分别为x1 x2 若 x1 x2 的最小值 3 x为三角形的一个钝角 则函数y 2cos2x sin2x的范围是 a 2 b 1 2 c 2 d 1 2 解析 y 2cos2x sin2x sin2x cos2x 1 sin 2x 1 x 2x 2 sin 2x 1 选择d 答案 d 题型1三角函数的基本性质 例1 1 函数f x 的定义域是 2 函数y sin 的递减区间为 递增区间为 分析 面对较复杂的三角函数式时 首先将其化简 然后根据最简三角函数式的特征 判断其基本性质 如奇偶性 周期性 单调性 解析 1 f x 函数的定义域是 x x k k z 2 原函数变形为y sin 令u 则只需求y sinu的单调区间即可 y sinu在2k u 2k k z 上单调递增 即3k x 3k k z 上单调递增 y sinu在2k u 2k k z 上单调递减 即3k x 3k k z 上单调递减 故y sin 的递减区间为 3k 3k k z 递增区间为 3k 3k k z 答案 1 x x k k z 2 3k 3k k z 3k 3k k z 点评 求三角函数的单调区间 有时可用换元的思想把角的某个代数式作为新的变量 对于复合函数 应先考虑函数的定义域 再结合函数的单调性来确定单调区间 变式训练1 1 函数f x 1 2 sinx cosx 2的最大值与最小值分别是 2 已知函数g x asin x a 0 0 r 在一个周期内的图像如图所示 则直线y 与函数f x 图像的交点的横坐标是 解析 1 f x 1 2 sinx cosx 2 1 2sin2x 所以函数的最大值为1 最小值为 3 2 根据图像得a 2 t 4 y 2sin 又由图像可得相位移为 即y 2sin x 根据条件 2sin x x 2k k z 或x 2k k z x 4k k z 或x 4k k z 答案 1 1 3 2 x 4k k z 或x 4k k z 题型2含参数或复合的三角函数式的性质 例2已知a 0 函数f x 2asin 2x 2a b 当x 0 时 5 f x 1 1 求常数a b的值 2 设g x f x 且lg g x 0 求g x 的单调区间 分析 根据给定函数的最值性 有界性 来确实含参的三角函数式中的参数值 需要根据角的范围大小来确定函数的值域或最值 为确定g x 的单调区间 需要明确其解析式及角 的限制范围 题设中 lg g x 0 要特别注意 解析 1 x 0 2x sin 2x 1 2asin 2x 2a a f x b 3a b 又 5 f x 1 解得 2 f x 4sin 2x 1 g x f x 4sin 2x 1 4sin 2x 1 又由lg g x 0 得g x 1 4sin 2x 1 1 sin 2x 2k 2x 2k k z 由 2k 2x 2k 得k x k k z 由 2k 2x 2k 得 k x k k z 函数g x 的单调递增区间为 k k k z 单调递减区间为 k k k z 这直接制约着g x f x 4sin 2x 1 4sin 2x 1的单调区间 因此涉及一定的运算能力 点评 待定系数法确定函数的解析式 需要建立 字母 方程求解 由 lg g x 0 可得到对x的取值范围的限制 而 变式训练2已知函数f x sin2x cos2x 2sinxcosx 1 求f x 的最小正周期 2 设x 求f x 的值域和单调递增区间 解析 1 f x cos2x sin2x 2sinxcosx cos2x sin2x 2sin 2x f x 的最小正周期为 2 x 2x sin 2x 1 f x 的值域为 2 当y sin 2x 递减时 f x 递增 令2k 2x 2k 则k x k k z 又x x 故f x 的递增区间为 题型3三角函数的值域和最值 例3求下列函数的值域 1 y 2 y log2 3 y 4 y sinx 2 cosx 2 分析 1 换元法 设sinx t t 1 转化成二次函数型来求最值 2 先用分离常数法求出真数部分的值域 再由对数函数的单 调性求函数值域 3 利用三角函数的有界性求函数值域 4 换元法 令sinx cosx t t 则sinxcosx 转化成二次函数型 解析 1 由题意1 sinx 0 sinx 1 y 2sinx 1 sinx 2 sinx 2 1 sinx 1 sinx 时 ymax 但sinx 1 y 4 原函数的值域为 4 2 1 y 1 函数y log2的值域为 1 1 3 法一 函数y 的几何意义为两点p 2 0 q cosx sinx 连线的斜率k 而点q的轨迹为单位圆 2 1 sinx 1 又 1 由右图可知 k 原函数的值域为 法二 由y 得sinx ycosx 2y sin x 2y sin x 又 sin x 1 1 4y2 1 y2 3y2 1 y 原函数的值域为 4 原函数可化为 y sinxcosx 2 sinx cosx 4 令sinx cosx t t 则sinxcosx y 2t 4 t 2 2 t 2 且函数在t 时为减函数 当t 时 即x 2k k z 时 ymin 2 当t 时 即x 2k k z 时 ymax 2 即原函数的值域为 2 2 点评 求三角函数的值域除了在函数中介绍的一些方法外 还常采用 1 配方法 2 有界性 3 换元法 3 数形结合法等 具体求解时 特别要注意角的范围及函数本身的有界性 变式训练3 1 当0 x 时 求函数f x 的最小值 2 已知a 0 求函数y sinx a cosx a 的最大值和最小值 3 已知函数f t g x cosx f sinx sinxf cosx x 将函数g x 化简成asin x b a 0 0 0 2 的形式 求函数g x 的值域 解析 1 f x 0 x 当tanx 时 f x 取最小值为4 2 y sinxcosx a sinx cosx a2 设sinx cosx t 则sinxcosx 其中t 故y at a2 t a 2 由a 0知 当t 时 ymax a2 a 下面讨论函数的最小值 若0 a 当t a时 ymin 若a 当t 时 ymin a2 a 3 g x cosx sinx cosx sinx x cosx 0 sinx 0 g x sinx cosx 2 sin x 2 由 x 得 x y sinx在 上为减函数 在 上为增函数 又sin sin sin sin x sin 即 1 sin x g x 的值域为 2 3 题型4三角函数性质的综合应用 例4已知函数f x sin x sin x 2cos2 x r 其中 0 1 求函数f x 的值域 2 若对任意的a r 函数y f x x a a 的图像与直线y 1有且仅有两个不同的交点 试确定 的值 不必证明 并求函数y f x x r 的单调增区间 的有界性求其值域 而对于 对任意的a r 函数y f x x a a 的图像与直线y 1有且仅有两个不同的交点 的理解转化为三角函数的周期性 这一点对学生是一个理解性障碍 要突破 解析 1 f x sin x cos x sin x cos x cos x 1 分析 面对复杂的三角函数式 先化简 然后利用正弦函数 2 sin x cos x 1 2sin x 1 由 1 sin x 1 得 3 2sin x 1 1 可知函数f x 的值域为 3 1 2 由题设条件及三角函数图像和性质可知 y f x 的周期为 又由 0 得 即得 2 于是有f x 2sin 2x 1 再由2k 2x 2k k z 解得k x k k z 所以y f x 的单调增区间为 k k k z 点评 在掌握三角函数基本性质后 如何理解或转化 对任意的a r 函数y f x x a a 的图像与直线y 1有且仅有两个不同的交点 是本题的一个亮点 也是区分不同思维层次的试金石 所以本题除了基本的三角变换能力外 就是要提升理解力与转化思想 变式训练4已知函数f x sin 2x sin 2x cos2x a a r a为常数 1 求函数f x 的最小正周期 2 求函数f x 的单调递增区间 3 若x 0 时 f x 的最小值为 2 求a的值 cos2x a 2sin 2x a f x 的最小正周期t 2 当2k 2x 2k k z 即k x k k z 时 函数f x 单调递增 故所求区间为 k k k z 3 当x 0 时 2x 解析 1 f x sin 2x sin 2x cos2x a sin2x 当x 0时f x 取得最小值 即2sin a 2 a 1 1 y sinx的对称轴为x k 对称中心为 k 0 k z y cosx的对称轴为x k 对称中心为 k 0 k z y tanx的对称中心为 0 k z 对于y asin x 和y acos x 来说 对称中心与零点相联系 对称轴与最值点联系 2 求三角函数的单调区间 一般先将函数式化为基本三角函 数的标准式 要特别注意a 的正负 利用单调性判断三角函数值的大小一般要化为同名函数 并且在同一单调区间 3 求三角函数的周期的常用方法 经过恒等变形化成 y asin x y acos x 的形式 利用周期公式 另外还有图像法和定义法 例已知函数y 4b2 3b2sin2 3bsin 的最大值为7 求正数b 错解 经过配方后 y 3b2 sin 2 4b2 3 1 sin 1 当sin 时 ymax 4b2 3 7 b 1 剖析 解题思路是正确的 但由于sin 1 1 因此 需对 的取值情况进行讨论 本题的错误在于忽视了三角函数的有界性 照搬了二次函数求最值的性质 这一点应引起重视 正解 经过配方后 y 3b2 sin 2 4b2 3 1 sin 1 1 当 1时 不可能 与b 0矛盾 2 当 1 即0 b 时 sin 1时 ymax 7 即7 3b2 4b2 3 解得b 与0 b 矛盾 不合 3 当 1 1时 即b sin 时 7 4b2 3 解得b 1或b 1 1不合 b 1时满足题意 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 设函数f x sin 2x 则下列结论正确的是 a f x 的图像关于直线x 对称 b f x 的图像关于点 0 对称 c 把f x 的图像向左平移个单位 得到一个偶函数的图像 d f x 的最小正周期为 且在 0 上为增函数 解析 2x k x 排除a 2x k x 排除b 2k 2x 2k k x k 排除d 答案 c 2 基础再现 设点p是函数f x sin x的图像c的一个对称中心 若点p到图像c的对称轴的距离的最小值是 则f x 的最小正周期是 a 2 b c d 解析 对称中心到对称轴的最小距离为 即 t 答案 b 3 视角拓展 函数f x 具有性质 偶函数 在 0 为减函数 则f x 的表达式是 a f x 2cosx b f x 2cos x c f x 2cos x d f x 2sin x 解析 f x 2sin x 2cosx为偶函数且在 0 为减函数 选择d 答案 d 4 高度提升 函数f x sin 2x 给出下列三个命题 函数f x 在区间 上是减函数 直线x 是函数f x 的图像的一条对称轴 函数f x 的图像可以由函数y sin2x的图像向左平移而得到 其中正确的是 a b c d 解析 x 时 2x 为正弦函数的减区间 正确 x 是2x k 的一个解 正确 显然 不正确 选b 答案 b 5 能力综合 已知函数f x asinx bcosx a b为常数 a 0 x r 在x 处取得最小值 则函数y f x 是 a 偶函数且它的图像关于点 0 对称 b 偶函数且它的图像关于点 0 对称 c 奇函数且它的图像关于点 0 对称 d 奇函数且它的图像关于点 0 对称 解析 f x asinx bcosx sin x 由f a b 解得 f x asinx acosx asin x y f x asin x asinx 故函数为奇函数且它的图像关于点 0 对称 答案 d 6 基础再现 已知函数f x cosxsinx 给出下列四个命题 若f x1 f x2 则x1 x2 f x 的最小正周期是2 f x 在区间 上是增函数 f x 的图像关于直线x 对称 则正确命题是 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 解析 f x sin2x 满足f x1 f x2 的x1 0 x2 不正确 显然不正确 均正确 答案 7 视角拓展 函数y cos 2x 的单调增区间为 解析 y cos 2x cos 2x 由2k 2x 2k k z 解得k x k k z 所以函数的单调增区间为 k k k z 答案 k k k z 8 高度提升 给出下列命题 y sinx在第一象限是增函数 若 是锐角 则y sin 的值域是 1 1 y sin x 的周期是2 y sin2x cos2x的最小值是 1 其中正确的命题的序号是 解析 y sinx是周期函数 自变量x的取值可周期性出现 如反例 令x1 x2 2 此时x1sin 2 错误 当 为锐角时 由图像可知 sin 1 错误 y sin2x cos2x cos2x 最小值为 1 正确 y sin x x r 是偶函数 其图像是关于y轴对称 可看出它不是周期函数 错误 答案 9 能力综合 已知函数f x sinx cos x t 为偶函数 且t满足不等式t2 3t 40 0 则t的值为 解析 函数f x sinx cos x t 为偶函数 则sinx cos x t sin x cos x t 得sint 1 于是t 2k k z 又t2 3t 40 0 5 t 8 所以t 或或 答案 或或